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广东省佛山市南海区黄岐中 学2014-2015学年高二下学期第一次质 检数学试卷(理科) Word版含解析

广东省佛山市南海区黄岐中学2014-2015学年高二 下学期第一次质检数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3s时的瞬时速度为()
A. 6 B. 18 C. 54 D. 81
2.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为()
A. 1 B. C. ﹣1 D. 0
3.函数
的导数是() A. B. C. D.
4.
=() A. B. 2e C. D.
5.抛物线:x2=y的焦点坐标是()
A. (0, ) B. (0, ) C. ( ,0) D. ( ,0)

6. =()
A. 2 B. 4 C. π D. 2π
7.如图,函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影
部分),则该闭合图形的面积是()
A. 1 B. C. D. 2 8.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有 () A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2) ≤2f(1) C. f(0)+f(2)≥2f(1) D. f(0)+f(2)> 2f(1)
二、填空题:本大题共6小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30 分. 9.曲线y=
x2在点(1,
)处切线的倾斜角为.
10.已知曲线y=x2+2x﹣2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标

是.
11.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直,则l的方程为.
12.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=.
13.设抛物线y2=4px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离为10,则
p=.
14.曲线y=x3+3x2+6x+4的所有切线中,斜率最小的切线的方程是.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 15.计算: (1)
|x+2|dx; (2)
dx.
16.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平 方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

17.已知函数f(x)=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6,在x=1时有
极小值, (1)求a,b,c的值;

(2)求f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值和最小值.
18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4,点D是AB的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求多面体ADC﹣A1B1C1的体积; (3)求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的正切值.
19.如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的 点(1,
)到F1、F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求弦
长|PQ|.
20.已知函数f(x)=lnx﹣bx+c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方

程为x+y+4=0 (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)若在区间[
,5]内,恒有f(x)≥x2+lnx+kx成立,求k的取值范围.
广东省佛山市南海区黄岐中学2014-2015学年高二 下学期第一次质检数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3s时的瞬时速度为()
A. 6 B. 18 C. 54 D. 81
考点: 导数的几何意义. 分析: 根据v= 得知,瞬时速度就是s对t的导数. 解答: 解:∵v=
∴v=s′|t=3=6t2|t=3=54.
故选C. 点评: 本题比较容易,考查导数的几何意义.
2.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为()
A. 1 B. C. ﹣1 D. 0
考点: 导数的运算. 专题: 计算题.

分析: 先求出f′( x),再由f′(1)=2求出a的值.
解答: 解:∵函数f (x )=a x2+c,∴f′( x)=2ax
又f′(1)=2, ∴2a?1=2, ∴a=1 故答案为A. 点评: 本题考查导数的运算法则.

3.函数

的导数是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 结果. 解答:

导数的运算. 计算题. 把函数改写为幂函数的形式,利用幂函数的求得法则即可求得
解:

, ∴

=

, 故选C. 点评: 本题考查根式与分数指数幂的互化,以及幂函数的导数,不根 式化为分数指数幂是解题的关键,属基础题.
4.

=() A. B. 2e C. D.
考点: 微积分基本定理. 专题: 计算题.
分析: 先求出被积函数ex+e﹣x的原函数,然后根据定积分的定义求
出所求即可.
解答: 解:( ex﹣e﹣x)′=ex+e﹣x∴∫01(ex+e﹣x)dx =( ex﹣e﹣x)|01=e﹣
﹣1+1 =e﹣
. 故选D. 点评: 本题主要考查了定积分的运算,定积分的题目往往先求出被积 函数的原函数,属于基础题.
5.抛物线:x2=y的焦点坐标是()
A. (0, ) B. (0, ) C. ( ,0) D. ( ,0)
考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 先根据标准方程求出p值,判断抛物线x2=y的开口方向及焦点
所在的坐标轴,从而写出焦点坐标.
解答: 解:抛物线x2=y中,2p=1,∴

=

, 又焦点在y轴上,开口向上, ∴焦点坐标是 (0,

), 故选B. 点评: 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,定位定量是关 键.

6.

=() A. 2 B. 4 C. π D. 2π

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

微积分基本定理. 导数的综合应用. 利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出. 解:∵(﹣cosx﹣sinx)′=sinx﹣cosx,

=

=2. 故选A. 点评: 熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键.

7.如图,函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影
部分),则该闭合图形的面积是()

A. 1 B. C. D. 2
考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是定积分的几何意义,首先我们要联立两个 曲线的方程,判断他们的交点,以确定积分公式中x的取值范围,再根
据定积分的几何意义,所求图形的面积为S=∫02(﹣x2+2x+1)dx﹣ ∫021dx,计算后即得答案. 解答: 解:函数y=﹣x2+2x+1与y=1的两个交点为:
(0,1)和(2,1), 所以闭合图形的面积等于
S=∫02(﹣x2+2x+1)dx﹣∫021dx =∫02(﹣x2+2x+1﹣1)dx =∫02(﹣x2+2x)dx
=
. 故选B 点评: 在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤:1.作图象;2. 求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分.
8.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有 ()

A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2) ≤2f(1) C. f(0)+f(2)≥2f(1) D. f(0)+f(2)> 2f(1)
考点: 导数的运算. 专题: 分类讨论. 分析: 分x≥1和x<1两种情况对(x﹣1)f′(x)≥0进行讨论,由极值 的定义可得当x=1时f(x)取得极小值也为最小值,故问题得证. 解答: 解:依题意,当x≥1时,f′(x)≥0,函数f(x)在(1,+∞) 上是增函数; 当x<1时,f′(x)≤0,f(x)在(﹣∞,1)上是减函数, 故当x=1时f(x)取得极小值也为最小值,即有 f(0)≥f(1),f(2)≥f(1), ∴f(0)+f(2)≥2f(1). 故选C. 点评: 本题以解不等式的形式,考查了利用导数求函数极值的方法, 同时灵活应用了分类讨论的思想,是一道好题.
二、填空题:本大题共6小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30 分. 9.曲线y=
x2在点(1,
)处切线的倾斜角为45°.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解. 解答: 解:函数的导数f′(x)=x, 则在点(1,
)处切线的斜率k=f′(1)=1, 由tanα=1得α=45°, 即在点(1,

)处切线的倾斜角为 45°, 故答案为:45° 点评: 本题主要考查切线的倾斜角的计算,求函数的导数,利用导数 的几何意义是解决本题的关键.
10.已知曲线y=x2+2x﹣2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标是
(﹣1,﹣3).
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 设出M(m,n),求出导数,求得切线的斜率,由题意可得 2m+2=0,解得m,进而得到n,即可得到切点坐标.
解答: 解:y=x2+2x﹣2的导数为y′=2x+2,
设M(m,n),则在点M处的切线斜率为2m+2, 由于在点M处的切线与x轴平行, 则2m+2=0,解得m=﹣1, n=1﹣2﹣2=﹣3, 即有M(﹣1,﹣3). 故答案为:(﹣1,﹣3). 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率,同时考查两直线平行的 条件,正确求导是解题的关键.
11.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直,则l的方程为4x﹣y
﹣3=0.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;两条直线垂直的判定;直 线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 欲求l的方程,根据已知条件中:“切线l与直线x+4y﹣8=0垂 直”可得出切线的斜率,故只须求出切点的坐标即可,故先利用导数求 出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切点坐标.从 而问题解决. 解答: 解:与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l与为:4x﹣y+m=0,
即y=x4在某一点的导数为4,

而y′=4x3,∴y=x4在(1,1)处导数为4,
故方程为4x﹣y﹣3=0. 点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究 曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
12.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=e.
考点: 导数的运算. 专题: 计算题.
分析: 先根据乘积函数的导数公式求出函数f(x)的导数,然后将x0
代入建立方程,解之即可. 解答: 解:f(x)=xlnx ∴f'(x)=lnx+1
则f′(x0)=lnx0+1=2 解得:x0=e
故答案为:e 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及乘积函数的导数公式的运 用,属于基础题之列.
13.设抛物线y2=4px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离为10,则
p=4.
考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为10,进而利用抛物 线方程求得其准线方程,利用点到直线的距离求得p,可得答案. 解答: 解:∵横坐标为6的点到焦点的距离是10, ∴该点到准线的距离为10,
抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p,
∴6+p=10,求得p=4, 故答案为:4 点评: 本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定 义的掌握和灵活应用,属于基础题.

14.曲线y=x3+3x2+6x+4的所有切线中,斜率最小的切线的方程是3x﹣
y+3=0.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据题意求出导数,对导数配方后求出最小值,以及对应的切 点坐标,代入直线的点斜式后再化为一般式.
解答: 解:由题意得,y′=3x2+6x+6=3(x2+2x)+6 =3(x+1)2+3, ∴当x=﹣1时,y′=3x2+6x+6取最小值是3, 把x=1代入y=x3+3x2+6x+4得,y=14,即切点坐标是(1,14),
∴切线方程是:y﹣14=3(x﹣1), 即3x﹣y+3=0, 故答案为:3x﹣y+3=0. 点评: 本题考查了导数的几何意义,即在某点处的切线的斜率是该点 处的导数值,以及直线方程的一般式和点斜式的应用.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 15.计算: (1)
|x+2|dx; (2)
dx.
考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)根据积分范围,去掉绝对值,讲所求化为两段分别积分 求值; (2)根据其几何意义求定积分. 解答: 解:(1)

|x+2|dx=﹣
=﹣(2x
)|
+(
)|
=2+
=
; 解:(2)
dx表示如图阴影部分的面积, 所以面积为
=
. 点评: 本题考查了定积分的计算(1)关键是找出被积函数是原函 数;(2)是利用定积分的几何意义解答. 16.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平 方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=


考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;实际问题中导数的意 义. 专题: 计算题;应用题. 分析: 先设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,根据题意写出综 合费f(x)关于x的函数解析式,再利用导数研究此函数的单调性,进 而得出它的最小值即可. 解答: 解:方法1:导数法 设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元, 则
(x≥10,x∈Z+)
, 令f'(x)=0得x=15 当x>15时,f'(x)>0;当0<x<15时,f'(x)<0 因此当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2000; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层. 方法2:(本题也可以使用基本不等式求解) 设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元, 则
, 当且进行
,即x=15时取等号. 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层. 点评: 本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问 题的能力,建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.

17.已知函数f(x)=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6,在x=1时有
极小值, (1)求a,b,c的值; (2)求f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值和最小值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题.
分析: (1)因为函数f(x)=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6,
在x=1时有极小值得到三个方程求出a、b、c;
(2)令f′(x)=x2+x﹣2=0解得x=﹣2,x=1,在区间[﹣3,3]上讨论函
数的增减性,得到函数的最值.
解答: 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx﹣2由条件知
解得a=
,b=
,c=
(2)f(x)=
,f′(x)=x2+x﹣2=0解得x=﹣2,x=1
由上表知,在区间[﹣3,3]上,当x=3时,fmax=

;当x=1,fmin=
. 点评: 考查函数利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数增 减性的能力.
18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4,点D是AB的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求多面体ADC﹣A1B1C1的体积; (3)求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的正切值.
考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平 面垂直的性质. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)证明线线垂直一般先证明线面垂直,即证明已知直线与 平面内的两条相交直线垂直即可. (2)结合几何体的特征得到
,进而得到答案. (3)根据题意建立直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再利用 向量的有关运算求出两个向量的夹角进而转化为两个平面的二面角.
解答: 解:(1)证明:直三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面三边长
AC=3,BC=4,AB=5,
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC,
又AC⊥C1C,C1C∩BC=C ∴AC⊥平面BCC1; ∴AC⊥BC1

(2)
=

=20
(3)由题意可得:以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空
间直角坐标系,
∵AC=3,BC=4,AA1=4,
∴C(0,0,0),
,B1(0,4,4),


平面CBB1C1的法向量

设平面DB1C的法向量
, 则

的夹角的补角的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小
则由
解得

所以
, 则
∴二面角D﹣B1C﹣B的正切值为
点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,即可得到 几何体的线面关系进而比较简单的解决空间中的体积、空间角与空间距 离等问题.
19.如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的 点(1,
)到F1、F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求弦
长|PQ|.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的定义求出a,点的坐标代入椭圆方程,求出 b,即可求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)通过椭圆C的焦点F2,以及AB的平行线求出直线的斜率,设出PQ
的方程,与椭圆联立通过韦达定理利用写出公式,求弦长|PQ|. 解答: 解:(1)由题设知:2a=4,即a=2, 将点(1,
)代入椭圆方程得

解得b2=3 ∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1,故椭圆方程为

焦点F1、F2的坐标分别为(﹣1,0)和(1,0)
(2)由(Ⅰ)知A(﹣2,0),B(0,
),∴kPQ=kAB=
, ∴PQ所在直线方程为y=
(x﹣1), 由
得 2x2﹣2x﹣3=0, 设P (x1,y1),Q (x2,y2),则x1+x2=1,x1﹣x2=﹣

, 弦长|PQ|= = = . 点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的应 用,弦长公式的应用,考查转化思想以及计算能力.
20.已知函数f(x)=lnx﹣bx+c,f(x)在点(1,f(1))处的切线方 程为x+y+4=0 (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)若在区间[
,5]内,恒有f(x)≥x2+lnx+kx成立,求k的取值范围.
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调 性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由求导公式、法则求出f′(x),根据题意和导数的几何 意义求出b的值,将(1,f(1))代入方程x+y+4=0求出f(1),代入 解析式列出方程求出c,即可求出函数f(x)的解析式; (Ⅱ)由(I)求出函数的定义域和f′(x),求出f′(x)>0和f′(x)< 0的解集,即可求出函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)先化简f(x)≥x2+lnx+kx,并分离常数k,再构造函数g(x)=
,求出g′(x)并求出g′(x)大于、小于零的解集,求出g(x)的单调 区间和最小值,再求出k的取值范围. 解答: 解:(Ⅰ)由题意得,f′(x)=
,则f′(1)=1﹣b, ∵在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+4=0, ∴切线斜率为﹣1,则1﹣b=﹣1,得b=2 …2分 将(1,f(1))代入方程x+y+4=0得:1+f(1)+4=0,解得f(1)=﹣ 5,

∴f(1)=﹣b+c=﹣5,将b=2代入得c=﹣3, 故f(x)=lnx﹣2x﹣3 …5分 (Ⅱ)依题意知函数的定义域是(0,+∞),且
, 令f′(x)>0得,
,令f′(x)<0得,
, 故f(x)的单调增区间为(0,
),单调减区间为(
,+∞) …9分
(Ⅲ)由f(x)≥x2+lnx+kx得,lnx﹣2x﹣3≥x2+lnx+kx,
∴k≤
在区间[
,5]内恒成立,…10分 设g(x)=
,则g′(x)=
, 令g′(x)=0得,x= 或x= (负值舍去), 令g′(x)>0得

,令g′(x)<0得 , 故在(
, )上g(x)单调递增,在( ,5)上g(x)单调递减, ∴g(x)的最小值只能在区间[
,5]的端点处取得 …12分 ∵g(
)=
=
,g(5)=﹣5﹣2﹣
=
, ∴g(x)的最小值是g(
)=
. 所以k≤ ,即k的取值范围为(﹣∞, ). …14分.

点评: 本题考查求导公式和法则,导数的几何意义,利用导数研究函 数的单调性、最值问题,考查分离常数法,转化思想,属于中档题.



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