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新疆克拉玛依市第十三中学秋八年级数学上册 15.2《完全平方公式(一)》教案 新人教版【精品教案】

§15.2 完全平方公式(一) 教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的 推导及其应用. 2.完全平方公式的几何解释. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解,有意识地培养学生的思维条理性和表达能力. (三)情感与价值观要求 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣,培养创新能力和探索精神. 教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用. 教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算. 教学方法 自主探索法 有了平方差公式的学习基础,学生可以在教师 引导下自主探索完全平方公式,最后达到灵活、准确应 用公式的目的. 教具准备 投影片. 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 请同学们探究下列问题: (出示投影片 ) 一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人 就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块塘 ,… (1)第一天有 a 个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有 b 个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖? (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?为什么? 用心 爱心 专心 1 (1)第一天老人一共给了 这些孩子 a 糖. (2)第二天老人一共给了这些孩子 b 糖. (3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b) 糖. (4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较,应用减法.即: (a+b) (a +b ) 我们上一节 学了平方差公式即(a+b) (a-b)=a -b ,现在遇到了两个数的和的平方,这倒是个新问题. 老师很欣赏你的观察力,这正是我们这节课要研究的问题. Ⅱ.导入新课 能不能将(a+b) 转化为我们学过的知识去解决呢? 可以.我们知道 a =a·a,所以(a+b) =(a+b) (a+b) ,这样就转化成多项式与多项式的乘积了. 像研究平方差公式一样,我们探究一下(a+b) 的运算结果有什么规律. (出示投影片) 计算下列各式,你能发现什么规律? (1) (p+1) =(p+1) (p+1)=_______; (2) (m+2) =__ _____; (3) (p-1) =(p-1) (p-1)=________; (4) (m-2) =________; (5) (a+b) =________; (6) (a-b) =________. (1) (p+ 1) =(p+1) (p+1)=p +p+p+1=p +2p+1 (2) (m+2) =(m+2) (m+2)=m +2m+m·2+2×2=m +4m+4 (3) (p-1) =(p-1) (p-1)=p +p· (-1)+(-1) ·p+(-1)×(-1)=p -2p+1 (4) (m-2) =(m-2) (m-2)=m +m· (-2)+(-2) ·m+(-2)×(-2)=m -4m+4 (5) (a+b) =(a+b) (a+b)=a +ab+ba+b =a +2ab+b (6) (a-b) =(a-b) (a-b)=a -ab-ab+b =a -2ab+b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 我还发现(1)结果中的 2p=2·p·1, (2)结果中 4m=2·m·2, (3) 、 (4)与(1) 、 (2)比较只有一 次项有符号之差, (5) 、 (6)更具有一般性,我认为它可以做公式用. 大家分析得很好.可以用语言叙述吗? 两数和(或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减)它们的积的 2 倍. 它是一个完全平方的形式,能不能叫完全平方公式呢? 很有道理.它和平方差公式一样,使整式运算简便易行.?于是我们得到完全平方公式: 用心 爱心 专心 2 文字叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍. 符号叙述: (a+b) =a +2ab+b 2 2 2 (a-b) =a -2ab+b 2 2 2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式. (出示投影片) 你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗? 先看图(1) ,可以看出大正方形的边长是 a+b. 还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成,?所以大正方形的面积等于这四个图形的面 积之和. 阴影部分的正方形边长是 a,所以它的面积是 a ;另一个小正方形的边长是 b,所以它的面积是 b ; 另外两个矩形的长都是 a, 宽都是 b, 所以每个矩形的面积都是 ab; 大正方形的边长是 a+b, 其面积是 (a+b) 2 2 2 .于是就可以得出: (a+b) =a +ab+b .这正好符合完全平方公式. 那么,我们可以用完全相同的方法来研究图(2)的几何意义了. 如图(2)中,大正方形的边长是 a,它的面积是 a ;矩形 DCGE 与矩形 BCHF 是全等图形,长都是 a, 2 2 2 2 宽都是 b, 所以它们的面积都是 a· b; 正方形 HCGM 的边长是 b, 其面积就是 b ; 正方形 AFME 的边长是 (a-b) , 所以它的面积是(a-b) .从图中可以看出正方形 AEMF 的面积等于正方形 ABCD 的面积减去两个矩形 DCGE 和 BCHF 的面积再加上正方形 HCGM 的面积.?也就是: (a-b) =a -2ab+b .这也正好符合完全平方公式. 数学源于生活,又服务于生活,于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征.现在,大家可以 轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了. (a+b) -(a +b ) =a +2ab+b -a -b


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