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高中数学 第一章 解三角形测评(A卷)新人教B版必修5

第一章 解三角形

测评(A 卷) (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.在△ABC 中,a=5,b=3,∠C=120°,则 sinA∶sinB 的值是

A.53

B.35

C.37

D.57

答案:A 由正弦定理知 sinA∶sinB=a∶b=5∶3.

2.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,∠B=120°,则 a 等 于

A. 6

B.2

C. 3

6

2

答案:D 由正弦定理sin120°=sinC,

D. 2

1 ∴sinC=2.

∴∠C=30°. ∴∠A=30°.

∴a=c= 2. 3.在△ABC 中,a+b+10c=2(sinA+sinB+10sinC),∠A=60°,则 a 等于

A. 3

B.2 3

C.4

答案:A 由正弦定理易得△ABC 的外接圆半径为 1,

D.不确定

∴sianA=2R=2.

∴a=2sinA= 3.

4.已知△ABC 中,a= 2,b= 3,∠B=60°,那么∠A 等于

A.135°

B.90°

C.45°

D.30°

答案:C 由正弦定理,得sin2A=sin3B,

2

2

∴sinA=

·sin60°= 3

2

.

∵a<b,∴∠A<∠B. ∴∠A=45°. 5.在△ABC 中,已知 a=2,则 bcosC+ccosB 等于

A.1

B. 2

C.2

D.4

a2+b2-c2 a2+c2-b2 2a2 答案:C bcosC+ccosB=b· 2ab +c· 2ac = 2a =a=2.

6.在△ABC 中,∠A=π3 ,BC=3,则△ABC 的周长为

A.4 3sin(B+π3 )+3

B.4sin(B+π3 )+3

C.6sin(B+π3 )+3

D.6sin(B+π6 )+3

答案:D 令 AC=b,BC=a,AB=c,a+b+c=3+b+c=3+2R(sinB+sinC)=3+si3nπ3 [sinB

+sin(120°-B)]=3+

6 (sinB+ 3

23cosB+12sinB)=3+6sin(B+π6

).

7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)·tanB= 3ac,则∠B

的值为

A.π3

B.2π3

C.π6

D.π3 或23π

答案:D 由(a2+c2-b2)tanB= 3ac 得a2+2ca2c-b2= 23scionsBB,

3 cosB 即 cosB= 2 ·sinB,

3 ∴sinB= 2 . 又∠B∈(0,π ), ∴∠B=π3 或23π .

8.在△ABC 中,a=2bcosC,则△ABC 的形状一定是

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

答案:A

9.伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场的形势,由分别位于科威特和沙特的两个

3 距离 2 a 的军事基地 C 和 D,测得伊拉克两支精锐部队分别在 A 处和 B 处,且∠ADB=30°,

∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,则伊军这两支精锐部队间的距离是

A. 46a

B. 26a

C.38a

D. 23a

答案:A ∵∠ADC=∠ACD=60°,

∴△ADC 是正三角形.

∴AC= 23a.在△BDC 中,由正弦定理得

BC

DC

sin∠BDC=sin∠DBC,

31 2 a·2 6 即 BC= 2 = 4 a.
2

∴在△ABC 中由余弦定理得

3

6

36

3

AB2=( 2 a)2+( 4 a)2-2· 2 a· 4 acos45°=8a2,

∴AB= 46a.

10.如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间

的距离是 2,正三角形 ABC 的三个顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是

A.2 3

B.43 6

C.34 17

D.23 21

答案:D 设正三角形边长为 a,AB 与 l2 夹角为 θ ,易知, 1=asinθ ,2=asin(60°-θ );于是 2asinθ =a·sin(60°-θ ),

3

5

∴ 2 cosθ -2sinθ =0.

∴tanθ



53,cosθ

=5. 27

∴sinθ

= 2

3 7

.

27 2 ∴a= 3 =3 21.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 7
11.在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD=2,那么 BC=__________.

答案: 9 如图,延长 AD 至 E,使 DE=AD,连结 BE,CE,则四边形 ABEC 为平行四边形.AE=2AD

=7,在△ACE 中,cos∠ACE=722+×472×-472=27, ∴cos∠BAC=-27. 在△ABC 中,BC2=72+42+2×7×4×27=81, ∴BC=9.
12.已知平面上有四点 O、A、B、C,满足 O A +O B +O C =0,O A ·O B =O B ·O C =

O C ·O A =-1,则△ABC 的周长是__________.

答案:3 6 由已知,得 O 是△ABC 的外心,|O A |=|O B |=|O C |,又 O A ·O B =

O B ·O C =O C ·O A =-1,故∠AOB=∠BOC=∠BOA=2π3 ,|O A |=|O B |=|O C |=

2, ∴△AOB 为等腰三角形. 在△AOB 中,AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos23π =6,

∴AB= 6. ∴△ABC 的周长为 3 6. 13.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cosA, sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则∠B=________.

答案:π6 ∵m⊥n,∴ 3cosA-sinA=0.

3

1

∴ 2 cosA-2sinA=0.

∴cos(A+π6 )=0.

∵∠A+π6 ∈(π6 ,76π ),

∴∠A+π6 =π2 .

∴∠A=π3 .

由正弦定理 acosB+bcosA=csinC 可化为 sinAcosB+sinBcosA=sin2C, ∴sin(A+B)=sin2C. 而 sinC=sin(A+B)≠0, ∴sinC=1. ∴∠C=90°.

∴∠B=π2 -∠A=π6 .

14.在△ABC 中,三个角∠A,∠B,∠C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA

+cacosB+abcosC 的值为__________.

61

b2+c2-a2

b2+c2-a2

答案:2 在△ABC 中,由余弦定理 cosA= 2bc ,有 bccosA= 2 ,同理 accosB

a2+c2-b2

a2+b2-c2

= 2 ,abcosC= 2 ,

a2+b2+c2 61 ∴原式= 2 = 2 .

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 54 分) 15.(10 分)在△ABC 中, (1)若 a= 6,b=2,c= 3+1,求∠A、∠B、∠C 及 S△ABC;

(2)已知 b=4,c=8,∠B=30°,求∠C、∠A 与 a.
答案:解:(1)由余弦定理,得 cosA=b2+2cb2c-a2=222×+2(×3(+31+)21-)6=12,
∴∠A=60°,cosB=a2+2ca2c-b2= 22, ∴∠B=45°. ∴∠C=180°-60°-45°=75°, ∴S△ABC=12bc·sinA=12×2×( 3+1)sin60°=3+2 3. (2)由正弦定理,得 sinC=csbinB=8sin430°=1. 又 30°<∠C<150°, ∴∠C=90°. ∴∠A=180°-(∠B+∠C)=180°-120°=60°. ∴a= c2-b2=4 3.

16.(10 分)(2009 全国高考卷Ⅰ,文 18)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c.已知 a2-c2=2b,且 sinB=4cosAsinC,求 b. 答案:解:由余弦定理得 a2-c2=b2-2bccosA. 又 a2-c2=2b,b≠0, 所以 b=2ccosA+2.①
b sinB 由正弦定理得c=sinC,
sinB 又由已知得sinC=4cosA, 所以 b=4ccosA.② 故由①②解得 b=4.

17.(10 分)(2009 海南、宁夏高考,理 17)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方 向在 A,B 两点进行测量.A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数 据有俯角和 A,B 间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示, 并在图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤. 答案:解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 α 1,β 1;B 点到 M,N 点 的俯角 α 2,β 2;A,B 的距离 d(如图所示).
②第一步:计算 AM.由正弦定理 AM=sind(sαin1α+2α 2); 第二步:计算 AN.由正弦定理 AN=sind(sβin2β-2β 1); 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN= AM2+AN2-2AM×ANcos(α 1-β 1). 方案二:①需要测量的数据有: A 点到 M,N 点的俯角 α 1,β 1;B 点到 M,N 点的俯角 α 2,β 2;A,B 的距离 d(如图所示). ②第一步:计算 BM.由正弦定理 BM=sind(sαin1α+1α 2); 第二步:计算 BN.由正弦定理 BN=sind(sβin2β-1β 1); 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN= BM2+BN2+2BM×BNcos(β 2+α 2).
18.(12 分)在锐角三角形中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA=2 3 2. (1)求 tan2B+2 C+sin2A2;
(2)若 a=2,S△ABC= 2,求 b 的值. 答案:解:(1)在锐角△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π ,sinA=2 3 2, ∴cosA=13,则 tan2B+2 C+sin2A2

B+C

sin2 2

A

= B+C+sin22

cos2 2

=11- +ccooss((BB+ +CC))+12(1-cosA) =11+ -ccoossAA+13=73.

(2)∵S△ABC= 2,又 S△ABC=12bcsinA=12b·c·2 3 2= 2, ∴bc=3.将 a=2,cosA=13,c=3b代入 a2=b2+c2-2bccosA,得 b4-6b2+9=0,解得 b

= 3.

19.(12 分)已知 k 是正整数,钝角三角形的三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c. (1)若方程 x2-2kx+3k2-7k+3=0 有实根,求 k 的值;
(2)对于(1)中的 k 值,若 sinC= k ,且有关系式(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,试求角 A、 2
B、C 的度数. 答案:解:(1)∵方程 x2-2kx+3k2-7k+3=0 有实根, ∴Δ =4k2-4(3k2-7k+3)≥0, 即 2k2-7k+3≤0. ∴12≤k≤3,又 k∈N+. ∴k=1,2,3. (2)在钝角△ABC 中,0<sinC<1, ∴k=1,sinC= 22. ∴∠C=45°或∠C=135°. ∵(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C, 由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得(c-b)a2+b3-c3=0,即(b-c)(b2+ c2-a2+bc)=0, ∴b=c 或 b2+c2-a2+bc=0. 当 b=c 时∠B=45°或 135°,这与△ABC 为钝角三角形矛盾, ∴b2+c2-a2+bc=0. 由余弦定理得 cosA=b2+2cb2c-a2=-12, ∴∠A=120°,∠C=45°,∠B=180°-(∠A+∠C)=15°.



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