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双曲线及其标准方程导学案


§2.3.1
编写:崔军祥

双曲线及其标准方程导学案
审核:赵红荣 时间:2014-12-1

学习目标 1.掌握双曲线的定义;掌握双曲线的标准方程.会根据已知条件求双曲线的标准方程。 2.能用双曲线的标准方程解决简单的实际问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P52~ P55,文 P45~ P48 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么? 复习 2:在椭圆的标准方程 合条件的椭圆方程. 二、新课导学 (一) 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差” ,那么点的轨迹会怎样?

x2 y 2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符 a 2 b2

新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 , 两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 . ; . .

反思:设常数为 2 a ,为什么 2a ? F1 F2 ?
2a ? F1 F2 时,轨迹是 2a ? F1 F2 时,轨迹

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 新知 2:双曲线的标准方程: 1.双曲线标准方程的推导: (1)建系

y

(2 ) 设点

M

F1

O

F2

x

(3)列式

(4)化简方程 思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

2.小结完成下表:

双曲线的定义

图 形

标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的判断 (二)典型例题 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 的距离的差的绝对 值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

变式:求满足下列条件的双曲线方程 1.若 a=4,b=3,焦点在 x 轴上;

例 2:已知 A,B 两地相距 800m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s,且声速为 340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程。

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

动手试试 练一:1.双曲线 A、 ( ? 5 ,0 )

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 3 2
B、 ( 0,? 5 )C、 ( ? 1,0 )

) D、 ( 0,?1 )

2、求适合下列条件的双曲线的标准方程

(1)焦点在 x 轴上,经过点( ? 2 , ? 3 ),(

15 , 2 ); 3

(2)焦点为(0,-6) , (0,6) ,且经过点(2,-5)。 (3)焦距为 4,过点 B(3, 2) ; (4)过点 P(5, ), Q(

9 4

4 10 ,1) 。 3

练二.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积 4 是 ,试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状. 9 三、总结提升 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. 学习评价 当堂检测(时量:10 分钟 满分:40 分)计分: 1.双曲线

x2 y 2 ? ? 1上一点 P 到点 A(?13,0) 的距离等于 15,则点 P 到点 B(13,0) 的距 144 25
. 。 .

离是 . 2 2 2.双曲线 2x -3y =1 焦点坐标为 3.焦距为 8 2 且过点 M (3, ?5) 的双曲线的标准方程为

4.动点 P 到定点 F1(-5,0) ,F2(5,0)的距离的和差是 10,则动点 P 的轨迹为 5.双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( ) . ? 25 25 A. B. C. ?1 D. 1 6.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) . A. 5 B. 13 C.
5

D.

13

7.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程 为 . 2 2 x y 8.已知方程 . ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1 课后作业 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) . 2、根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点 P (3,

15 16 ) ,Q ( ? ,5) 且焦点在坐标轴上; 4 3

(2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.

拓展提升
2 2 1.简化方程: x ? ( y ? 5) ?

x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 9

得 。表示的点的轨迹是 2 2 2.双曲线方程为 x -2y =1,则它的右焦点坐标为( ) A.( C.( 2 ,0) 2 6 ,0) 2 B.( 5 ,0) 2

D (1,0)

3.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2 1 A. B.1 或-2 2 1 C.1 或 D.1 2 4.过点(1,1)且 = 2的双曲线的标准方程为________.

x

2

y

2

x

2

y

2

)

b a

5、求与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有共同焦点且过点( 3 2 , 2 )的双曲线的标准方程; 25 5

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求实数 k 的取值范围,并写出交点坐标. 6. 已知方程 2 ? k k ?1
7.双曲线 4 x2 ? y 2 ? 64 ? 0 上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 1, 求 M 到另一个焦点的距 离.

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。 8.求以椭圆 5 8
x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0,b ? 0 ? ,焦点为 F1 , F2 , P 是双曲线上一 a2 b2 点, ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) .
9.思考:已知双曲线方程


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