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《二次函数y=ax-h2+k的图像和性质》教案


二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
教学目标
1、经历二次函数平移的过程;理解二次函数平移的意义; 2、了解y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k三类二次函数图像之间的关系; 3、会从图像的平移变换角度认识y=a(x-h)2+k型二次函数的图像特征.

教学重点
从图象的平移变换的角度认识y=a(x-h) +k型二次函数的图象特征.
2

教学难点
对于平移变换的理解和确定,学生较难理解.

教学过程
知识回顾 二次函数 y ? ax2 的图象和特征: 1、名称 ; 4、 当 a ? o 时, 抛物线的开口向 顶点外); 当 a ? o 时, 抛物线的开口向 顶点外). 合作学习 在同一坐标系中画出函数图象 y ? , 顶点是抛物线上的最 , 顶点是抛物线上的最 点, 图象在x轴的 点图象在x轴的 (除 (除 ;2、顶点坐标 ;3、对称轴

1 2 1 1 x , y ? ( x ? 2) 2 , y ? ( x ? 2) 2 的图象. 2 2 2

①请比较这三个函数图象有什么共同特征? ②顶点和对称轴有什么关系? ③图象之间的位置能否通过适当的变换得到? ④由此,你发现了什么? 探究二次函数 y ? ax2 和 y ? a( x ? m) 2 图象之间的关系 1、结合学生所画图象,引导学生观察 y ? 观得出 y ?

1 1 ( x ? 2) 2 , 与 y ? x 2 的图象位置关系,直 2 2

1 2 1 2 向左平移两个单位 x 的图象 ? ???? ?? y ? ( x ? 2) , 的图象. 2 2

教师可以采取以下措施:①借助几何画板演示几个对应点的位置关系,如:
向左平移两个单位 (0,0) ? ???? ?? (-2,0)

向左平移两个单位 (2,2) ? ???? ?? (0,2);

1

向左平移两个单位 (-2,2) ? ???? ?? (-4,2)

②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出,并用带箭头的线段表示平移过程. 2、用同样的方法得出 y ?

1 1 2 2 向右平移两个单位 x 的图象 ? ???? ?? y ? ( x ? 2) 的图象. 2 2
当m?0时

3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.
m个单位 1 ?向左平移 ??? ? ?? y ? ( x ? 2) 2 的图象. y ? ax2 ( a ? 0 )的图象 2 当m ? 0时向右平移m 个单位

函数 y ? a( x ? m) 2 的图象的顶点坐标是(-m,0),对称轴是直线x=-m 4、做一做 (1)、 抛物线 y=2(x+3)2 y=-3(x-1)2 y=-4(x-3)2 (2)、填空: ①、由抛物线y=2x?向 平移 个单位可得到y=2(x+1) 向
2

开口方向

对称轴

顶点坐标

2 ②、函数y=-5(x-4) 的图象.可以由抛物线

平移 4 个单位而得到

的. 3、对于二次函数 y ? ? ( x ? 4) ,请回答下列问题:
2

1 3

①把函数 y ? ? 象?

1 2 1 x 的图象作怎样的平移变换,就能得到函数 y ? ? ( x ? 4) 2 的图 3 3
1 3

2 ②说出函数 y ? ? ( x ? 4) 的图象的顶点坐标和对称轴.

第3题的解答作如下启发:这里的m是什么数?大于零还是小于零?应当把 y ? ?

1 2 x 3

2 的图象向左平移还是向右平移?在此同时用平移的方法画出函数 y ? ? ( x ? 4) 的大致图

1 3

象(事先画好函数 y ? ?

1 2 x 的图象),借助图象有学生回答问题. 3

探究二次函数 y ? a( x ? m) 2 ? k 和 y ? ax2 图象之间的关系 1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数 y ?

1 ( x ? 2) 2 ? 3 的图象. 2

2

首先引导学生观察比较 y ?

1 1 ( x ? 2) 2 , 与 y ? ( x ? 2) 2 ? 3 的图象关系,直观得出: 2 2

y?

1 1 2 向上平移3个单位 ( x ? 2) 2 , 的图象 ? ???? ?? y ? ( x ? 2) ? 3 的图象.(结合多媒体演示) 2 2
再引导学生刚才得到的 y ?

1 2 1 x 的图象与 y ? ( x ? 2) 2 , 的图象之间的位置关系,由 2 2

此得出:只要把抛物线 y ?

1 2 x 先向左平移2个单位,在向上平移3个单位,就可得到函数 2

y?

1 ( x ? 2) 2 ? 3 的图象. 2
2、做一做:请填写下表: 函数解析式 图象的对称轴 图象的顶点坐标

y?

1 2 x 2

y?
y?

1 ( x ? 2) 2 , 2
1 ( x ? 2) 2 ? 3 2

总结 y ? a( x ? m) 2 ? k 的图象和 y ? ax2 图象的关系

1 ????? ?? y ? ( x ? 2) 2 的图象 y ? ax2 ( a ? 0 )的图象 2 当m ? 0时向右平移m 个单位
m个单位 ?向上平移 ??? ? ?? 当k ? 0时

当m?0时 向左平移 m个单位

当k ? 0时向下平移m 个单位

y ? a( x ? m) 2 ? k 的图象.

y ? a( x ? m) 2 ? k 的图象的对称轴是直线x=-m,顶点坐标是(-m,k) .
口诀:(m、k)正负左右上下移.(m左加右减,k上加下减)

小结
1、函数y=a(x-h)2+k的图象和函数 y ? ax2 图象之间的关系. 2、函数y=a(x-h)2+k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质.

3


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