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高一必修四 平面向量复习


高一数学

平面向量
…或 …等;

1、向量:既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:

模:表示向量的有向线段的长度(大小),记作



;单

位向量:长度为 1 的向量;

零向量:长度为 0 的向量,记作 ;

相等向量:长度相等,方向相同的向量.如



平行向量:方向相同或相反的两个非零向量,如



规定:零向量与任一向量平行,如



共线向量:即为平行向量.

2、向量的加法:(1)平行四边形法则;(2)三角形法则.

规定:



(3)向量加法满足:交换律:

结合律



3、向量的减法:(1)相反向量:方向相反,长度相等的两个向量互为相反向量. 如 的相反向量记为 , 的相反向量记为 .

.

(2)向量减法:



4、

.

例 1、如图,在四边形 ABCD 中,

,N、M 是 AD、BC 上的点,且

.求

证:



1、向量的数乘:实数λ 与 的乘积:①是个向量;②模等于 同向,λ <0 时与 反向,λ =0 时, .

;③λ >0 时与

2、运算律:(1)

(结合律);

(2)

(第一分配律); (3)

(第二分配律).

例 2、化简:

3、 共线定理: 向量

与 共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使



例 3、判断下列各题中的向量是否共线

1)



2)



,且



共线.

4、 定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 , 有且仅有一对实数 , , 使 . 其中我们把不共线的向量 ,

叫做表示这一平面所有向量的一组基底.

例 4、设

是不共线的非零向量,且



1)证明:

可以作为一组基底;2)用

分解向量



3)若

,求λ ,μ 的值.

5、平面向量的坐标表示定义:分别选取与 轴、 轴方向相同的单位向量 , 作 为基底,对于任一向量 ,则记作 .

注意:(1)





.

2)若



,则



2、平面向量的坐标运算:设



,则



; 3、向量平行的坐标表示: 设 , ,(

.

),且

,则



例 5、已知



,求 x.

1、 向量数量积的定义: 已知两个非零向量 、 , 它们的夹角为 , 则数量 叫做 与 的数量积(或内积),记作 ,即 .

说明:①

是一个实数;②规定:

;③

称为

方向上的投影.

2、数量积的性质:设 、 都是非零向量, 是 与 的夹角,则



;②若

,则

;若

,则



特别地:

;③







3、运算律(1)交换律:

;(2)



(3)



例 6、 (1) 若

满足

, 且

, 则

______.

1、向量数量积的坐标表示:设

,则 .

2、长度、夹角、垂直的坐标表示:①长度:若

,则



②两点间的距离公式:若

,则



③夹角:设

,则



④垂直的充要条件:设 .

,且

,则

例 7、以原点和 标.

为顶点作等腰直角

,使

,求点

和向量

的坐

1、下列命题中正确的是( A. B.

) C.零向量没有方向 D.

2、若菱形 ABCD 的边长为 2,则

=(

)A.2 B.

C.3

D.

3、设非零向量的取值范围是( )A.[0,1]B.[0,2] C.[0,3]D.[-3,3] 4、已知 A、B、C 是不共线的三点,O 是三角形 ABC 内一点,若,则 O 是三角形 ABC 的( ) A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

5、已知向量

,且 B.A、B、C C.B、C、D

则一定共线的是( D.A、C、D ( )



A.A、B、D

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定 )

7、设 是非零向量,λ 是非零实数,则下列结论正确的是(

8、平行四边形 ABCD 的两条对角线交于点 E,设 为( )

,用

表示

的表达式

A.

B.

C.

D.

9、若 O 是△ABC 内一点,且 A.内心 10、 B.外心 C.重心

,则 O 是△ABC 的( D.垂心



是共面但不共线的两个向量, 则向量

共线时有 ( )

A.λ =0

B.λ =-1 C.λ =-2

D.λ =

11、若三点

共线,则有(



A.

B.

C.

D.

12、 设

, 已知两个向量 )A. B. C.

, D.

, 则向量

长度的最大值是(

13、若向量 与向量

平行,且

,则





A.

B.

C.

D.



14、设点 A.(3,1)



,若点

在直线

上,且

,则点

的坐标为(



B.(1,-1) , B.-1

C.(3,1)或(1,-1) ,且 C.1
2

D.无数多个 )

15、已知平面向量 A.-3

,则 x=( D.3 | +| | =|
2

16、已知 O 为Δ ABC 所在平面内一点,满足| | ,则点 O 是Δ ABC 的(
2

| +|
2

| =|
2

| +|
2

)A.外心

B.内心

C.垂心

D.重心 ,则 的形状为( )

17、若 O 为 A.等腰三角形 18、已知

的内心,且满足 B.正三角形 C.直角三角形

D.钝角三角形 ,则( )

为平面上四点,且 B.点 B 在线段 AM 上 D. 四点一定共线

A.点 M 在线段 AB 上 C.点 A 在线段 BM 上

19、 设两个向量 取值范围是( ) A.

和 B. C.

其中 D.

为实数. 若





20、已知向量

,且

,则

__________.(用

表示)

21、在四边形 ABCD 中,设

,则

=______.(用

表示)

22、已知

,则

的最大值为__________,最小值为__________.

23、 设平面内有四边形 ABCD 和点 O, 已知







, 若



则四边形 ABCD 的形状是____________.(选填矩形、正方形、菱形、平行四边形、梯形之 一) 24、设 是不共线的向量,已知向量 , ,若 A,

B,D 三点共线,则 k 的值等于_________.

25、若



,且 与 的夹角为 60°,则

____________.

26、若



____________.

27、已知向量





,若用 和 表示 ,则 =_________.

28、已知 29、如图, 、 、



,要使

最小,则实数 的值为_________. ,且 , ,用 、 表示

的两条对角线相交于点 和 .

30、 已知在四边形 是梯形.

中,





, 求证:

2 31、(1)已知 的方向与 轴的正向所成的角为 ,且 ,求 的坐标.

(2)已知





,且

,求 x,y.

32 已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2),

(1)若| |

,且

,求 的坐标;

(2)若| |=





垂直,求 与 的夹角 .


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