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山东省高考数学文科汇总--函数与导数


近年山东文科高考分类汇编---函数与导数部分
【2016 山东(文) 】20.设 f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x) ,求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 2 【解析】解: (Ⅰ)∵f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x, ∴g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+2a,x>0, g′(x)= ﹣2a= ,
2

当 a≤0,g′(x)>0 恒成立,即可 g(x)的单调增区间是(0,+∞) ; 当 a>0,当 x> 当 0<x< 时,g′(x)<0,函数为减函数,

,g′(x)>0,函数为增函数,

∴当 a≤0 时,g(x)的单调增区间是(0,+∞) ; 当 a>0 时,g(x)的单调增区间是(0, ) ,单调减区间是( ,+∞) ;

(Ⅱ)∵f(x)在 x=1 处取得极大值,∴f′(1)=0, ①当 a≤0 时,f′(x)单调递增, 则当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值,不合题意, ②当 0<a< 时, >1,由(1)知,f(x)在(0, )内单调递增,

当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 1<x< ∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, 不合题意. ③当 a= 时,

时,f′(x)>0, )内单调递增,即 f(x)在 x=1 处取得极小值,

=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

则当 x>0 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当 a> 时,0< 当 <1,

<x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

∴当 x=1 时,f(x)取得极大值,满足条件. 综上实数 a 的取值范围是 a> .

【2015 山东(文) 】20. (本小题满分 13 分)设函数 曲线 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 平行.

. 已知

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)是否存在自然数 k,使得方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出 k;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数 m( x) ? min{ f ( x), g ( x)} (min{p,q}表示,p,q 中的较小值) ,求 m(x)的最 大值. 【分析】 (I)由题意知, f '(1) ? 2 ,根据 f '( x ) ? ln x ?

a ? 1, 即可求得. x

(II) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根. 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ?

x2 , ex
4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

通过研究 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 .又 h(2) ? 3ln 2 ? 得知存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 .

应用导数研究函数 h( x) 的单调性,当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 作出结论: k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根. (III)由(II)知,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根 x0 ,且 x ? (0, x0 ) 时,

?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? f ( x) ? g ( x) , x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,得到 m( x) ? ? x 2 . , x ? ( x , ?? ) 0 ? ? ex
当 x ? (0, x0 ) 时,研究得到 m( x) ? m( x0 ). 当 x ? ( x0 , ??) 时,应用导数研究得到 m( x) ? m(2) ? 综上可得函数 m( x ) 的最大值为

4 , 且 m( x0 ) ? m(2) . e2

4 . e2
在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2 ,所以

【解析】试题解析: (I)由题意知,曲线

f '(1) ? 2 ,
又 f '( x ) ? ln x ?

a ? 1, 所以 a ? 1 . x

(II) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根.

设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 当 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 . 又 h(2) ? 3ln 2 ?

x2 , ex

4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

所以存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 . 因为 h '( x) ? ln x ? 时, h '( x) ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 所以 k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根. (III)由(II)知,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根 x0 ,且 x ? (0, x0 ) 时,

1 1 x( x ? 2) ?1? , 所以当 x ? (1, 2) 时, h '( x ) ? 1 ? ? 0 ,当 x ? (2, ??) x e x e

?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? f ( x) ? g ( x) , x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,所以 m( x) ? ? x 2 . , x ? ( x , ?? ) 0 ? ? ex
当 x ? (0, x0 ) 时,若 x ? (0,1], m( x) ? 0;

1 ? 1 ? 0, 可知故 m( x) ? m( x0 ). x x(2 ? x) , 可得 x ? ( x0 , 2) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递增; 当 x ? ( x0 , ??) 时,由 m '( x) ? ex
若 x ? (1, x0 ), 由 m '( x ) ? ln x ?

x ? (2, ??) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递减;
4 , 且 m( x0 ) ? m(2) . 0 ? m( x) ? m( x0 ); e2 4 综上可得函数 m( x ) 的最大值为 2 . e
可知 m( x) ? m(2) ? 考点:1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值. 【2014 山东(文) 】(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f(x) = alnx +

x?1 ,其中 a 为常数. x+1

(I)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)讨论函数 f ( x ) 的单调性.

【解析】20、(1) 当a ? 0时 f ( x) ?

x ?1 2 , f ?( x) ? x ?1 ( x ? 1)2

f ?(1) ?

2 1 ? 2 (1 ? 1) 2

又 ? f (1) ? 0 ? 直线过点(1, 0)
?y ? 1 1 x? 2 2

(2) f ?( x) ?

a 2 ? ( x ? 0) x ( x ? 1) 2
2 恒大于0. f ( x)在定义域上单调递增. ( x ? 1) 2

①当a ? 0时, f ?( x) ?

②当a ? 0时,f ?( x) ?

a 2 a( x ? 1)2 ? 2 x ? = ? 0. f ( x)在定义域上单调递增. x ( x ? 1)2 x( x ? 1) 2

1 ③当a ? 0时,? ? (2a ? 2) 2 ? 4a 2 ? 8a ? 4 ? 0, 即a ? ? . 2

开口向下,f ( x)在定义域上单调递减。
当? 1 ?(2a ? 2) ? 8a ? 4 ?a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 0时,? ? 0.x1,2 ? ? 2 2a a

对称轴方程为x ? ?

2a ? 2 1 ? ?1 ? ? 0.且x1 ?x2 ? 1 ? 0 2a a

? f ( x)在(0,

? a ? 1 ? 2a ? 1 ?a ? 1 ? 2a ? 1 ?a ? 1 ? 2a ? 1 ) 单调递减, ( , ) 单调递增, a a a ?a ? 1+ 2a ? 1 ( , +?) 单调递减。 a
1 1 ? a ? 1 ? 2a ? 1 时,f ( x)在定义域上单调递减; ? ? a ? 0 时,f ( x) 在(0, ) 单调递减, 2 2 a

综上所述,a ? 0 时,f ( x)在定义域上单调递增;a ? 0 时,f ( x) 在定义域上单调递增 a?? (

? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 2 a ? 1 ?a ? 1+ 2a ? 1 , ) 单调递增, ( , +?) 单调递减。 a a a 2 【2013 山东(文) 】21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax +bx-ln x(a,b∈R). (1)设 a≥0,求 f(x)的单调区间; (2)设 a>0,且对任意 x>0,f(x)≥f(1).试比较 ln a 与-2b 的大小. 2 【解析】解:(1)由 f(x)=ax +bx-ln x,x∈(0,+∞),

2ax 2 ? bx ? 1 得 f′(x)= . x bx ? 1 ①当 a=0 时,f′(x)= . x

若 b≤0,当 x>0 时,f′(x)<0 恒成立, 所以函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞). 若 b>0,当 0<x< 当 x>

1 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. b

1 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. b ? 1? ?1 ? 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? , ?? ? . ? b? ?b ?
②当 a>0 时,令 f′(x)=0, 2 得 2ax +bx-1=0. 2 由 Δ =b +8a>0 得

x1=

?b ? b 2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a ,x2= . 4a 4a

显然,x1<0,x2>0. 当 0<x<x2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x>x2 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0,

? ? ?

?b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 ? 4a ?

? ?b ? b 2 ? 8a ? , ?? ? . ? ? ? 4a ? ?
综上所述, 当 a=0,b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞); 当 a=0,b>0 时,函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? , ?? ? ; 当 a > 0 时,函数 f(x) 的单调递减区间是 ? 0,

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? ?

?b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 ? 4a ?

? ?b ? b 2 ? 8a ? , ?? ? . ? ? ? 4a ? ?
(2)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取得最小值,

?b ? b2 ? 8a 是 f(x)的唯一极小值点, 4a ?b ? b2 ? 8a 故 =1,整理得 4a
由(1)知 2a+b=1,即 b=1-2a. 令 g(x)=2-4x+ln x, 则 g′(x)=

1? 4x , x 1 . 4

令 g′(x)=0,得 x= 当 0<x<

1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 4

1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减. 4 1 ?1? 因此 g(x)≤ g ? ? =1+ ln =1-ln 4<0, 4 ?4?
当 x> 故 g(a)<0,即 2-4a+ln a=2b+ln a<0, 即 ln a<-2b. 【2012 山东(文) 】(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 ex

(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .
1 ? ln x ? k 【解析】(I) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (III)由(II)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?
1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

【2011 山东(文) 】21. (本小题满分 12 分)

某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆 柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假 3

设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c (c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 【解析】21.解: (I)设容器的容积为 V, 由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r , 又V ? , 3 3

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故l ? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r 由于 l ? 2r 因此 0 ? r ? 2.
所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ?
2

160? , 0 ? r ? 2. r 160? 8? (c ? 2) 3 20 (r ? ), 0 ? r ? 2. (II)由(I)得 y ' ? 8? (c ? 2)r ? 2 ? r r2 c?2
因此 y ? 4? (c ? 2)r ?
2

4 20 ( 2 ? r ) ? 3 ? 4? r 2c, 3 r

由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0, 当r ?
3

20 20 ? 0时, r ? 3 . c?2 c?2

令3

20 ? m, 则 c?2

8? (c ? 2) (r ? m)(r 2 ? rm ? m 2 ). r2 9 (1)当 0 ? m ? 2即c ? 时, 2
所以 y ' ?

当r=m时,y'=0; 当r ?(0,m)时,y'<0; 当r ?(m,2)时,y'>0.
所以 r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当 m ? 2 即 3 ? c ?

9 时, 2

当 r ? (0, 2)时, y ' ? 0, 函数单调递减,

所以 r=2 是函数 y 的最小值点, 综上所述,当 3 ? c ? 当c ?

9 时,建造费用最小时 r ? 2; 2

9 20 时,建造费用最小时 r ? 3 . 2 c?2

【2010 山东(文) 】 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线方程; (Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

【解析】 (21)本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能 力,考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。满分 12 分。 解: (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

2 ? 1, x ? (0,?? ), x

所以

f ' ( x) ?

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? , ) x2

? 1, 因此, f(2)
即 又 曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线斜率为 1 , .

f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

所以

f ' ( x) ?

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0时, h( x) ? ? x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递

(2)当 a ? 0时,由f?(x)=0
2 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

①当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递增;

1 时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x ) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a 1 函数 f ( x)在( ? 1, ??) 上单调递减, a
当a ?



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