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高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算空间向量求二面角的方法素材北师大版选修2_1

空间向量求二面角的方法 方法一:先作出二面角的平面角,再利用向量的内积公式求解:设∠AOB 是二面角 ??? ? ??? ? ? ? l ? ? 的一个平面角,则向量 OA 与 OB 所成的角就是所求的二面角的大小. 例 1 正四面体 ABCD 中,求相邻两个面所成的二面角. 解析:如图 1,取 BC 边的中点E,连结 AE、DE,则 AE⊥BC,DE⊥BC,所以∠AED 就是 正四面体的两个相邻面 ABC 与 DBC 所成二面角的平面角,且 BC⊥平面 ADE, ∴BC⊥AD,∴ EC ?DA ? 0 . 设正四面体棱长为 1. ∵ ED? EA ? (EC ? CD)? (EC ? CD ? DA) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ? EC ? 2EC ? CD ? EC ?DA ? CD?DA ? CD ? 1 1 1 ? 2 ? ?1? cos120? ? 0 ? 1?1? cos120? ? 1 ? . 4 2 4 又在△ABC 与△BCD 中,可求得 ED ? EA ? ??? ? ??? ? 3 , 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ED?EA EA ? ??? ? ??? ? ? ∴ cos ED, ED EA 1 ? . 3 3 3 ? 2 2 1 . 3 1 4 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为 arccos 方法二:利用法向量求解:设 n1 是平面 ? 的法向量, n2 是平面 ? 的法向量.①若两个 平面的二面角如图 2 所示的示意图,则 n1 与 n2 之间的夹角 ? 就是欲 求的二面角; ②若两个平面的二面角如图 3 所示的示意图, 设 n1 与 n2 之间的夹角为 ? .则两个平面的二面角为 π ? ? . 1 例 2 如图 4,△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,SA⊥平面 ABC,SA=BC=2,AB=4,D、 N 分别是 BC、AB 的中点.求二面角 S-ND-A 的余弦值. 解析:平面 ABC 的法向量是 AS ,设平面 SND 的法向量为 n ? ? BC ? ? AB ? AS . ∵SA⊥平面 ABC, ∴SA⊥BC,SA⊥AB, ∴ AS ?BD ? 0 , AS ?BN ? 0 , AS ?BC ? 0 , AS ?AB ? 0 又 AB⊥BC,∴ BC ?BN ? 0 , AB?BD ? 0 , BC ?NA ? 0 . 由 n?ND ? (? BC ? ? AB ? AS )? (BD ? BN ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? BC?BD ? ? AB?BN ? 2? ? 8? ? 0 。 又 n?NS ? (? BC ? ? AB ? AS )? ( NA ? AS ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? AB?NA ? AS ?AS ? ?8? ? 4 ? 0 ?? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 , ? ? ?2 , n ? ?2 BC ? AB ? AS 。 2 2 n ? AS ? 又 AS ? ? ?2 BC ? 2 ??? ? ??? ?? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AS ? ? AS ?AS ? 4 , AS ? 2 , 2 ? ??? ? 2 1 ??? ? 2 ??? ?2 ? 1 ??? ? ??? ? ?2 ? ??? n ? ? ?2BC ? AB ? AS ? ? 4 BC ? AB ? AS ? 24 , 4 2 ? ? ?n ?2 6。 ??? ? AS ?n 4 6 ? ? ? 记 ? 为所求二面角,则 cos ? ? ??? 。 6 AS n 2?2 6 2


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