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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 13.4数学归纳法教案 理 新人教A版


§13.4
2014 高考会这样考

数学归纳法

1.考查数学归纳法的原理和证题步骤;2.用数学归纳法证明与等式、

不等式或数列有关的命题,考查分析问题、解决问题的能力. 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用; 2.规范书写数

学归纳法的证题步骤.

数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0∈N )时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.上述证明方 法叫做数学归纳法. [难点正本 疑点清源] 1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时 步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算 n=n0 的 n0 不一定为 1,而是根据题目要求,选择 合适的起始值.第(2)步,证明 n=k+1 时命题也成立的过程,一定要用到归纳假设,否 则就不是数学归纳法.
* *

1. 凸 k 边形内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和为 f(k+1)=f(k)+________. 答案 π 解析 易得 f(k+1)=f(k)+π . 1 1 1 2. 用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n (n>1)”,由 n=k (k>1)不等式成立,推 2 3 2 -1 证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是________. 答案 2
k

1 1 解析 n=k 时,左边=1+ +?+ k , 2 2 -1

1

当 n=k+1 时, 1 1 1 1 左边=1+ + +?+ k +?+ k+1 . 2 3 2 -1 2 -1 所以左边应增加的项的项数为 2 . 3. 用数学归纳法证明 1+a+a +?+a 左边需计算的项是 A.1 C.1+a+a 答案 C 解析 观察等式左边的特征易知选 C. 1 1 1 1 1 1 ? 1 + +?+ ? 4. 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + - +?- =2? ?时, 2n? 2 3 4 n ?n+2 n+4 若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 答案 B 解析 因为假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数),故下一个偶数为 k+2,故选 B. 1 1 1 1 5. 已知 f(n)= + + +?+ 2,则 n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 答案 D 解析 从 n 到 n 共有 n -n+1 个数, 所以 f(n)中共有 n -n+1 项.
2 2 2 2 2

k

n+1

1-a = (a≠1,n∈N+),在验证 n=1 成立时, 1-a ( )

n+2

B.1+a D.1+a+a +a
2 3

(

)

(

)

题型一 用数学归纳法证明等式
2

例1

1 1 1 1 1 1 1 1 * 已知 n∈N ,证明:1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 思维启迪:等式的左边有 2n 项,右边有 n 项,左边的分母是从 1 到 2n 的连续正整数, 末项与 n 有关,右边的分母是从 n+1 到 n+n 的连续正整数,首、末项都与 n 有关. 1 1 证明 (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 1 右边= ,等式成立; 2 (2)假设当 n=k(k∈N )时等式成立,即 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - 2 3 4 2k-1 2k = 1
*

k+1 k+2



1

1 +?+ , 2k

那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 左边=1- + - +?+ - + - 2 3 4 2k-1 2k 2? k+1? -1 2? =? = = ? 1 ? 1 + 1 +?+ 1 ?+ 1 - ? 2k? 2k+1 2? k+1? ?k+1 k+2 1 1 1 1 ? 1 - + +?+ + +? k+2 k+3 2k 2k+1 ?k+1 2? 1 1 k+1?

k+1? ? ?

1

?

k+1? +1 ? k+1? +2



1

1 1 +?+ + =右边, ? k+1? +k ? k+1? +? k+1?

所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)(2)知对一切 n∈N ,等式都成立. 探究提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型, 其关键点在于弄清等式两边的构 成规律,等式两边各有多少项,初始值 n0 是几; (2)由 n=k 到 n=k+1 时, 除等式两边变化的项外还要充分利用 n=k 时的式子, 即充分 利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 用数学归纳法证明: 对任意的 n∈N ,
* *

1 1 + +?+ 1×3 3×5 ?

1 n = . 2n-1? ? 2n+1? 2n+1

1 1 证明 (1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 右边= 1 1 = ,左边=右边,所以等式成立. 2×1+1 3
*

(2)假设当 n=k(k∈N )时等式成立,即 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 ? 2k-1? ? 2k+1? 2k+1
3

则当 n=k+1 时, 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ? 2k-1? ? 2k+1? ? = = ? 1 2k+1? ? 2k+3?

k 1 + = 2k+1 ? 2k+1? ? 2k+3? ?
2k +3k+1 k+1 = = 2k+1? ? 2k+3? 2k+3 2?
2

k? 2k+3? +1 2k+1? ? 2k+3? k+1 , k+1? +1

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N 等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明:
*

n 1 1 1 1 * 1+ ≤1+ + +?+ n≤ +n (n∈N ). 2 2 3 2 2
思维启迪:利用假设后,要注意不等式的放大和缩小. 1 1 证明 (1)当 n=1 时,左边=1+ ,右边= +1, 2 2 3 1 3 ∴ ≤1+ ≤ ,即命题成立. 2 2 2 (2)假设当 n=k (k∈N )时命题成立,即
*

k 1 1 1 1 1+ ≤1+ + +?+ k≤ +k, 2 2 3 2 2
则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k k 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2

k k 1 k+1 >1+ +2 · k . k=1+ 2 2 +2 2
1 1 1 1 1 1 又 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k k 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2 1 1 1 k < +k+2 · k= +(k+1), 2 2 2 即 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,命题对所有 n∈N 都成立. 探究提高 (1)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式: 一是直接给出 不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小,对第二类形式 往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个 n 值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n=k+1 时成立,主要方法有①
*

4

放缩法;②利用基本不等式法;③作差比较法等.

? 1? 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 , 不 等 式 ?1+ ? ? 3? ?1+1?·?·?1+ 1 ?> 2n+1均成立. ? 5? ? 2n-1? 2 ? ? ? ?
1 4 5 证明 (1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立. (2) 假 设 当

n = k(k≥2 , 且

k∈N*) 时 不 等 式 成 立 , 即 ?1+ ? 3

? ?

1?

?

?1+1?·?·?1+ 1 ?> 2k+1. ? 5? ? 2k-1? 2 ? ? ? ?
则当 n=k+1 时, 1 ?1+1??1+1?·?·?1+ 1 ??1+ ? 2k+1 2k+2 2k+2 ? 3?? 5? ? 2k-1?? 2? k+1? -1?> 2 ·2k+1= ? ?? ? ? ?? ? 2 2k+1 4k +8k+4 4k +8k+3 = > 2 2k+1 2 2k+1 = 2k+3 2k+1 2? = 2 2k+1
2 2

k+1? +1
2

.

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 题型三 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明 4
2n+1

+3

n+2

能被 13 整除,其中 n 为正整数. +3
k+3

思维启迪:当 n=k+1 时,把 4 证明 (1)当 n=1 时,4
2×1+1

2(k+1)+1

配凑成 4

2k+1

+3

k+2

的形式是解题的关键.

+3

1+2

=91 能被 13 整除.
k+2

(2)假设当 n=k(k∈N+)时,4 则当 n=k+1 时, 方法一 4 =4 ∵4 ∴4
2k+1 2(k+1)+1

2k+1

+3

能被 13 整除,

+3

k+3

=4

2k+1

·4 +3

2

k+2

·3-4

2k+1

·3+4

2k+1

·3

·13+3·(4

2k+1

+3

k+2

), +3
k+2

2k+1

·13 能被 13 整除,4 +3
k+3

2k+1

能被 13 整除.

2(k+1)+1

能被 13 整除.
2(k+1)+1

方法二 因为[4 =(4 =4 ∵4
2k+1

+3

k+3

]-3(4 +3

2k+1

+3

k+2

)

·4 +3

2

k+2

·3)-3(4

2k+1

k+2

)

2k+1

·13, ·13 能被 13 整除,

2k+1

5

∴[4

2(k+1)+1

+3

k+3

]-3(4

2k+1

+3

k+2

)能被 13 整除,因而 4

2(k+1)+1

+3

k+3

能被 13 整除,

∴当 n=k+1 时命题也成立, 由(1)(2)知,当 n∈N+时,4
2n+1

+3

n+2

能被 13 整除.

探究提高 用数学归纳法证明整除问题, P(k)? P(k+1)的整式变形是个难点, 找出它们 之间的差异,然后将 P(k+1)进行分拆、配凑成 P(k)的形式,也可运用结论:“P(k)能 被 p 整除且 P(k+1)-P(k)能被 p 整除? P(k+1)能被 p 整除.” 已知 n 为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明:a 1 整除. 证明 (1)当 n=1 时,a
n+1 n+1

+(a+1)

2n-1

能被 a +a+

2

+(a+1)
k+1

2n-1

=a +a+1,能被 a +a+1 整除. 能被 a +a+1 整除,那么当 n=k+1 时,
2

2

2

(2)假设 n=k(k∈N+)时,a

+(a+1)

2k-1

ak+2+(a+1)2k+1
=(a+1) [a =(a+1) [a
2 2

k+1

+(a+1) +(a+1)

2k-1

]+a ]-a

k+2

-a
2

k+1

(a+1)

2

k+1

2k-1

k+1

(a +a+1)能被 a +a+1 整除.

2

即当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)(2)可知,对于任意 n∈N+,a
n+1

+(a+1)

2n-1

能被 a +a+1 整除.

2

归纳、猜想、证明

1? 1? 典例:(12 分)在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ?an+ ?. an? 2? (1)求 a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想. 1? 1? 审题视角 (1)数列{an}的各项均为正数,且 Sn= ?an+ ?,所以可根据解方程求出 a1, an? 2?

a2,a3;(2)观察 a1,a2,a3 猜想出{an}的通项公式 an,然后再证明.
规范解答 解 1? 1? 2 (1)S1=a1= ?a1+ ?得 a1=1. a1? 2?

∵an>0,∴a1=1,[1 分] 1? 1? 由 S2=a1+a2= ?a2+ ?, a2? 2? 得 a2+2a2-1=0,∴a2= 2-1.[2 分] 1? 1? 又由 S3=a1+a2+a3= ?a3+ ? a3? 2? 得 a3+2 2a3-1=0,∴a3= 3- 2.[3 分] (2)猜想 an= n- n-1 (n∈N )[5 分]
6
* 2 2

证明:①当 n=1 时,a1=1= 1- 0,猜想成立.[6 分] ②假设当 n=k (k∈N )时猜想成立, 即 ak= k- k-1, 则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk 1 ? 1? 1? 1? = ?ak+1+ - ?ak+ ?, ak+1? ak? 2? ? 2? 1 1 ? 1? 1? ? 即 ak+1= ?ak+1+ - ? k- k-1+ ? ? ak+1? 2? 2? k- k-1? 1 ? 1? = ?ak+1+ - k, ak+1? 2? ? ∴ak+1+2 kak+1-1=0,∴ak+1= k+1- k. 即 n=k+1 时猜想成立.[11 分] 由①②知,an= n- n-1 (n∈N ).[12 分] 温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、 归纳、 猜想及证明的思维方式去探索和 发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力. (2)本题易错原因是,第(1)问求 a1,a2,a3 的值时,易计算错误或归纳不出 an 的一般表 达式.第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解,找不到解决问题的突破口.
* 2 *

方法与技巧 1. 在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂的式子中,注意由 n=k 到 n =k+1 时,式子中项数的变化,应仔细分析,观察通项.同时还应注意,不用假设的证 法不是数学归纳法. 2. 对于证明等式问题,在证 n=k+1 等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,以减 少计算时的复杂程度;对于整除性问题,关键是凑假设;证明不等式时,一般要运用放 缩法. 3. 归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观察、归纳,然后猜想出结 论,再用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”,务必保证猜想 的正确性,同时必须注意数学归纳法步骤的书写. 失误与防范 1. 数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题. 2. 严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取两个 (或两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是归纳假设的基础.

7

3. 注意 n=k+1 时命题的正确性. 4. 在进行 n=k+1 命题证明时,一定要用 n=k 时的命题,没有用到该命题而推理证明的方 法不是数学归纳法.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 用数学归纳法证明“1+2+2 +?+2 式子为 A.1 C.1+2+2 答案 D 解析 左边的指数从 0 开始,依次加 1,直到 n+2,所以当 n=1 时,应加到 2 ,故选 D. 2. 用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时, 第一步证明中的起始值
n
2 3 2 2

n+2

=2

n+3

-1”,在验证 n=1 时,左边计算所得的 ( )

B.1+2 D.1+2+2 +2
2 3

n0 应取
A.2 答案 C 解析 令 n0 分别取 2,3,5,6,依次验证即得. 3. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 加上 A.k +1 B.(k+1) C. ?
2 2 2

( B.3 C.5 D.6

)

n4+n2
2

,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上 ( )

k+1?
2

4

+? 2
2

k+1?

2

D.(k +1)+(k +2)+?+(k+1) 答案 D

2

解析 当 n=k 时,左端=1+2+3+?+k . 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+?+k +(k +1)+(k +2)+?+(k+1) , 故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k +1)+(k +2)+?+(k+1) .故应选 D.
2 2 2 2 2 2 2

2

8

4. 用数学归纳法证明: “(n+1)·(n+2)·?·(n+n)=2 ·1·3·?·(2n-1)”, 从“k 到 k+1”左端需增乘的代数式为 ( A.2k+1 C. 2k+1 k+1 ) B.2(2k+1) D. 2k+3 k+1

n

答案 B 解析 n=k+1 时,左端为 (k+2)(k+3)?[(k+1)+(k-1)][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)?(k +k)(2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)?(k+k)[2(2k+1)],∴应乘 2(2k+1). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 用数学归纳法证明“2
n+1

≥n +n+2(n∈N+)”时,第一步验证为________.

2

答案 当 n=1 时,左边=4≥右边,不等式成立 解析 由 n∈N+可知初始值为 1. 6. 若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是__________. 答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 解析 ∵f(k)=1 +2 +?+(2k) , ∴f(k+1)=1 +2 +?+(2k) +(2k+1) +(2k+2) ; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 7. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,当第二步假设 n=2k- 1(k∈N+)命题为真时,进而需证 n=________时,命题亦真. 答案 2k+1 解析 因为 n 为正奇数,所以与 2k-1 相邻的下一个奇数是 2k+1. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)若 n 为大于 1 的自然数,求证: 1 1 1 13 + +?+ > . n+1 n+2 2n 24 1 1 7 13 证明 (1)当 n=2 时, + = > . 2+1 2+2 12 24 (2)假设当 n=k(k∈N+)时不等式成立, 即 1 1 1 13 + +?+ > , k+1 k+2 2k 24
n n
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

那么当 n=k+1 时,

9

1 1 + +?+ k+2 k+3 2? = 1

1 k+1?

k+2 k+3



1

1 1 1 1 1 +?+ + + + - 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+1

=? >

? 1 + 1 + 1 +?+ 1 ?+ 1 + 1 - 1 ? 2k? 2k+1 2k+2 k+1 ?k+1 k+2 k+3

13 1 1 1 13 1 1 + + - = + - 24 2k+1 2k+2 k+1 24 2k+1 2k+2 13 1 + 24 2? 2k+1? ?



k+1?

>

13 . 24

这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对任意大于 1 的自然数都成立. 9. (12 分)已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an·bn+1,bn+1= (1,-1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N ,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上. (1)解 由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1. ∴b2= 1 1 = .a2=a1·b2= . 1-4a 3 3
2 1 *

bn
1-4an
2

(n∈N )且点 P1 的坐标为

*

b1

?1 1? ∴点 P2 的坐标为? , ?,∴直线 l 的方程为 2x+y=1. ?3 3?
(2)证明 ①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. ②假设当 n=k(k∈N )时,2ak+bk=1 成立, 则当 n=k+1 时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1 =
*

bk 1-2ak (2ak+1)= = =1, 1-4ak 1-2ak 1-2ak
2

bk

∴当 n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对于 n∈N ,都有 2an+bn=1, 即点 Pn 在直线 l 上. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 对于不等式 n +n<n+1(n∈N ),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 1 +1<1+1,不等式成立. (2) 假 设 当 n = k(k∈N ) 时 , 不 等 式 成 立 , 即 k +k <k + 1 , 则 当 n = k + 1 时 ,
* 2 2 2 * *

10

?

k+1?

2

+?

k+1? = k2+3k+2< ? k2+3k+2? +? k+2? = ? k+2?

2

= (k +

1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 答案 D 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 2. 用数学归纳法证明不等式 1 ( )

n+1 n+2



1

1 13 * +?+ < (n≥2,n∈N )的过程中,由 n=k 递 2n 14

推到 n=k+1 时不等式左边 ( )

1 A.增加了一项 2? k+1? 1 1 B.增加了两项 、 2k+1 2k+2 C.增加了 B 中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对 答案 C 解析 ∵n=k 时, 左边= + 1 1 + , 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 1 + +?+ , n=k+1 时, 左边= + +?+ k+1 k+2 2k k+2 k+3 2k 1 k+ 1

1 1 1 ∴增加了两项 、 ,少了一项 . 2k+1 2k+2 k+1 1 1 1 127 * 3. 用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N )成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 ( A.7 答案 B 1 1- n 2 1 1 1 1 解析 左边=1+ + +?+ n-1= =2- n-1,代入验证可知 n 的最小值是 8. 2 4 2 1 2 1- 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
11

)

B.8

C.9

D.10

4. 平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直线把平面 分成 f(k)个区域,则 k+1 条直线把平面分成的区域数 f(k+1)=f(k)+________. 答案 k+1 解析 当 n=k+1 时, 第 k+1 条直线被前 k 条直线分成(k+1)段, 而每一段将它们所在 区域一分为二,故增加了 k+1 个区域. 1 ? 2k+1 ? 1?? 1?? 1? ? 5. 用数学归纳法证明?1+ ??1+ ??1+ ???1+ k ?> (k>1),则当 n=k+1 时, 3 5 7 2 - 1? 2 ? ?? ?? ? ? 左端应乘上 ____________________________ ,这个乘上去的代数式共有因式的个数是 __________. 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 答案 ?1+ k ??1+ k ???1+ k+1 ? 2 +1 2 +3 2 -1

?

??

? ?

?

2

k-1

解析

1 ? ? 因为分母的公差为 2 ,所以乘上去的第一个因式是 ?1+ k ? ,最后一个是 2 + 1? ?

k+1 k ? 2 -1? -? 2 +1? ?1+ k+1 ? k k- 1 +1= 2 - 2 ? 2 1-1?,根据等差数列通项公式可求得共有 2 ? ?

=2

k-1

项.

1 6. 在数列{an}中, a1= 且 Sn=n(2n-1)an, 通过计算 a2, a3, a4, 猜想 an 的表达式是________. 3 答案 an= ? 1 2n-1? ? 2n+1?

1 1 解析 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15 当 n=3 时,a1+a2+a3=15a3, 1 1 即 a3= (a1+a2)= ; 14 35 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=28a4, 1 1 即 a4= (a1+a2+a3)= . 27 63 1 1 1 1 1 1 1 ∴a1= = ,a2= = ,a3= = ,a4= , 3 1×3 15 3×5 35 5×7 7×9 故猜想 an= 三、解答题 3 2 1 1 ?1 1? 7. (13 分)已知函数 f(x)=ax- x 的最大值不大于 ,又当 x∈? , ?时,f(x)≥ . 2 6 8 ?4 2? (1)求 a 的值; 1 1 * (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n∈N ,证明:an< . 2 n+1
12

1 . ? 2n-1? ? 2n+1?

3 2 3? a?2 a (1)解 由题意,知 f(x)=ax- x =- ?x- ? + . 3? 6 2 2? 1 ?a? a 1 又 f(x)max≤ ,所以 f? ?= ≤ . 6 ?3? 6 6 所以 a ≤1. 1 ?1 1? 又当 x∈? , ?时,f(x)≥ , 4 2 8 ? ?
2 2

2

?1? 1 f? ?≥ , ? ? ?2? 8 所以? ?1? 1 f? ?≥ , ? ? ?4? 8
2

a 3 1 ? ?2-8≥8, 即? a 3 1 ? ?4-32≥8,

解得 a≥1.

又因为 a ≤1,所以 a=1. (2)证明 用数学归纳法证明: 1 ①当 n=1 时,0<a1< ,显然结论成立. 2 1 ? 1? 因为当 x∈?0, ?时,0<f(x)≤ , 6 ? 2? 1 1 所以 0<a2=f(a1)≤ < . 6 3 故 n=2 时,原不等式也成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N )时,不等式 0<ak<
*

1

k+1

成立.

3 2 1 ? 1? 因为 f(x)=ax- x 的对称轴为直线 x= ,所以当 x∈?0, ?时,f(x)为增函数. 2 3 ? 3? 所以由 0<ak< 1

k+1 3

1 ? 1 ?. ≤ ,得 0<f(ak)<f? ? ?k+1? 1

于是, 0<ak + 1 = f(ak)< < 1 . k+2

k+1

3 - · 2 ?

1

k+1?

2



1

k+2



1

k+2



1

k+2



2?

k+4 k+1? 2? k+2?

所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 根据①②,知对任何 n∈N ,不等式 an<
*

1 成立. n+1

13



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