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《不等关系与不等式》课后链接1


人教 A 版高中数学必修五第三章 《不等关系与不等式》课后链接 1 3.1 不等关系与不等式 知识点总结与经典习题讲解 不等式的性质: 1、对称性: a ? b ? b ? a, a ? b ? b ? a 2、传递性: a ? b, b ? c ? a ? c 3、加法法则: (1) 、a ? b ? a ? c ? b ? c; (2) 、 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 4、移项法则: a ? b ? c ? a ? c ? b 5、乘法法则: (1)若 a ? b 且 c ? 0 则 ac ? bc ;若 a ? b 且 c ? 0 则 ac ? bc (2) 、若 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 则 ac ? bd ;若 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 则 ac ? bd 6、倒数法则:若 a ? b 且 ab ? 0 则 1 1 ? a b 7、乘方和开方法则:若 a ? b ? 0 且 n ? N ? 则 a n ? b n ; ? 若 a ? b ? 0 且 n ? N ,则 n a ? n b 例 1 若 0 ? x ? 1 ,证明 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . 分析 1 用作差法来证明.需分为 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况,去掉绝对值符号,然后 比较法证明. 解法 1 (1)当 a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 , 所以 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 . (2)当 0 ? a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 所以 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 . 综合(1) (2)知 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) . 分析 2 解法 2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 作差比较法. 因为 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? lg(1 ? x) lg(1 ? x) ? lg a lg a ? 1 ?lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? ? 1 ?? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x)? ? ? 1 lg(1 ? x 2 ) ? 0 , lg a lg a lg a 所以 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) . 例2 设 a ? b ? 0 ,求证: a a bb ? a bb a . 证明: a abb a a ? a a ?b ? b b?a ? ( ) a ?b ∵ a ? b ? 0 ,∴ ? 1, a ? b ? 0. b a b b a b a ?b ?1. ∴( ) a b ∴ a abb ? 1 . 又∵ a bb a ? 0 , ∴ a a bb ? a bb a . . b a a b 例 3 已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,求 3x ? y 的取值范围。 解: 3x ? y ? 1* ( x ? y) ? 2 * ( x ? y) 根据已知条件: ? 1 ? 1* 2 ? 3x ? y ? 1

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