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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件


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考点 2
一、选择题

命题及其关系、充分条件与必要条件
?? T ? 等于(
U

1. (2011· 安徽高考文科· T2) 集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, S ? {1,4,5} ,T ? {2,3, 4}, 则 S (A) {1,4,5,6} (B) {1,5} (C) {4} (D) {1, 2,3, 4,5}

)

【思路点拨】先求出 ? U T ,之后再和 S 取交集. 【精讲精析】选 B. ?U T ={1,5,6},所以 S ?UT = {1,5} . 2. (2011·安徽高考理科·T7)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是( .. (A)所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B)所有能被 2 整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 【思路点拨】此命题为全称命题,全称命题的否定为相应的特称命题. 【精讲精析】选 D. 全称命题的否定为相应的特称命题,即将所有变为存在,并且将结论进行否定. 3.(2011·福建卷理科·T2)若 a ? R,则“a=2”是“(a-1) (a-2)=0”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 ) )

【思路点拨】解决本题的关键是判断“a=2”与“ (a-1) (a-2)=0”两者之间满足怎样的推出关系. 【精讲精析】选 A .由 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 得 a ? 1 或 a ? 2 ,所以 a ? 2 ? (a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 而 (a ? 1)(a ? 2) =0 ? a ? 2 ,故 a ? 2 是 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 的充分而不必要条件. 4.(2011·福建卷文科·T3)若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 )

【思路点拨】根据“ a ? 1 ”与“ | a |? 1 ”之间的推出关系来判定.

-1-

圆学子梦想 铸金字品牌 【精讲精析】选 A .由 | a |? 1 得 a ? ?1 ,? | a |? 1

a ? 1 ,而 a ? 1 ?| a |? 1 ,即

a ? 1 是 | a |? 1 的充分而不必要条件.
5.(2011·山东高考理科·T5)对于函数 y=f(x) ,x∈R, “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x) 是奇函数”的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件 【思路点拨】考查充分必要条件

【精讲精析】选 B.“y=f(x)是奇函数” ,图象关于原点对称,所以“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称” , “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称” , y=f(x)的图象关于 y 轴对称或者关于原点对称,所以 y=f(x)不一 定为奇函数.
2 2 2 6.(2011·山东高考文科·T5)已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a ? b ? c ≥3”的否命题

是(

)

2 2 2 (A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3

2 2 2 (B)若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3

2 2 2 (C)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3

2 2 2 (D)若 a ? b ? c ≥3,则 a+b+c=3

【思路点拨】本题考查命题间的关系,命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ? p ,则 ? q ”. 【精讲精析】选 A.命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ? p ,则 ? q ”,故选 A.
2 7.(2011·湖南高考理科·T2)设集合 M={1,2},N={a } ,则“a=1”是“ N ? M ”的(

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

【思路点拨】本题考查条件之间的关系.解题依据是小范围是大范围的充分条件,大范围是小范围的必要 条件.
2 2 【精讲精析】选 A.当 a=1 时,N={1},可推出“ N ? M ”.当“ N ? M ”时,有 a ? 1或a ? 2 .得到

a ? ?1或a ? ? 2 不能推出 a=1.所以前者是后者的充分不必要条件.
8.(2011·湖南高考文科 T3) “x>1”是“|x|>1”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
-2-

)

圆学子梦想 铸金字品牌 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件

【思路点拨】本题考查解绝对值不等式和条件的关系. 【精讲精析】选 A.判断条件的关系,首先对条件进行等价化简,再利用小范围是大范围的充分条件,大范

, 围是小范围的必要条件. | x | >1 ? x>1或x< ?1 而且 x>1 是它的小范围.
9.(2011·江西高考理科·T8) 已知 ?1 , ?2 ,?3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d1 ,平

? a2 ,?3 之间的距离为 d 2 ,直线 l 与 ?1 ,?2 ,?3 分别相交于 P 1,? 1, P 2, P 3 .那么“ P P ? P P ”是“ d1 ? d 2 ” 面 1 2 2 3
的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出,线线平行,再根据平行线分线段成比例这一性质,易得两 者之间的关系. 【精讲精析】选 C. 如图所示,由于

?2 / / ?3 ,同时被第三个平面P1P3 N所截,故有P2 M / /P3 N, 再由平行线分 PP d 线段成比例易得,1 2 ? 1 ,因此P1P2 =P2 P3 ? d1 =d 2 . P2 P3 d 2
10.(2011·陕西高考理科·T1)设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 | a |?| b | ” 的逆命题是 ( ) (B)若 a ? ?b ,则 | a |?| b | (D)若 | a |?| b | ,则 a ? ?b

(A)若 a ? ?b ,则 | a |?| b | (C)若 | a |?| b | ,则 a ? ?b

【思路点拨】首先确定原命题的条件和结论,然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题. 【精讲精析】选 D.原命题的条件是 a ? ?b ,作为逆命题的结论;原命题的结论是 | a |?| b | ,作为逆命题 的条件,即得逆命题“若 | a |?| b | ,则 a ? ?b ” ,故选 D. 11.(2011.天津高考理科.T2)设 x, y ? R ,则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的(
2 2



(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
2 2

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【思路点拨】明确 x ? y ? 4 的几何意义是解题的关键. 【精讲精析】选 A. x ? y ? 4 表示以原点为圆心,以 2 为半径的圆以及圆外的区域,故 A 正确.
2 2

-3-

圆学子梦想 铸金字品牌 12.(2011·天津高考文科·T4)设集合 A = {x ? R x

2 > 0} , B = {x ? R x


0} ,

C = {x ? R x(x 2) > 0} ,
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

则“ x ? A U B ”是“ x ? C ”的( (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【思路点拨】求出集合 C 及集合 A 与 B 的并集再判断. 【精讲精析】选 C.集合 C 的解集是 x | x < 0或x > 2 ,

{

}

A B ? ?x | x ? 0或x ? 2? ,

?A

B?C

二、填空题 13. ( 2011 ·陕西高考理科· T12 )设 n ? N ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是
* 2

n?



【思路点拨】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算. 【精讲精析】 x ?

4 ? 16 ? 4n ? 2 ? 4 ? n ,因为 x 是整数,即 2 ? 4 ? n 为整数,所以 4 ? n 为整数, 2

* 且 n ? 4 ,又因为 n ? N ,取 n ? 1,2,3,4 ,验证可知 n ? 3, 4 符合题意,所以 n=3,4 时可以推出一元二次

方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根.
2

【答案】3 或 4

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-4-



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