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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2综合检测:第三章 直线与方程

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第三章综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.直线的方程为 x- 3y+2014=0,则直线的倾斜角为( π A.6 2π C. 3 [答案] A 3 π [解析] 直线的斜率为 k= 3 ,所以直线 l 的倾斜角为6. 2.若三点 A(3,1),B(-2, b),C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于( A.2 C.9 [答案] D [解析] 由条件知 kBC=kAC, ∴ b-11 11-1 = ,∴b=-9. -2-8 8-3 ) ) B.3 D.-9 π B.3 5π D. 6 )

3. 过点 P(-1,3), 且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 [答案] A B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0

[解析] 根据垂直关系可知 k=-2,∴y-3=-2(x+1),即 2x +y-1=0.
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4. 已知过点 A(-2, m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行, 则 m 的值为( A.0 C.2 [答案] B [解析] kAB= 4-m =-2,∴m=-8.∵B(-8,4)不在直线 2x+y m+2 ) B.-8 D.10

-1=0 上,∴m=-8 符合题意. 5.已知 ab<0,bc<0,则直线 ax+by=c 通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 [答案] C a c [解析] 直线 ax+by=c 可化为 y=-bx+b,∵ab<0,bc<0, a c ∴-b>0,b<0,由此可知直线过第一、三、四象限. 6.直线 kx-y+1=3k,当 k 变动时,所有直线恒过定点( A.(0,0) C.(3,1) [答案] C [解析] 把 kx-y+1=3k 改写成关于 k 的方程得(x-3)k-(y-1) =0,它恒过点(3,1). 7.点 P(2,5)到直线 y=- 3x 的距离 d 等于( A.0 -2 3+5 C. 2 2 3+5 B. 2 -2 3-5 D. 2 ) B.(0,1) D.(2,1) ) )

B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限

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[答案] B [解析] 直线方程 y=- 3x 化为一般式 3x+y=0, 则 d= 2 3+5 2 .

8.与直线 y=-2x+3 平行,且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的 同一点的直线方程是( A.y=-2x+4 8 C.y=-2x-3 [答案] C [解析] 直线 y=-2x+3 的斜率为-2, 则所求直线斜率 k=-2, 4 直线方程 y=3x+4 中,令 y=0,则 x=-3,即所求直线与 x 轴交点 4 4 8 坐标为(-3,0).故所求直线方程为 y=-2(x+3),即 y=-2x-3. 9. 两条直线 y=ax-2 与 y=(a+2)x+1 互相垂直, 则 a 等于( A.2 C.0 [答案] D [解析] ∵两直线互相垂直,∴a· (a+2)=-1, ∴a2+2a+1=0,∴a=-1. 10. 已知等腰直角三角形 ABC 的斜边所在的直线是 3x-y+2=0, 直角顶点是 C(3,-2),则两条直角边 AC,BC 的方程是( A.3x-y+5=0,x+2y-7=0 B.2x+y-4=0,x-2y-7=0 C.2x-y+4=0,2x+y-7=0 D.3x-2y-2=0,2x-y+2=0
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) 1 B.y=2x+4 1 8 D.y=2x-3

)

B.1 D.-1

)

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[答案] B [解析] ∵两条直角边互相垂直, ∴其斜率 k1,k2 应满足 k1k2=-1,排除 A、C、D,故选 B. 11.直线 l 与两直线 y=1 和 x-y-7=0 分别交于 A,B 两点, 若线段 AB 的中点为 M(1,-1),则直线 l 的斜率为( 3 A.2 3 C.-2 [答案] D [解析] 设 A(x1,1),B(x2,y2).由题意,得 y ?1+ 2 =-1, ?x +x ? 2 =1.
2 1 2

)

2 B.3 2 D.-3

∴y2=-3.

将 y2=-3 代入 x-y-7=0,得 x2=4, -3-?-1? 2 ∴B(4,-3).∴k= =-3. 4-1 12.设点 A(2,-3),B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是( 3 A.k≥4或 k≤-4 3 C.-4≤k≤4 [答案] A 3 3 [解析] kPA=-4,kPB=4,画图观察可知 k≥4或 k≤-4. )

3 B.-4≤k≤4 D.以上都不对

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二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确 答案填在题中横线上) 13.已知点 A(-1,2),B(-4,6),则|AB|等于________. [答案] 5 [解析] |AB|= ?-1+4?2+?2-6?2=5. 14.与直线 7x+24y=5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是 ________. [答案] 7x+24y+70=0 或 7x+24y-80=0 [解析] 设所求直线为 7x+24y+m=0. 把直线 7x+24y=5 整理为一般式得 7x+24y-5=0. 由两平行直线间的距离公式得: 解得 m=70 或-80, 故所求直线方程为 7x+24y+70=0 或 7x+24y-80=0. 15.若直线 l 经过点 P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角 形,则直线 l 的方程为________或________. [答案] x+y-5=0 x-y+1=0 x y [解析] 设直线 l 的方程为a+b=1,则
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|m+5| =3, 72+242

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?|a|=|b|, ?2 3 ?a+b=1,

解得 a=5,b=5 或 a=-1,b=1,

x y x y 即直线 l 的方程为5+5=1 或 +1=1, -1 即 x+y-5=0 或 x-y+1=0. 16.(2009· 高考全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2: x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是① 15° ② 30° ③ 45° ④ 60° ⑤ 75° ,其中正确答案的序号是 ________.(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d= |3-1| = 2, 1+1

由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30° ,l1 的倾斜角为 45° , 所以直线 m 的倾斜角等于 30° +45° =75° 或 45° -30° =15° . [点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的 距离,考查数形结合的思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为 复杂的题目,但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻,这一问题还 是不难解决的. 所以在学习中知识是基础、 方法是骨架、 思想是灵魂, 只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变. 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)(1)当 a 为何值时,直线 l1:y=-x+2a 与直线 l2:y=(a2-2)x+2 平行? (2)当 a 为何值时,直线 l1:y=(2a-1)x+3 与直线 l2:y=4x-3

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垂直? [解析] (1)直线 l1 的斜率 k1=-1,直线 l2 的斜率 k2=a2-2,因 为 l1∥l2,所以 a2-2=-1 且 2a≠2,解得:a=-1.所以当 a=-1 时,直线 l1:y=-x+2a 与直线 l2:y=(a2-2)x+2 平行. (2)直线 l1 的斜率 k1=2a-1,l2 的斜率 k2=4,因为 l1⊥l2,所以 3 3 k1k2=-1,即 4(2a-1)=-1,解得 a=8.所以当 a=8时,直线 l1:y =(2a-1)x+3 与直线 l2:y=4x-3 垂直. 18.(本小题满分 12 分)根据下列条件求直线方程: (1)已知直线过点 P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1; (2)过两直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点,且垂直于直 线 x+3y+4=0. x y [解析] (1)设所求直线的方程为a+b=1. 2 2 ?- a +b=1 由题意得? 1 ?2|ab|=1
? ? ?a=2, ?a=-1 解得? 或? ?b=1, ? ? ?b=-2

x x y 故所求直线方程为2+y=1 或 + =1, -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. (2)解法一: 设所求直线方程为 3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0, 即(3 +λ)x+(3λ-2)y+(1+4λ)=0. 由所求直线垂直于直线 x+3y+4=0,得

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3+λ 1 -3· (- )=-1. 3λ-2 3 解得 λ=10. 故所求直线方程是 3x-y+2=0. 解法二:设所求直线方程为 3x-y+m=0.
? ? ?3x-2y+1=0, ?x=-1, ? 由 解得? ? ? ?x+3y+4=0, ?y=-1,

即两已知直线的交点为(-1,-1). 又 3x-y+m=0 过点(-1,-1), 故-3+1+m=0,m=2. 故所求直线方程为 3x-y+2=0. 19.(本小题满分 12 分)直线 l 过点(1,0)且被两条平行直线 l1:3x 9 +y-6=0 和 l2:3x+y+3=0 所截得的线段长为10 10,求直线 l 的 方程. [ 解析 ] 解法一:当直线 l 与 x 轴垂直时,方程为 x= 1,由

? ?x=1, ? 得 l 与 l1 的交点为(1,3), ?3x+y-6=0, ? ?x=1, ? 由? 得 l 与 l2 的交点为(1,-6), ? ?3x+y+3=0,

9 此时两交点间的距离 d=|-6-3|=9≠10 10. ∴直线 l 与 x 轴不垂直. 设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠-3),
? ?y=k?x-1?, k+6 3k 解方程组? 得 l 与 l1 交点的坐标为( , ), k+3 k+3 ?3x+y-6=0, ?

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?y=k?x-1?, ? 同理,由? ? ?3x+y+3=0,

k-3 -6k 得 l 与 l2 的交点坐标为( , ), k+3 k+3 由题意及两点间距离公式得 9 10 10= ? k-3 k+6 2 -6k 3k 2 - ? +? - ?, k+3 k+3 k+3 k+3

1 即 9k2-6k+1=0,∴k=3, 1 ∴直线 l 的方程为 y=3(x-1), 即 x-3y-1=0. 解法二:由两平行线间的距离公式可得 l1 与 l2 间的距离 d= |-6-3| 9 = 10, 32+12 10 9 而 l 被 l1,l2 截得的线段长恰为10 10, ∴l 与 l1 垂直,由 l1 的斜率 k1=-3 知, 1 l 的斜率 k=3, 1 ∴l 的方程为 y=3(x-1), 即 x-3y-1=0. 20.(本小题满分 12 分)当 m 为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2 -m)y=4m-1. (1)倾斜角为 45° ; (2)在 x 轴上的截距为 1. [解析] (1)倾斜角为 45° ,则斜率为 1.

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2m2+m-3 ∴- =1,解得 m=-1,m=1(舍去) m2-m 直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意,∴m=-1 (2)当 y=0 时,x= 4m-1 =1, 2m2+m-3

1 解得 m=-2,或 m=2, 1 当 m=-2,m=2 时都符合题意, 1 ∴m=-2或 2. 21.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个顶点 A(4,-6),B(- 4,0),C(-1,4),求 (1)AC 边上的高 BD 所在直线方程; (2)BC 边的垂直平分线 EF 所在直线方程; (3)AB 边的中线的方程. -6-4 [解析] (1)直线 AC 的斜率 kAC= =-2, 4-?-1? 1 ∴直线 BD 的斜率 kBD=2, 1 ∴直线 BD 的方程为 y=2(x+4),即 x-2y+4=0 4-0 4 (2)直线 BC 的斜率 kBC= =3, -1-?-4? 3 ∴EF 的斜率 kEF=-4, 5 线段 BC 的中点坐标为(-2,2), 3 5 ∴EF 的方程为 y-2=-4(x+2),

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即 6x+8y-1=0. (3)AB 的中点 M(0,-3), y+3 x ∴直线 CM 的方程为: = , 4+3 -1 即:7x+y+3=0(-1≤x≤0). 22.(本小题满分 12 分)有定点 P(6,4)及定直线 l:y=4x,点 Q 是 l 上在第一象限内的点,PQ 交 x 轴的正半轴于点 M,问点 Q 在什么 位置时,△OMQ 的面积最小,并求出最小值.

[解析] 如图,由点 Q 在直线 y=4x 上,设点 Q(x0,4x0),且 x0> 1 0.需求直线 PQ 与 x 轴的交点 M 的横坐标,因为 S△OQM=2· |OM|· 4x0= f(x0)是 x0 的函数,利用函数求最小值的方法求得面积的最小值及点 Q 的坐标. 设点 Q(x0,4x0)(x0>0 且 x0≠6), 4x0-4 ∴直线 PQ 的方程为 y-4= (x-6). x0-6 令 y=0 得 x= 5 x0 , x0-1

5 x0 ∴点 M 的坐标为( ,0). x0-1 设△OMQ 的面积为 S,
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1 10x2 0 则 S=2|OM|· 4x0= , x0-1 即 10x2 0-Sx0+S=0. ∵x0∈R,∴关于 x0 的一元二次方程有实根. ∴Δ=S2-40S≥0,即 S≥40. 当 S=40 时,x0=2,4x0=8, ∴点 Q 的坐标为(2,8). 而当 x0=6 时,点 Q 的坐标为(6,24), 1 此时 S=2×6×24=72>40,不符合要求. 故当点 Q 的坐标为(2,8)时, △OMQ 的面积最小, 且最小值为 40.

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