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行列满秩矩阵的一些性质及应用


第 27 卷第 6 期 Vol127   16 No 长春师范学院学报 ( 自然科学版 ) Journal of Changchun Normal University (Natural Science) 2008 年 12 月 Dec. 2008 行 (列 ) 满 秩 矩 阵 的 一 些 性 质 及 应 用 邵逸民 ( 苏州市职业大学教育与人文科学系 , 江苏苏州   215104) [ 摘   ] 本文给出行 (列) 满秩矩阵的几个 等价刻画 , 讨 论这两类 矩阵之 间的关 系 , 证明了 一个列 要 满秩矩阵的行列式不等式 , 并指出这两类矩阵在几类特殊矩阵分解方面的若干应用 。 [ 关键词 ] 行满秩阵 ; 列满秩阵 ; 矩阵分解 [ 中图分类号 ] O151121     [文献标识码 ] A      [ 文章编号 ] 1008 - 178X (2008) 06 - 0022 - 04 1  引言及预备知识 文献 [ 1 - 2 ] 利用矩阵行 ( 列 ) 向量组的线性 关系给出了行 ( 列 ) 满秩矩阵 的几个性质 , 讨论了行 (列 ) 满秩矩阵在矩阵方程解上的应用 , 文献 [ 3 ] 利用矩阵的初等变换实现了将矩阵分解为列满秩矩阵和行 满秩矩阵积的满秩分解问题 , 得到了许多很好的结论 . 本文在此基础上进一步讨论 , 得到了一些新的结果 , 并给出了行 ( 列 ) 满秩矩阵在一些特殊矩阵分解方面的应用 . 文中用 r ( A) 表示矩阵 A 的秩 , En 表示 n 阶单 位矩阵 , A - 表示矩阵 A 的任意一个广义逆 . 定义   A 是数域 F 上的 m ×n 矩阵 , 若 r ( A) = m , 则称 A 是行满秩矩阵 ; 若 r ( A) = n , 则称 A 是列 设 满秩矩阵 . 首先 , 关于行 (列 ) 满秩矩阵有如下事实 : ( 1) 若 A 是数域 F 上的 m ×n 列满秩矩阵 , 则 n Φ m , 即列数总不超过行数 , 故是 “高”矩阵 ; 若 A 是 数域 F 上的 m ×n 行满秩矩阵 , 则 m Φ n , 也即行数总不超过列数 , 故是 “偏”矩阵 . ( 2) 行满秩矩阵 A 的转置 A 是列满秩矩阵 ; 列满秩矩阵 A 的转置 A 是行满秩矩阵 . 因此 , 关于行满秩 T T 矩阵的一些结论 , 相应地 , 对于列满秩矩阵也同样成立 . 2   (列 ) 满秩矩阵的一些性质 行 引理 1   A 是数域 F 上的 m ×n 矩阵 , 则 设 ( 1) A 是列满秩矩阵的充分必要条件为存在 m 阶可逆矩阵 P , 使 A = P En ; 0 ( 2) A 是行满秩矩阵的充分必要条件为存在 n 阶可逆矩阵 Q , 使 A = ( Em   ) Q. 0 证明 : ( 1) 充分性 . 设 A = P 见 A 是列满秩矩阵 . 必要性 . 因为 r (A) = n , 所以存在 m 阶可逆矩阵 P1 及 n 阶可逆矩阵 Q1 , 使 A = P1 En Q1 = P1 Q1 Q1 En 0 , 其中 P 是 m 阶可逆矩阵 , 则 r ( A) = r ( P En 0 ) = r( En 0 ) = n , 可   Em n 0 0 = P1( En   0 = P En Q1 , 其中 P = P1   Em . n 0   [ 收稿日期 ] 2008 - 07 - 29 [ 作者简介 ] 邵逸民 (1 973


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