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高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1


1.5.1&1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 预习课本 P38~44,思考并完成下列问题 (1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么? (2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么? [新知初探] 1.连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲 线,那么就把它称为区间 I 上的 连续 函数. 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形: 由直线 x=a, x=b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x) 所 围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分 为一些 小曲边梯形 (如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用 矩形 的 面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的 近似值 如图②); _______( ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似 值 求和 ; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯 形的面积之和趋向一个 定值 ,即为曲边梯形的面积. 3.求变速直线运动的位移(路程) 如果物体作变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么也可 以采用 分割、近似代替、求和、取极限 的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. [点睛] 是真实值. 当 n→+∞时,所得梯形的面积不是近似值,而 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程. ( × ) (2)当 n 很大时,函数 f(x)=x ?i? ? ?2 近似代替. ?n? 2 ?i-1 i? ? ? 在区间? 上的值,只能用 , ? n? ? n ( ×) ( √) (3)mi=i , ?mi=30. 2 i= 1 4 2.将区间[1,3]进行 10 等分需插入________个分点,第三个 区间是________. 答案:9 [1.4,1.6] 3.做直线运动的物体的速度 v=2t(m/s),则物体在前 3 s 内行 驶的路程为________ m. 答案:9 求曲边梯形的面积 求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2+1 所围成的 1 2 2 2 曲边梯形的面积[参考公式 1 +2 +?+n = n(n+1)(2n+1)]. 6 [解] 令 f(x)=x2+1. [典例] (1)分割:将区间[0,2]n 等分,分点依次为 2?n-1? 2 4 x0=0,x1=n,x2=n,?,xn-1= n ,xn=2. 2i? ? 第i (i=1,2,?,n), ? n? 2i 2i-2 2 每个区间长度为 Δx= n - n =n. ?2i-2 个区间为? ? n , ? 2i (2)近似代替、求和:取 ξi= n (i=1,2,?,n), Sn= ? f i= 1 n n ??2i? ?2 ?2i? 2 ? ?·Δx= ? ?? ? +1?· n ?n? ?n i=1 ?? ? 8 n 2 8 2 = 3 ?i +2= 3(1 +22+?+n2)+2 n n i= 1 3 1? 8 n?n+1??2n+1? 4? = 3· +2= ?2+n+n2?+2. n 6 3? ? (3)取极限:S= = Sn= ?4? ? 3 1? ? ? ? ? 2 + + + 2 2 ?3? ? n n? ? ? 14 14 ,即所求曲边梯形的面积为 . 3 3 求曲边梯形面积 (1)思想:以直代曲.


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