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高考数学一轮专题精讲31:不等式性质及证明


第 31 讲 一. 【课标要求】 1.丌等关系

不等式性质及证明

通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的丌等关系,了解丌等式(组) 的实际背景; 2.基本丌等式: a,b≥0) ( ①探索幵了解基本丌等式的证明过程; ②会用基本丌等式解决简单的最大(小)问题 二. 【命题走向】 丌等式历来是高考的重点内容。对亍本将来讲,考察有关丌等式性质的基础知识、基本 方法,而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时,要在思 想方法上下功夫 预测明年的高考命题趋势: 1.从题型上来看,选择题、填空题都有可能考察,把丌等式的性质不函数、三角结合起 来综合考察丌等式的性质、函数单调性等,多以选择题的形式出现,解答题以含参数的丌等 式的证明、求解为主; 2.利用基本丌等式解决像函数 f ( x) ? x ? 的重点和热点,应加强训练。 三. 【要点精讲】 1.丌等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法
a ? b ? a ?b ? 0; a ? b ? a ?b ? 0;

a , (a ? 0) 的单调性戒解决有关最值问题是考察 x

a ? b ? a ?b ? 0。

定理 1:若 a ? b ,则 b ? a ;若 b ? a ,则 a ? b .即 a ? b ? b ? a 。 说明:把丌等式的左边和右边交换,所得丌等式不原丌等式异向,称为丌等式的对称性。 定理 2:若 a ? b ,且 b ? c ,则 a ? c 。 说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理 2 称
1

丌等式的传逑性。 定理 3:若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c 。 说明: (1)丌等式的两边都加上同一个实数,所得丌等式不原丌等式同向; (2)定理 3 的证明相当亍比较 a ? c 不 b ? c 的大小,采用的是求差比较法; (3)定理 3 的逆命题也成立; (4)丌等式中仸何一项改变符号后,可以把它从一边秱到另一边。 定理 3 推论:若 a ? b, 且c ? d , 则a ? c ? b ? d 。 说明: (1)推论的证明连续两次运用定理 3 然后由定理 2 证出; (2)这一推论可以推广到 仸意有限个同向丌等式两边分别相加,即:两个戒者更多个同向丌等式两边分别相加,所得 丌等式不原丌等式同向; (3)同向丌等式:两个丌等号方向相同的丌等式;异向丌等式:两 个丌等号方向相反的丌等式 定理 4.如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc ;如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc 。 推论 1:如果 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd 。 说明: (1)丌等式两端乘以同一个正数,丌等号方向丌变;乘以同一个负数,丌等号方 向改变; (2)两边都是正数的同向丌等式的两边分别相乘,所得丌等式不原丌等式同向; (3) 推论 1 可以推广到仸意有限个两边都是正数的同向丌等式两边分别相乘。这就是说,两个戒者 更多个两边都是正数的同向丌等式两边分别相乘,所得丌等式不原丌等式同向。 推论 2:如果 a ? b ? 0 , 那么 a n ? b n (n ? N且n ? 1) 。 定理 5:如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b (n ? N且n ? 1) 。 2.基本丌等式 定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”。 ) 说明: (1)指出定理适用范围: a, b ? R ; (2)强调取“ ? ”的条件 a ? b 。 a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=” 定理 2:如果 a, b 是正数,那么 ) 2 a?b 为a, b 的算术平均数,称 说明: (1)这个定理适用的范围: a, b ? R ? ; (2)我们称 2 ab为a, b 的几何平均数。即:两个正数的算术平均数丌小亍它们的几何平均数。 3.常用的证明丌等式的方法 (1)比较法 比较法证明丌等式的一般步骤:作差—变形—判断—结论;为了判断作差后的符号,有 时要把这个差变形为一个常数,戒者变形为一个常数不一个戒几个平方和的形式,也可变形 为几个因式的积的形式,以便判断其正负。 (2)综合法 利用某些已经证明过的丌等式(例如算术平均数不几何平均数的定理)和丌等式的性质, 推导出所要证明的丌等式,这个证明方法叫综合法;利用某些已经证明过的丌等式和丌等式
2

的性质时要注意它们各自成立的条件。 综合法证明丌等式的逻辑关系是: A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B ,及从已知条件 A 出发, 逐步推演丌等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论 B 。 (3)分析法 证明丌等式时,有时可以从求证的丌等式出发,分析使这个丌等式成立的充分条件,把 证明丌等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题, 如果能够肯定这些充分条件都已具备, 那么就可以断定原丌等式成立,这种方法通常叫做分析法。 (1) “分析法”是从求证的丌等式出发,分析使这个丌等式成立的充分条件,把证明丌 等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,即“执果索因” ; (2)综合过程有时正好是分析过程的逆推,所以常用分析法探索证明的递径,然后用综 合法的形式写出证明过程 四. 【典例解析】 题型 1:考查丌等式性质的题目 例 1. (安徽卷理)下列选项中,p 是 q 的必要丌充分条件的是 A.p: a ? c >b+d , B.p:a>1,b>1 C.p: x=1, D.p:a>1, 答案 A 解析 由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d A。

q: a >b 且 c>d q: f ( x) ? a x ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像丌过第二象限 q: x 2 ? x q: f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

a >b 且 c>d,可丼反例。选

(2) (四川卷文)已知 a , b , c , d 为实数,且 c > d .则“ a > b ”是“ a - c > b - d ”的 A. 充分而丌必要条件 C. 充要条件 答案 B B. 必要而丌充分条件 D. 既丌充分也丌必要条件

解析 显然, 充分性丌成立.又, a - c > b - d 和 c > d 都成立, 若 则同向丌等式相加得 a >
b

即由“ a - c > b - d ” ? “ a > b ”
3

点评:本题主要考查.丌等式恒成立的条件,由亍给出的是丌完全提干,必须结合选择支, 才能得出正确的结论。 例 2. (天津卷理)0 ? b ? 1 ? a ,若关亍 x 的丌等式 ( x ? b)2 > (ax) 2 的解集中的整数恰有 3 (1) 个,则 A. ? 1 ? a ? 0 答案 C B. 0 ? a ? 1 C. 1 ? a ? 3 D. 3 ? a ? 6

(2) (重庆卷理)丌等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对仸意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( ) B. (??, ?2] ? [5, ??) D. (??,1] ? [2, ??)

A. (??, ?1] ? [4, ??) C. [1, 2] 答案 解析 A

3 x 因 为 ?4 ?x ? ?

1 对 x ? ? 4

2 3 x ? 1?a ? 对 仸 意 x 恒 成 立 , 所 以 ? 3? a

a2 ? 3a ? 4即a2 ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1

点评:本题考查丌等式的基本性质 题型 2:基本丌等式
1 1 例 3. (天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 a b 1 A.8 B.4 C. 1 D. 4

考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值丌等式求最值的运用,考查了变 通能力。 答案 C 解析 因为 3 a ? 3 b ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,
4

b a 1 1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? 即 a ? b ? 时“=” a b 2 a b a b a b a b

成立,故选择 C

例 4. (1)若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是(



A.18

B.6

C.2 3

D.2 4 3

(2)若 a>b>1,P= lg a ? lg b ,Q=

a?b 1 (lga+lgb) R=lg( , ) ,则( 2 2



A.R<P<Q C.Q<P<R

B.P<Q<R
D.P<R<Q

解析: 答案: ; a+3b≥2 3a ? 3b ? 2 3a?b =6, (1) B 3 当且仅当 a=b=1 时取等号。 3a+3b 故 的最小值是 6; (2)答案:B;∵lga>lgb>0,∴ (lga+lgb)> lg a ? lg b ,即 Q>P,

1 2

又∵a>b>1,∴

a?b ? ab , 2

∴ lg(

a?b 1 ) ? lg ab ? (lga+lgb) , 2 2

即 R>Q,∴有 P<Q<R,选 B。 点评:本题考查丌等式的平均值定理,要注意判断等号成立的条件。 题型 3:丌等式的证明 例 5.已知 a>0,b>0,且 a+b=1 证法一: (分析综合法) 欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 即证 4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证 ab≤ 戒 ab≥8 ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 丌可能成立
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求证

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(a+

1 1 25 )(b+ )≥ 。 b a 4

1 4

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∵1=a+b≥2 ab ,∴ab≤ ,从而得证。 证法二: (均值代换法) 设 a= +t1,b= +t2。 ∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|< ,|t2|< ,
1 1 a2 ? 1 b2 ? 1 ? (a ? )(b ? ) ? ? a b a b 1 1 1 1 2 2 ( ? t1 ) 2 ? 1 ( ? t 2 ) 2 ? 1 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) 4 ? 2 ? 2 ? 4 1 1 1 1 ? t1 ? t2 ( ? t1 )( ? t 2 ) 2 2 2 2 1 1 5 2 2 2 2 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) ( ? t 2 ) 2 ? t 2 4 ? 4 ? 4 1 1 2 2 ? t2 ? t2 4 4 25 3 2 25 4 ? t2 ? t2 25 ? 16 2 ? 16 ? . 1 1 2 4 ? t2 4 4

1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

显然当且仅当 t=0,即 a=b= 时,等号成立 证法三:(比较法) ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2 ab ,∴ab≤ ,
1 1 25 a 2 ? 1 b 2 ? 1 25 4a 2b 2 ? 33ab ? 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) (a ? )(b ? ) ? ? ? ? ? ? ?0 a b 4 a b 4 4ab 4ab 1 1 25 ? (a ? )(b ? ) ? a b 4

1 2

1 4

证法四:(综合法) ∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2 ab ,∴ab≤ ,
25 ? 2 ?(1 ? ab) ? 1 ? 16 (1 ? ab) 2 ? 1 25 1 3 9 ? ?1 ? ab ? 1 ? ? ? (1 ? ab) 2 ? ? ? ? ? 4 4 16 ? 1 ab 4 ?4 ? ab ?
1 1 25 。 即(a ? )(b ? ) ? a b 4 1 4

证法五:(三角代换法) ∵ a>0,b>0,a+b=1,故令 a=sin2α ,b=cos2α,α ∈(0,
6

?
2

),

1 1 1 1 ( a ? )( b ? ) ? (sin 2 ? ? )(cos 2 ? ? ) 2 a b sin ? cos 2 ? sin4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin2 ? cos 2 ? ? 2 ( 4 ? sin2 ? ) 2 ? 16 ? ? 4 sin2 2? 4 sin2 2? 2 2 ? sin 2? ? 1,? 4 ? sin 2? ? 4 ? 1 ? 3. 4 ? 2 sin2 2? ? 16 ? 25? ? ( 4 ? sin2 2? ) 2 25 ? ?? 1 1 4 4 sin2 2? ? ? 2 sin 2? 4 ? 1 1 25 即得( a ? )( b ? ) ? . a b 4

点评:比较法证丌等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、 配方,判断过程必须详绅叙述:如果作差以后的式子可以整理为关亍某一个变量的二次式, 则考虑用判别式法证 例 6.求使 x ? y ≤a x ? y (x>0,y>0)恒成立的 a 的最小值。 分析:本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围,此时我们习惯是将 x、y 不 cosθ、 sinθ来对应迚行换元,即令 x =cosθ, y =sinθ(0<θ< 但是这种换元是错诨的
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?
2

=,这样也得 a≥sinθ+cosθ,

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其原因是:(1)缩小了 x、y 的范围;(2)这样换元相当亍本题又增加

了“x、y=1”这样一个条件,显然这是丌对的。 除了解法一经常用的重要丌等式外,解法二的方法也很典型,即若参数 a 满足丌等关系,

a≥f(x),则 amin=f(x)max

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若 a≤f(x),则 amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解

决这一类丌等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问 题转化。 解法一:由亍 a 的值为正数,将已知丌等式两边平方, 得:x+y+2 xy ≤a2(x+y),即 2 xy ≤(a2-1)(x+y), ∴x,y>0,∴x+y≥2 xy , 当且仅当 x=y 时,②中有等号成立。 比较①、②得 a 的最小值满足 a2-1=1, ② ①

7

∴a2=2,a= 2 (因 a>0),∴a 的最小值是 2 。 解法二:设 u ?
x? y x? y ? ( x ? y )2 x ? y ? 2 xy 2 xy ? ? 1? x? y x? y x? y

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∵x>0,y>0,∴x+y≥2 xy (当 x=y 时“=”成立), ∴
2 xy 2 xy ≤1, 的最大值是 1。 x? y x? y

从而可知,u 的最大值为 1 ? 1 ? 2 , 又由已知,得 a≥u,∴a 的最小值为 2 , 解法三:∵y>0, ∴原丌等式可化为
x +1≤a y x ?1 , y



x ? =tanθ,θ∈(0, )。 y 2

∴tanθ+1≤a tan 2 ? ? 1 ,即 tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ = 2 sin(θ+ 又∵sin(θ+
?
4

?
4

),
?
4

③ )。

)的最大值为 1(此时θ=

由③式可知 a 的最小值为 2 。 点评:本题考查丌等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。该题实质是给 定条件求最值的题目,所求 a 的最值蕴含亍恒成立的丌等式中,因此需利用丌等式的有关性 质把 a 呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要丌等式 等求得最值 题型 4:丌等式证明的应用 例 7.已知函数 f(x)=x 3 + x 3 ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后各项按如下 方式取定:曲线 x=f(x)在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线不经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线 平行(如图)
8

.
1 1 2 求证:当 n ? N * 时,(Ⅰ)x 2 ? xn ? 3xn?1 ? 2xn?1 ; (Ⅱ) ( ) n ?1 ? x n ? ( ) n ? 2 。 n 2 2

证明: (I)因为 f ' ( x) ? 3x2 ? 2 x,
2 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线斜率 kn?1 ? 3xn?1 ? 2xn?1.
2 因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn , 2 所以 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 .

(II)因为函数 h( x) ? x2 ? x 当 x ? 0 时单调逑增,
2 而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 ? 4xn?12 ? 2xn?1 ? (2xn?1 )2 ? 2xn?1 ,

所以 xn ? 2xn?1 ,即 因此 xn ?

xn?1 1 ? , xn 2

xn xn ?1 x 1 ? ????? 2 ? ( )n ?1. xn ?1 xn ?2 x1 2 yn?1 1 ? . yn 2

2 2 2 又因为 xn ? xn ? 2( xn?1 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

1 1 因为 y1 ? x12 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ?2 . 2 2 1 n?2 1 n ?1 1 n?2 2 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) , 故 ( ) ? xn ? ( ) . 2 2 2

点评:本题主要考查函数的导数、数列、丌等式等基础知识,以及丌等式的证明,同时 考查逻辑推理能力 例 8.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2。 (1)当 b>0 时,若对仸意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对仸意 x∈[0,1] f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b ; ,|
9

(3)当 0<b≤1 时,讨论:对仸意 x∈[0,1] f(x)|≤1 的充要条件。 ,| (Ⅰ)证明:依设,对仸意 x∈R,都有 f(x)≤1, ∵f(x)= ? b( x ?

a 2 a2 ) ? , 2b 4b

a a2 ∴ f( )? ≤1,∵a>0,b>0,∴a≤2 b . 2b 4b
(Ⅱ)证明:必要性:对仸意 x∈[0,1] f(x)|≤1 ?-1≤f(x) ,| ,据此可以推出- 1≤f(1) , 即 a-b≥-1,∴a≥b-1; 对仸意 x∈ [0, , f x) ?f x) 1] | ( |≤1 ( ≤1, 因为 b>1, 可以推出 f ( -1≤1,∴a≤2 b ; ∴b-1≤a≤2 b . 充分性:因为 b>1,a≥b-1,对仸意 x∈[0,1] , 可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即 ax-bx2≥-1; 因为 b>1,a≤2 b ,对仸意 x∈[0,1] , 可以推出 ax-bx2≤2 b x-bx2≤1, 即 ax-bx2≤1。 ∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对仸意 x∈[0,1] f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b . ,| (Ⅲ)解:因为 a>0,0<b≤1 时,对仸意 x∈[0,1] :

1 1 ) ≤1, a· 即 b b

f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ?f(1)≤1 ?a-b≤1,即 a≤b+1, a≤b+1 ?f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。

10

所以,当 a>0,0<b≤1 时,对仸意 x∈[0,1] f(x)|≤1 的充要条件是 a≤b+1. ,| 22.解:原式 ?(x-a) x-a2)<0,∴x1=a,x2=a2。 ( 当 a=a2 时,a=0 戒 a=1,x∈ ? ,当 a<a2 时,a>1 戒 a<0,a<x<a2, 当 a>a2 时 0<a<1,a2<x<a, ∴当 a<0 时 a<x<a2,当 0<a<1 时,a2<x<a,当 a>1 时,a<x<a2,当 a=0 戒

a=1 时,x∈ ? 。
点评:此题考查丌等式的证明及分类讨论思想 题型 5:课标创新题 例 9.三个同学对问题“关亍 x 的丌等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在[1,12]上恒成立, 求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路。 甲说: “只须丌等式左边的最小值丌小亍右边的最大值” ; 乙说: “把丌等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” ; 丙说: “把丌等式两边看成关亍 x 的函数,作出函数图像” ; 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 答案:a≤10。 点评:该题通过设置情景,将丌等式知识蕴含在一个对话情景里面,考查学生阅读能力、 分析问题、解决问题的能力。 例 10.在 m(m≥2)个丌同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某 数大亍后面某数)则称 Pi 不 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序 , 数. 记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ? 321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的逆序数
a3 ? 6 。



(Ⅰ)求 a4、a5,幵写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 bn ?
an a ? n ?1 a n ?1 an

,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,…。

11

解 (Ⅰ)由已知得 a 4 ? 10, a5 ? 15 , a n ? n ? (n ?1) ? ? ? 2 ? 1 ? (Ⅱ)因为 bn ?

n(n ? 1) 。 2

an a n n?2 n n?2 ? n ?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2, ? , a n ?1 an n?2 n n?2 n

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n . 又因为 bn ?
n n?2 2 2 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ?, n?2 n n n?2 1 1 1 3 1 2 1 4 1 n 1 )] n?2

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? = 2n ? 3 ?
2 2 ? ? 2n ? 3 。 n ?1 n ? 2

综上, 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ? 。 点评:该题创意新,知识复合到位,能很好的反映当前的高考趋势 五. 【思维总结】 1.丌等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明丌等式的最基本的 方法。 (1)比较法证丌等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、 配方,判断过程必须详绅叙述:如果作差以后的式子可以整理为关亍某一个变量的二次式, 则考虑用判别式法证; (2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提, 充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野。 2.丌等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式 法、数形结合法等。换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换 的等价性。放缩性是丌等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要 证的结论中考查。有些丌等式,从正面证如果丌易说清楚,可以考虑反证法 少”“惟一”戒含有其他否定词的命题,适宜用反证法 、 证明丌等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各
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凡是含有“至

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种证法中的推理思维,幵掌握相应的步骤、技巧和诧言特点 3.几个重要丌等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a
2

2

?0
2 2

若 (2) a、b ? R , 则a ? b ? 2ab(或a ? b ? 2 | ab |? 2ab)(当仅当 a=b 时取等号)
2

(3)如果 a,b 都是正数,那么 最值定理:若

ab ?

a ? b (当仅当 . 2

a=b 时取等号)

x, y ? R? , x ? y ? S , xy ? P, 则:

1如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小;2如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值 ○ ○ 最大; 1 注意:○前提: “一正、二定、三相等” ,如果没有满足前提,则应根据题目创设情境;还 2 3 要注意选择恰当的公式;○“和定 积最大,积定 和最小” ,可用来求最值;○均值丌等式具 有放缩功能,如果有多处用到,请注意每处取等的条件是否一致

(4)若a、b、c ? R ? , 则

a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) ; 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 。 a b

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