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立体几何简答题

O E 如图, 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 底面 A1 B1C1 D1 是正方形, 是 BD 的中点, 是棱 AA1
上任意一点。 (Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2 , AE = 2 , OE ? EC1 , 求 AA1 的长。

( Ⅰ) 因底面 是正方 形, 故

B1D1 ? AC1 , 又侧棱 垂直底 面, 可得 1

AA1 ? B1D1 ,而 AA1 ? AC1 ? A1 ,所以 B1D1 ? 面 AAC1 ,因 1 1
如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的 一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2。

(I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的

1 中点,F 是 DC 上的点且 DF= 2 AB,PH 为△PAD 边上的高.

(1) 证明:PH⊥平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF⊥平面 PAB. 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC ⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

(18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A B C ,
/ / /

?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M,N 分别为
A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积。
/ / /

(椎体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3
P

19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面

ABCD , AC ? 2 2 ,PA ? 2 ,E 是 PC 上的一点,PE ? 2 EC 。
(Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的
?

E B C

A D

大小。 如图,几何体 E ? ABC D是四棱锥,△ ABD 为正三角形,
CB ? CD, EC ? BD .

(Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1


?CAB =

? 2

(Ⅰ )证明 CB1 ? BA1 ; (Ⅱ )已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 的体积

?APB ? 90? , ?PAB ? 60? , AB ? BC ? CA ,点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。 (Ⅰ )求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ )求二面角 B ? AP ? C 的大小。
已知直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? 4 , AC ? BC ? 3 , 1

P C

D 为 AB 的中点。(Ⅰ)求异面直线 CC1 和 AB 的距离;
(Ⅱ)若 AB1 ? AC ,求二面角 A1 ? CD ? B1 的平面角的余 1 弦值。

A

B



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