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东安县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

东安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 单位正方体(棱长为 1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.该几何体体积为

B.该几何体体积可能为 D.该几何体唯一 )

C.该几何体表面积应为 +

2. 空间直角坐标系中,点 A(﹣2,1,3)关于点 B(1,﹣1,2)的对称点 C 的坐标为( A.(4,1,1) B.(﹣1,0,5)
2

C.(4,﹣3,1)

D.(﹣5,3,4)

3. 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的直线与双曲线 x 2 -

y2 = 1的一条渐近线平行,并交其抛物线于 A 、 8

2

B 两点,若 AF > BF ,且 | AF |? 3 ,则抛物线方程为(
A. y ? x
2

B. y ? 2 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识,意在考查方程 思想和运算能力. 4. O 为坐标原点, F 为抛物线 A.1 B. C. D.2 ) P 是抛物线 C 上一点, 的焦点, 若|PF|=4, 则△ POF 的面积为 ( )

5. 直角梯形 OABC 中, AB OC, AB ? 1, OC ? BC ? 2 ,直线 l : x ? t 截该梯形所得位于左边图 形面积为,则函数 S ? f ? t ? 的图像大致为(

6.

下列命题正确的是(



A.很小的实数可以构成集合.

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B.集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合. C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.
7. 满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e x ) ?| x | B. f (e x ) ? e2 x ) D. f (ln x ) ? x ? C. f (ln x) ? ln x2

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 8. 已知 f(x)= A.充分不必要条件 ,则“f[f(a)]=1“是“a=1”的( B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件

M - ABD 的外接球体积为 36p , 9. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, M 是线段 AC 1 1 的中点,若四面体
则正方体棱长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5 )

【命题意图】 本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题, 意在考查空间想象能力和基本运算能力. 10.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3a8-2a7=4,则下列结论正确的是( A.S18=72 C.S20=80 B.S19=76 D.S21=84 ,则椭圆和双曲线的离

11.已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,M 是它们的一个公共点,且∠F1MF2= 心率的倒数之和的最大值为( A.2 B. C. D.4 )

12.若等边三角形 ABC 的边长为 2, N 为 AB 的中点,且 AB 上一点 M 满足 CM ? xCA ? yCB , 则当 A.6

1 4 ? 取最小值时, CM ? CN ? ( x y
B.5 .

) C.4 D.3

二、填空题
13.不等式 x2+x﹣2<0 的解集为 14.如图:直三棱柱 ABC﹣A′B′C′的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA′和 CC′上,AP=C′Q,则四棱锥 B﹣ APQC 的体积为 .

第 2 页,共 15 页

15.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则 16.已知 α 为钝角,sin( +α)= ,则 sin(

= ﹣α)=

. .

17.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球 运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

三、解答题
18.如图,四棱锥 P ? ABC 中, PA ? ABCD, AD / / BC, AB ? AD ? AC ? 3, PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2MD, N 为 PC 的中点.

(1)证明: MN / / 平面 PAB ; (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值;

19.已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y2=4 (1)求椭圆 E 的标准方程;

x 的焦点,离心率是



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(2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 E 相交于 A、B 两点,且在 x 轴上存在点 M,使得 关,试求点 M 的坐标.

与 k 的取值无

20.某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定:只能通过前一轮考核 才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通 过的概率分别为

2 3 4 , , ,且各轮考核通过与否相互独立。 3 4 5

(1)求甲通过该高校自主招生考试的概率; (2)若学生甲每通过一轮考核,则家长奖励人民币 1000 元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金 的金额为 X ,求 X 的分布列和数学期望。

21.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,已知

A ? (cos B ? 3 sin B ) cos C ? 1 . 2 (I)求角 C 的值; 2 cos 2
(II)若 b = 2 ,且 ?ABC 的面积取值范围为 [

3 , 3] ,求 c 的取值范围. 2

【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,意在考查基本运算能力.

第 4 页,共 15 页

22.已知函数 f(x)=

,求不等式 f(x)<4 的解集.

23.(本小题满分 12 分)已知向量 a = (m cos wx - m sin wx,sin wx) , b = (- cos wx - sin wx, 2n cos wx) ,

n p ( x ? R ) 的图象关于点 ( ,1) 对称,且 w ? (1, 2) . 2 12 (I)若 m = 1 ,求函数 f ( x) 的最小值; p (II)若 f ( x) ? f ( ) 对一切实数恒成立,求 y ? f ( x) 的单调递增区间. 4
设函数 f ( x) = a ?b 【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识,意在考查数形结合思想和基本运 算能力.

第 5 页,共 15 页

第 6 页,共 15 页

东安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为 1 的正方体,截掉一个角(三棱锥)得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为 1 该几何体的表面积由三个正方形,有三个两直角边为 1 的等腰直角三角形和一个边长为 故其表面积 S=3?(1×1)+3?( ×1×1)+ 故选:C. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求表面积, 其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题 的关键. 2. 【答案】C 【解析】解:设 C(x,y,z), ∵点 A(﹣2,1,3)关于点 B(1,﹣1,2)的对称点 C, ?(
2 )=

的正三角形组成





,解得 x=4,y=﹣3,z=1,

∴C(4,﹣3,1). 故选:C. 3. 【答案】C

ì y0 =2 2 ? ?x - p ? 0 2 ? ? p p ? 【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为 y = 2 2x ,设 A( x0 , y0 ) ,则 x0 > ,所以 í x0 + = 3 , 2 2 ? ? 2 ? y0 = 2 px0 ? ? ? ? p p 解得 p = 2 或 p = 4 ,因为 3 > ,故 0 < p < 3 ,故 p = 2 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 4x . 2 2
4. 【答案】C

第 7 页,共 15 页

【解析】解:由抛物线方程得准线方程为:y=﹣1,焦点 F(0,1), 又 P 为 C 上一点,|PF|=4, 可得 yP=3, 代入抛物线方程得:|xP|=2 ∴S△POF= |0F|?|xP|= 故选:C. 5. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,当 0 ? t ? 1 时, f ? t ? ? . ,

1 ? t ? 2t ? t 2 ,当 1 ? t ? 2 时, 2 ?t 2 , 0 ? t ? 1 1 f ? t ? ? 1? 2 ? ? (t ? 1) ? 2 ? 2t ? 1 ,所以 f ? t ? ? ? ,结合不同段上函数的性质,可知选项 C 符 2 ?2t ? 1,1 ? t ? 2

合,故选 C. 考点:分段函数的解析式与图象. 6. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 7. 【答案】D. 【 解 析 】

8. 【答案】B 【解析】解:当 a=1,则 f(a)=f(1)=0,则 f(0)=0+1=1,则必要性成立, 若 x≤0,若 f(x)=1,则 2x+1=1,则 x=0,

第 8 页,共 15 页

若 x>0,若 f(x)=1,则 x ﹣1=1,则 x= 即若 f[f(a)]=1,则 f(a)=0 或
2

2

, , ,

, ,

2 若 a>0,则由 f(a)=0 或 1 得 a ﹣1=0 或 a ﹣1=

即 a =1 或 a =

2

2

+1,解得 a=1 或 a=

若 a≤0,则由 f(a)=0 或 1 得 2a+1=0 或 2a+1= 即 a=﹣ ,此时充分性不成立, 即“f[f(a)]=1“是“a=1”的必要不充分条件, 故选:B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据分段函数的表达式解方程即可. 9. 【答案】C

10.【答案】 【解析】选 B.∵3a8-2a7=4, ∴3(a1+7d)-2(a1+6d)=4, 18×17d 17 即 a1+9d=4,S18=18a1+ =18(a1+ d)不恒为常数. 2 2 19×18d S19=19a1+ =19(a1+9d)=76, 2 同理 S20,S21 均不恒为常数,故选 B. 11.【答案】 C 【解析】解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1,(a>a1),半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1MF2= , ,①

2 2 2 ∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos 2 2 在椭圆中,①化简为即 4c =4a ﹣3r1r2,

第 9 页,共 15 页



=

﹣1,②

2 2 在双曲线中,①化简为即 4c =4a1 +r1r2,



=1﹣

,③ + =4, + )≥(1× + × ),
2

联立②③得,

由柯西不等式得(1+ )( 即( 即 + + ≤
2 ) ≤ ×4=



, ,e2= 时取等号.即取得最大值且为 .

当且仅当 e1= 故选 C.

【点评】 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质, 利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键. 难度较大. 12.【答案】D 【解析】

BA ? CA ? CB ; M k ? B A 试题分析: 由题知 BM ? CM ? CB ? xCA ? ( y ?1)CB , 设B
可得 x ? y ? 1 ,当

, 则 x ? k , y ? 1 ? ?k ,

1 4 y 4x 1 4 ?1 4? 4x y ? 取最小值时, ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? 5 ? 时取到,此 ? ,最小值在 ? x y x y x y ?x y? y x 2 1 1 CA ? CB 代入,则 时 y ? , x ? ,将 CM ? xCA ? yCB, CN ? 3 3 2 2 2 1 1 x? y ?1 2? CM ? CN ? xCA ? yCB ? CA ? CB ? 3 ? x ? y ? ? 3 ? ? ? ? 3 .故本题答案选 D. 2 2 2 ?3 3?

?

?

考点:1.向量的线性运算;2.基本不等式.

二、填空题
13.【答案】 (﹣2,1) .

2 【解析】解:方程 x +x﹣2=0 的两根为﹣2,1, 2 且函数 y=x +x﹣2 的图象开口向上, 2 所以不等式 x +x﹣2<0 的解集为(﹣2,1).

故答案为:(﹣2,1).

第 10 页,共 15 页

【点评】本题考查一元二次不等式的解法,属基础题,深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键, 解二次不等式的基本步骤是:求二次方程的根;作出草图;据图象写出解集. 14.【答案】 V 【解析】 【分析】四棱锥 B﹣APQC 的体积,底面面积是侧面 ACC′A′的一半,B 到侧面的距离是常数,求解即可. 【解答】解:由于四棱锥 B﹣APQC 的底面面积是侧面 ACC′A′的一半,不妨把 P 移到 A′,Q 移到 C, 所求四棱锥 B﹣APQC 的体积,转化为三棱锥 A′﹣ABC 体积,就是: 故答案为: 15.【答案】 . sin(x﹣ , ),

【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= 则 = sin(﹣ . )=﹣

=﹣

故答案为:﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题. 16.【答案】 ﹣ 【解析】解:∵sin( ∴cos( =sin( ﹣α)=cos[ +α)= , <α<π, , . +α)= , ﹣( +α)]

∵α 为钝角,即 ∴ ∴sin( ∴sin( =﹣ =﹣ , < ﹣

﹣α)<0, ﹣α)=﹣

第 11 页,共 15 页

故答案为:﹣



【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值,注意不同角之间的关系,正确选择公式,运用平方关系时,必 须注意角的范围,以确定函数值的符号. 17.【答案】 12 . 【解析】解:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人, 由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12, 即所求人数为 12 人, 故答案为:12.

三、解答题
18.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

8 5 . 25

试 题解析:

第 12 页,共 15 页

(2)在三角形 AMC 中,由 AM ? 2, AC ? 3, cos ?MAC ?

2 ,得 3

CM 2 ? AC 2 ? AM 2 ? 2 AC AN cos ?MAC ? 5 , AM 2 ? MC 2 ? AC 2 ,则 AM ? MC , ∵ PA ? 底面 ABCD, PA ? 平面 PAD ,
∴平面 ABCD ? 平面 PAD ,且平面 ABCD 平面 PAD ? AD , ∴ CM ? 平面 PAD ,则平面 PNM ? 平面 PAD , 在平面 PAD 内,过 A 作 AF ? PM ,交 PM 于 F ,连结 NF ,则 ?ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角。 在 Rt ?PAM 中,由 PA AM ? PM AF ,得 AF ? 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为

4 5 8 5 ,∴ sin ?ANF ? , 5 25

8 5 .1 25

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考点:立体几何证明垂直与平行. 19.【答案】 【解析】解:(1)由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,且 a= c=e?a= 故 b= × = = , = ,…4 分 ,即 x2+3y2=5…6 分 ,…1 分

所以,椭圆 E 的方程为

(2)将 y=k(x+1)代入方程 E:x2+3y2=5,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2﹣5=0;…7 分 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0),则 x1+x2=﹣ ∴ ∴ ,x1x2= ;…8 分 =(x2﹣m,y2)=(x2﹣m,k(x2+1));
2

=(x1﹣m,y1)=(x1﹣m,k(x1+1)),
2 2

=(k +1)x1x2+(k ﹣m)(x1+x2)+k +m2 ,

=m2+2m﹣ ﹣

要使上式与 k 无关,则有 6m+14=0,解得 m=﹣ ; ∴存在点 M(﹣ ,0)满足题意…13 分 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,也考查了椭圆的标准方程及其几何性质,考查了一定的 计算能力,属于中档题.

20. 【答案】 (1) (2)X 的分布列为 数学期望为 E ( X ) ? 0 ?

2 5

1 1 1 2 4700 ? 1000 ? ? 2000 ? ? 3000 ? ? -3 6 10 5 3
2 3 4 2 ? ? ? 3 4 5 5

解析:(1)设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件 A,则 P(A)= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2 -------------4 分 5

(2) X 的可能取值为 0 元,1000 元,2000 元,3000 元--------------5 分

第 14 页,共 15 页

2 1 2 3 1 2 3 4 1 ? , P( X ? 1000) ? ? (1 ? ) ? , P( X ? 2000) ? ? ? (1 ? ) ? 3 3 3 4 6 3 4 5 10 2 3 4 2 P ( X ? 3000) ? ? ? ? ------------------9 分 3 4 5 5 P( X ? 0) ? 1 ?

所以, X 的分布列为 数学期望为 E ( X ) ? 0 ? 21.【答案】 【解析】(I)∵ 2 cos 2

1 1 1 2 4700 ? 1000 ? ? 2000 ? ? 3000 ? ? ---------------------12 分 3 6 10 5 3
A ? (cos B ? 3 sin B ) cos C ? 1 , 2

∴ cos A ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ ? cos(B ? C) ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ ? cos B cosC ? sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 0 , ∴ sin B sin C ? 3 sin B cosC ? 0 ,因为 sin B > 0 ,所以 tanC ? 3 又∵ C 是三角形的内角,∴ C ?

?
3

.

22.【答案】 【解析】解:函数 f(x)= 当 x≥﹣1 时,2x+4<4,解得﹣1≤x<0; 当 x<﹣1 时,﹣x+1<4 解得﹣3<x<﹣1. 综上 x∈(﹣3,0). 不等式的解集为:(﹣3,0). 23.【答案】 ,不等式 f(x)<4,

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