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5.2.2等差数列的前n项和


等差数列的前n项和

教学目标:
1、理解掌握等差数列前n项和公式的推导
2、熟练掌握等差数列前n项和公式

3、能熟练运用等差数列前n项和公式解决简单的实际问题

教学重点:等差数列的前n项和公式 教学难点:理解掌握等差数列前n项和公式的推导

复习回顾: 1、等差数列的概念: 如果一个数列从它的第2起,每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数,则这个数列叫做等差数列 2、等差数列的通项公式: an ? a1 ? ? n ? 1? d 3、等差数列{an}中,从第2项起,每一项都是它前后两项的 等差中项,也是它前后等距离两项的等差中项。

a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? a4 ? an ?3 ? ……

a1 ? an ? 2a1 ? ? n ? 1? d a2 ? an -1 ? (a1 ? d ) ? a1 ? (n ? 2)d ? 2a1 ? ? n ? 1? d
……

若 m?n ? p?q

则 am ? an ? a p ? aq _______

思考问题: 如图所示,用正方体积木垒台阶模型。第一层用6块积木, 第二层用5块积木,……第六层用1块积木。试求共用积木多少块? 1+2+3+4+5+6= 21 想一想: 怎样才能快速计算出所需积木的块数S6呢?

把原模型上下倒置后,放在原模型上。

7?6 S6 ? ? 21 2

等差数列{an}的前n项和记为Sn: 把①式右边部分顺序倒过来得

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? …… ? an?1 ? an



Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ……? a2 ? a1
①+②可得



2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an ?1 ? ? ? a3 ? an ? 2 ? ? …… ? ? an ?1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? ? n ? a1 ? an ?

n ? a1 ? an ? Sn ? 2

等差数列的前n项和公式:

n ? a1 ? an ? Sn ? 2
n[ a1 ? a1 ? ( n ? 1) d ] ? n ? n ?2 1? d Sn ? na1 ? n[2a1 ? 2 (n ? 1)d ] ? 2 5050 例如:1+2+3+4+…… 2+100=_____ na1 ? n (n ? 1)d ] ? 2 2550 2+4+6+8+……+100=____ n( n ? 1) d ? na1 ? 2

例6 如图所示,一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层 放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1支,最上面 放120支,这个V形架上共放多少支铅笔?

解:由题意知,这个V形架上共放120层铅笔,且自下而上 其中a1=1,d=1,a120=120。 各层的铅笔数组成等差数列,记为{an},
根据等差数列前n项和公式,得

S120

120 ? ?1 ? 120 ? ? =7260 2

即这个V形架上共放7260支铅笔.

例7 在小于100的正整数的集合中,有多少个数是7的倍数? 并求它们的和。 解:在小于100的正整数的集合中,7的倍数是 7, 7×2,7×3,…… 7×14, 其中,a1=7,d=7,n=14, a14=7×14=98 由等差数列的前n 项和公式得
14 ? ? 7+98 ? S14 ? =735 2 即在小于100的正整数集合中,有14个数是7 的倍数,它们的和为735.

这些数构成等差数列{an}

小 结: 等差数列的前n项和公式:

n ? a1 ? an ? Sn ? 2
n ? n ? 1? d Sn ? na1 ? 2

练一练:
根据下列条件,求相应等差数列的Sn: 求正整数列中前500个偶数的和。

相信自己

解:正整数列中前500个偶数依次是 ……, 1000。 它们构成等差数列 2, 4, 6, 8, 其中,a1=2,d=2,n=500,a500=1000。
所以,S500 500 ? ? 2+1000 ? ? 2

=250500
即正整数列中前500个偶数的和是250500

再 见



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