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8函数的定义域与值域


§1.2.1

函数的概念

函数的定义域与值域

一、函数概念:
设A、B是两个非空的数集,如果按照某种 对应关系f,对于A中的任意一个数x,在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,这样的 对应f: A B 叫做从集合A到B的一个函数。
x f

记作:y=f(x), x∈A
关键词: 非空数集; 对应, 任意, 唯一

y=f(x)

函数的三要素:

⑴ x 叫做自变量,x 的取值范围

A 叫做函数的定义域.

⑵与 x 的值对应的 y 的值叫做函数值,函数值 的集合 ? f ? x ? x ? A ? 叫做函数的值域.
显然,值域是集合 B 的子集。
x f y=f(x)

⑶f为对应法则(解析式\图\表)

一、定义域
例1. 求下列函数的定义域
(1) f ( x ) ? ?x ? 2x ? 3
2

(2) f ( x ) ?

( x ? 1)

0

求定义域步骤
1.列不等式(组) 2.解不等式(组) 3.下结论

x ? x
2? x 1? x
1

(3) f ( x ) ?
(4) f ( x ) ?

x ? 2 ?1

求函数定义域,其实质就是使解析式各部 分有意义,其准则一般指以下几个方面:
( 1 ) 分式中,分母不为零; ( 2 ) 偶次根式中,被开方数 ( 3 ) 对 y ? x ,要求 x ? 0;
0

为非负数;

( 4 ) 使实际问题有意义

例 2.求 函 数 f ( x ) ?
变: 已知函数 f (x) ?

ax ? 3的 定 义 域 .
a x ? 3 在 (?- ? , 1 ) 3 ,? ? ?

上 有 意 义 , 求 实 数 a的 取 值 范 围 .

例 3 .已 知 函 数 f ( x ) ?

m x ? 6m x ? m ? 8
2

的 定 义 域 为 R, 求 实 数 m 的 取 值 范 围 .

二、值域
例1 求下列函数的值域

(1) f ( x ) ? ? 2 x ? 1, x ? [ ? 1, 3 )
变 : x ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 ?

( 2 ) f ( x ) ? x ? 4 x ? 6 , x ? ( 3, 5 )
2

变 : x ? [1, 5 )

(3) f ( x ) ?

1 1? x
2

f (x) ?

1 5? 4x ? x
2

f (x) ?

2x ?1 x ?1

分离常数法
2

(4) f ( x ) ?

5? 4x ? x

例 2 .设 函 数 f ( x ) ?

1 2

x ? x?
2

3 2

的定义域和值域

都 是 [1, b ]( b ? 1 ), 则 b 的 值 为 _ _ _ _ _ _ .

例 3 . 若 ? 、 ? 是 关 于 x的 方 程 x ? ( k ? 2 ) x ? k ? 3k ? 5 ? 0
2 2

的两个实根,求?

2

? ? 的取值范 围.
2

三、小结
1.函数的定义域
(1)具体函数的定义域求解

(2)含参数的函数的定义域求解
(3)已知函数的定义域求参数的范围

2.函数的值域
(1)一些简单函数的值域求解

(2)复合函数的值域求解
(3)已知函数的值域求参数的范围

思 考 : 已 知 f ( x )的 定 义 域 为 ( 0 , 1 ), ( 1 ) 求 f ( x ? 1 )的 定 义 域 ;

( 2 ) 求 f ( x )的 定 义 域 .

2

抽象函数的 定义域问题

练 习 : 已 知 f ( x ? 1 )的 定 义 域 为 [ ? 2 , 3 ], 求 f ( 2 x ? 2 )的 定 义 域 .
2

应 用 : 已 知 f ( x ) ? x , x ? [1, 3 ],
2

求 函 数 y ? [ f ( x )] ? f ( x )的 值 域 .
2 2



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