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河南省西华三高高二数学上学期期末模拟试题

西华三高 2012——2013 学年上学期期末模拟测试

高二数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出一四个
选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1.下列命题正确的是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b
2

B.若 a ? b ,则 ac2 ? bc 2 D.若 a ? b ,则 a ? b

2.不等式-6x -x+2≤0 的解集是( ) ? ? ? ? ? 2 1? 2 1? 1? 3? ? ? ? ? ? ? ? A.?x|- ≤x≤ ? B.?x|x≤- 或x≥ ? C.?x|x≥ ? D.?x|x≤- ? 3 2? 3 2? 2? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 3.与双曲线 x 2 ? y ? 1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程为

4

A.

y 2 x2 ? ?1 3 12

x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ? 1 C. B. 2 8 2 8

D.

x2 y 2 ? ?1 3 12

4.已知直线 2 x ? y ? 4 ? 0 ,则抛物线 y ? x2 上到直线距离最小的点的坐标为 A. (1, ?1) B. (1,1) C. (?1,1) D. (?1, ?1)

5.在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2, 2an+1 =2an +1,n ? N * , 则 a101 的值为 A. 49 B. 50 C. 51 ) D. y ? x ? e D.52

6.函数 f ( x) ? e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2e( x ? 1) B. y ? ex ? 1 C. y ? e( x ? 1)

7.在等差数列 ?an ? 中,3( a3 + a5 )+2(a 7 + a10 + a13 )=24,则此数列前 13 项之和 A.26 B.13 C.52 D.156
?x ? y ?1 ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?

) C. 2 D. 3 S3 1 S6 9.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 为 ( S6 3 S12 A. 3 10 B. 1 3 C. 1 8 D. 1 9

域的面积等于 2,则 a 的值为( A. -5 B. 1



高二数学试题 第 1 页 共 4 页

10.函数 f ( x) ?

1 4 1 2 x ? ax ,若 f ( x) 的导函数 f ?( x) 在 R 上是增函数,则实数 a 12 2 的取值范围是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0

11.函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 12.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ??0,1? 的最大值是( A.
1 2



) D. a ? 0 )

B. -1

C.0

D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卷
上,填写在本卷上无效) 13.若点 (2, 1) 和 (4, 3) 在直线 2 x ? 3 y ? a ? 0 的两侧, 则 a 的取值范围是 .

14. 在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? . 若

AC ? 2 AB ,则___

__

15. (1)设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心 率互为倒数,则该椭圆的方程是 .

(2) 已知一个动圆与圆 C: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 100 相内切,且过点 A(4,0) ,则 这个动圆圆心的轨迹方程是_______________ 16.对于函数 f ( x) ? ax3 , (a ? 0) 有以下说法: ① x ? 0 是 f ( x) 的极值点. ②当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??,??) 上是减函数. ③ f ( x) 的图像与 (1, f (1)) 处的切线必相交于另一点.
1 ④若 a ? 0 且 x ? 0 则 f ( x ) ? f ( ) 有最小值是 2a . x 其中说法正确的序号是_______________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤) 17 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,a+b=5, c ? 7 , C ? (1)求 a,b; (2)求 ?ABC 的面积。

?
3

,

高二数学试题 第 2 页 共 4 页

18、已知命题 P:实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 (a>0),命题 q: 实数 x 满足
x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ? ?n2 ? 2kn (k ? N? ) ,且 Sn 的

最大值为 4。 (1)求数列 ?an ? 的通项 an (2)令 bn ?
5 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 2n

20.(本小题满分 12 分) 某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利 率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投 资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资 人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

高二数学试题 第 3 页 共 4 页

9 21.设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? a . 2



(1)求函数 f ( x) 的单调区间. (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根,求实数 a 的取值范围.

22.已知双曲线与双曲线 C: (1) 求双曲线 C 的方程;

x2 ? y 2 ? 1有相同的渐近线,且经过(-3,2)点, 2

(2) 求直线 y ? x ? 3 被双曲线 C 所截得的弦长。

高二数学试题 第 4 页 共 4 页

西华三高 2012——2013 学年上学期期末模拟测试

高二数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出一四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.下列命题正确的是 ( ) A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b
2 2 B.若 a ? b ,则 ac ? bc

D.若 a ? b ,则 a ? b

2.不等式-6x2-x+2≤0 的解集是( ) 2 1? 2 1? 1? 3? ? ? ? ? A.?x|-3≤x≤2? B.?x|x≤-3或x≥2? C.?x|x≥2? D.?x|x≤-2? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 y 3.与双曲线 x 2 ? ? 1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程为 ( 4 A. y ? x ? 1
3 12
2 2



B.

y2 x2 ? ?1 2 8

C.

x2 y2 ? ?1 2 8

2 2 D. x ? y ? 1

3

12

4 . 已 知 直 线 2 x ? y ? 4 ? 0 , 则 抛 物 线 y ? x2 上 到 直 线 距 离 最 小 的 点 的 坐 标 为 ( ) A. (1, ?1) B. (1,1) C. (?1,1) D. (?1, ?1) ( D.52 ) D. y ? x ? e ) )

5.在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2, 2an+1 =2an +1,n ? N * , 则 a101 的值为 A. 49 B. 50 C. 51

6.函数 f ( x) ? e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2e( x ? 1) B. y ? ex ? 1 C. y ? e( x ? 1)

7.在等差数列 ?an ? 中,3( a3 + a5 )+2(a 7 + a10 + a13 )=24,则此数列前 13 项之和( A.26 B.13 C.52 D.156

?x ? y ?1 ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则 a 的值为( A. -5 B. 1 ) C. 2 D. 3
w.w.

9.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A. 3 10 B. 1 3 C. 1 8

S3 1 S6 = ,则 为 ( S6 3 S12
D. 1 9



高二数学试题 第 5 页 共 4 页

10.函数 f ( x) ? 范围是( A. a ? 0

1 4 1 2 x ? ax ,若 f ( x) 的导函数 f ?( x) 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值 12 2
) B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0 ( ) D. a ? 0 )

11.函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0

12.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ? 0,1 的最大值是( A.

? ?

1 B. -1 C.0 D.1 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卷上,

填写在本卷上无效)
13.若点 (2, 1) 和 (4, 3) 在直线 2 x ? 3 y ? a ? 0 的两侧, 则 a 的取值范围是 (?11) , .

14. 在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? . 若

AC ? 2 AB ,则 BD=2+ 5

___

__

15.设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒 数,则该椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1 2



2 2 15. 已知一个动圆与圆 C: ( x ? 4) ? y ? 100 相内切,且过点 A(4,0) ,则这个动圆圆心的

x2 y 2 轨迹方程是___ 25 ? 9 ? 1 ____________
16.对于函数 f ( x) ? ax , (a ? 0) 有以下说法:
3

① x ? 0 是 f ( x ) 的极值点. ②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??,??) 上是减函数. ③ f ( x ) 的图像与 (1, f (1)) 处的切线必相交于另一点.

1 x 其中说法正确的序号是__②③_____________.

④若 a ? 0 且 x ? 0 则 f ( x ) ? f ( ) 有最小值是 2 a .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,a+b=5, c ? 7 , C ?
(1)求 a,b; (2)求 ?ABC 的面积。
高二数学试题 第 6 页 共 4 页

?
3

,

18、 已知命题 P: 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0(a>0) ,命题 q: 实数 x 满足 x ? 6 x ? 8 ? 0 ,
2 2 2

若 p 是 q 的充分不不必要条件,求 a 的取值范围。

19.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ? ?n2 ? 2kn (k ? N? ) ,且 Sn 的最 大值为 4(1)求数列 ?an ? 的通项 an

(2)令 bn ?

5 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 2n

19.题 解:由条件知 n ? ? 所以

2k ? k 时, Sn 有最大值 4, 2 ? ?1?

?k 2 ? 2k ? k ? 4

k ? 2, k ? ?2 (舍去)

3分

(1) 由条件知 Sn ? ?n2 ? 4n 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 5 ? 2n 经验证 n ? 1 时也符合 an ? 5 ? 2n 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 5 ? 2n(n ? N? ) (2) 由题意知 bn ?
n 2 n ?1

5分

设数列 ?bn ? 的前项和为 Tn
Tn ? 1 2 3 4 n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 , 0 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 n Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n , 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 1 1 1 1 1 n Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2

高二数学试题 第 7 页 共 4 页

?1? 1? ? ? n 2 ? ? ? ? n 1 2 1? 2

n

10 分

?1? 所以, Tn ? 4 ? ? ? ? 2?

n?2

?

n 2n?1
12 分

? 2?n? Tn ? 4 ? ? n ?1 ? ? 2 ?

18.(本小题满分 12 分) 某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多 少万元,才能使可能的盈利最大? 18.(本小题满分 12 分) 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知 x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0. 目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交, 其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大,这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. 解方程组

? x ? y ? 10, ? ?0.3x ? 0.1y ? 1.8,

得 x=4,y=6,此时 z=1×4+0.5×6=7(万元).

∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在 确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大. 19.设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2



高二数学试题 第 8 页 共 4 页

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间. (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根,求实数 a 的取值范围. 19.(1) ?? ?,1? 和 ?2,??? 是增区间; ?1,2? 是减区间--------6 分 (2)由(1)知 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ;----------9 分 因为方程 f ( x) ? 0 仅有三个实根.所以 ? 解得: 2 ? a ?

? f (1) ? 0 ? f (2) ? 0

5 ------------------12 分 2

20.已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,

3 . 2 (1)求 f ( x) 的解析式. (2)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围. 20. (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,
又 f ?( ) ?

1 2

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? a ? ?2 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? f ?? ? ? ? ? ?2? 4 2 2 ? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 .--------------6 分 3 2 (2)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 , 1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 . 2 1 又 f ( x) ≤ x 在区间 ?0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤ --------12 分 2
另解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ?2 x 3 ? 3x 2 ? x ? 0 在 ?0, m ? 上恒成立 即求在 ?0, m ? 上 ?g ( x)?max ? 0 满足的条件



g ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 1 ? 0 , x ?

3? 3 3? 3 或 6 6

?3? 3 3? 3? ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? 6 , 6 ? 是单调增区间 ? ?

高二数学试题 第 9 页 共 4 页

? ? 3? 3? ?3? 3 ? ? ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? ? ?, 6 ?和? 6 ,?? ? 是单调减区间 ? ? ? ?
①若 0 ? m ?

? 3? 3 3? 3? , 则有?0, m? ? ? ? ? , ? ? 6 6 ? ?

g ( x) max ? g (0) ? 0, 成立
②若

3? 3 3? 3 ?m? , 有g (m) ? 0 6 6 3? 3 1 ?m? 6 2

综合得:

③m ?

3? 3 3? 3 3 , 有g ( )? ? 0, 矛盾 6 6 18
1 2

综上: 0 ? m ?

x2 ? y 2 ? 1有相同的渐近线,且经过(-3,2)点, 21 已知双曲线与双曲线 C: 2
(3) 求双曲线 C 的方程; (4) 求直线 y ? x ? 3 被双曲线 C 所截得的弦长。

高二数学试题 第 10 页 共 4 页



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