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3.2.1抛物线及其标准方程


2.1抛物线及其标准方程

知识点一

抛物线的定义

定义 焦点 准线

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)

的 距离相等 的点的集合叫作抛物线 定点F
定直线l

知识点二
图像

抛物线的标准方程
标准方程 焦点坐标
?p ? ? ,0? ?2 ?

准线方程
p x=- 2

y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

? p ? ?- ,0? ? 2 ?

x= p 2

图像

标准方程

焦点坐标

准线方程

x2=2py(p>0)

? p? ?0, ? 2? ?

p y=- 2

x2=-2py(p>0)

? p? ?0,- ? 2? ?

y= p 2

归纳、领悟

1.平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的 集合是抛物线,定点F不在定直线上,否则点的轨迹是 过点F垂直于直线l的直线. 2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标

原点,焦点在坐标轴上.

[例 1]

指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并

说明抛物线开口方向. 1 2 (1)y=4x ;(2)x=ay2(a≠0). [思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪

一种类型,求出p.再写出焦点坐标和准线方程.

[精解详析]

1 2 (1)抛物线 y=4x 的标准形式为 x2=4y,

∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是 y=-1.抛物线 开口向上. 1 (2)抛物线方程的标准形式为 y =ax,
2

1 ∴2p=|a|. p 1 ①当 a>0 时,2=4a,抛物线开口向右,
?1 ? ∴焦点坐标是?4a,0?,准线方程是 ? ?

1 x=-4a;

p 1 ②当a<0时,2=-4a,抛物线开口向左,
?1 ? 1 ? ? , 0 ∴焦点坐标是 4a ,准线方程是x=-4a. ? ?

综合上述,当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为
?1 ? ? ,0? ?4a ?

1 ,准线方程为x=- 4a .a>0时,开口向右;a<0

时,开口向左.

[一点通] (1)先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、 焦点位置,准确地求出 p 值. (2)抛物线 y
2

?a ? =2ax(a≠0)的焦点坐标?2,0?,准线 ? ?

a x=- ,不必讨论 a 的正负. 2

[例2]

求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)已知抛物线焦点在y轴上,焦点到准线的距离为3. [思路点拨] 准方程. 确定p的值和抛物线的开口方向,写出标

[精解详析]

(1)设所求的抛物线方程为y2=-

2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0),∵过点(-3,2), ∴4=-2p1(-3)或9=2p2· 2. 2 9 ∴p1=3或p2=4. 4 9 2 故所求的抛物线方程为y =-3x或x =2y.
2

(2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时,2=4, ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; p 当焦点为(0,-2)时,2=|-2|, ∴p=4,此时抛物线方程为 x2=-8y. 故所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y. (3) 由题意知,抛物线标准方程为 x2 = 2py(p>0) 或 x2 =- 2py(p>0)且 p=3,∴抛物线标准方程为 x2=6y 或 x2=-6y.

[一点通]

求抛物线标准方程的方法有:

(1)定义法,求出焦点到准线的距离p,写出方程.
(2)待定系数法,若已知抛物线的焦点位置,则可设 出抛物线的标准方程,求出p值即可,若抛物线的焦点位 置不确定,则要分情况讨论,另外,焦点在x轴上的抛物 线方程可统一设成y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方

程可统一设成x2=ay(a≠0).

[例3]

(12分)某隧道横断面由抛物线和

矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车

载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4 m,
此车能否通过此隧道?请说明理由. [思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为

曲线上点的坐标,求出抛物线方程,然后比较当车辆从正中 通过时,1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行

判断.

[精解详析] 建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 当 x=3 时,y=-3,即点(3,-3)在抛 物线上. 代入得 2p=3,故抛物线方程为 x2=-3y.? 已知集装箱的宽为 3 m, 3 3 当 x= 时,y=- ,而桥高为 5 m.? 2 4 3 1 所以 5- =4 >4.? 4 4 故卡车可通过此隧道.? (8 分) (10 分) (12 分) (3 分) (5 分)

[一点通]

(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利
用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等) 表达、分析、解决问题. (2)在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐 标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得方 程的形式更为简单,便于计算.

回顾小结
(1)确定抛物线的标准方程,只需求一个参数p, 但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方 向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也 可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴

上的抛物线标准方程可设为y2=2mx(m≠0),焦点在y
轴上的抛物线标准方程可设为x2=2my(m≠0).

(2)求抛物线标准方程的方法:

特别注意在设标准方程时,若焦点位置不确定, 要分类讨论.


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