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重庆市大学城第一中学校2017_2018学年高二数学下学期第一次月考试题理2 精品

重庆市大学城第一中学校 2017-2018 学年高二数学下学期第一次月考 试题 理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6 0 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则 A A. (0, 2) B. (1, 2) C. (0,1)

B 等于(
(0, ??)



D. (??, ?2)

2. “ ? ? ( , )? ”是“ sin ? ? cos ? ? 0 ”的( )

?

2

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若 z1,z 2 ∈R,则|z1· z2|=|z1|· |z2|,某学生由此得出结论:若 z1,z 2∈C,则|z1· z2|=|z1|· |z2|, 该学生的推理是 ( A.演绎推理 ) B.逻辑推理 C.归纳推理 ) D. c ? a ? b D.类比推理

4. 设 a ? log3 2 , b ? log5 A. a ? c ? b

1 , c ? log2 3 ,则( 2
C. c ? b ? a
3

B. b ? c ? a

5.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是 ( )
3

A.方程 x +ax+b=0 没有实根 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两实根
3

B.方程 x +ax+b=0 至多有一实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两实根 ) D. (??,2) ). D.6 )
3

3

6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是( A.(0,3) B.(1,4) C.(2,+ ? )
x

7. 若 f ( x) ? 1 ? 2 x, g[ f ( x)] ? 2 ? x, 则g ( ?1) 的值为( A.1 B.3 C. ?

1 2

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

A. 2

B .4

C.8

D. 16

-1-

9.已知定义在 是( )

上的函数 f ? x ? ,其导函数 ? 0, ? ? 的大致图象如图所示,则下列叙述正确的

A. C. 10.已知函数 f ?x? ? x ? 则( ). B.

B. D.

x ? 1, g ?x? ? x ? 2 x , h?x ? ? x ? ln x 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,

A. x2 ? x1 ? x3

x3 ? x1 ? x2

C. x2 ? x3 ? x1

D. x1 ? x2 ? x3

11.在直角坐标系中,A、B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以线段 AB 为直径的圆 C 与直线

x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为(
A. 4?
x

). C. ?
' '

B. 2?
?x

D.

1 ? 2

12.设 a∈R,函数 f ( x) ? e ? ae 的导函数 是 f ( x) ,且 f ( x) 是奇函数.若曲线 y ? f ( x) 的 一条切线的斜率是 A.ln2

3 ,则切点的横坐标为( 2
B.-ln2 C.

).

ln 2 2

D. ?

ln 2 2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. 13. 命题 “?x∈R,3x -2x+1>0”的否定是 14.函数 y ? x ln x 的导数为 .
2

.

15.已知 P 为△ABC 所在的平面内一点, 满足 PA ? PB ? 3PC ? 0. ,△A BC 的面积为 2020, 则 ABP 的面积 为 .

16.已知 F1、F2 为双曲线的焦点,过 F2 作垂直于实轴的直线交双曲线于 A、B 两点,BF 1 交 y 轴于点 C,若 AC⊥BF1,则双曲线的离心率为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (sin x ? cos x ) ? cos 2 x
2

(Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值.

18. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 Sn . n ? ?2 ?

-3-

(I) 若点 M 为 PD 上一点且 PM ? 的大小.

1 CM / / 平面 PAB; PD , 证明: (II) 求二面角 B ? PD ? A 3

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴 上,离心率等于 是抛物线 x ? 4 y 的焦点.
2

2 ,它的一个顶点 B 恰好 2

-4-

(I)求椭圆 C 的方程; (II) 若直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, 那么 C 的右焦点 F 是否可以成为 ?BMN 的垂心?若 可以, 求出直线 l 的方程;若不可以, 请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高线的交点)

21. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? a ln x ? ax ( a 为常数) (I)若函数在 (1, ??) 内单调递增,求实数 a 的取值范围; (II)若存在 x ? [1, e] (其中 e 为自然对数的底数) ,使得 f ( x) ? 2 x 成立,求实数 a 的取值 范围.

选考题 请从 22、23 两道题中任选一题作答 22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中, 圆 C 的方程为 ?

? x ? 1 ? 2 cos? , (?为参数) .以坐标 原点 O 为极点,x ? y ? 1 ? 2 sin ? ,

轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线 l 的极坐标方程

? cos? ? ? sin ? ? m(m ? R) .
(I)当 m ? 3 时,判断直线 l 与 C 的关系; (II)当 C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 2 时,求 C 上到直线 l 距离为 2 2 的点的坐 标.

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | , g ( x) ?| x | ?a (Ⅰ)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

大一中高 17-18 学年下期 2019 届第一学月考试答案 理科数学 一:解答题 C A D D A C B C C C B A 二:解答题 13 ? x0∈R,3x-2x0+1≤0 14 15 1212 16

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.解: (Ⅰ)因为

所以函数

的最小正周期为

.

………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果, 综上, 的最大值为 ,最小值为 . ……… 12 分

18.解: (I)方程

的两根为 2,3,由题意得



,设数列

的公

差为 d,,则

,故 d=

,从而



所以

的通项公式为:

…………6 分

(Ⅱ)设求数列

的前 项和为Sn,由(Ⅰ)知



则:

两式相减得

所以

………12 分
-6-

19 解:(I)过点 M 作

,交

于 ,连接

,如下图所示,

因为

,所以







,所以



所以 BCMH 为平行四边形,所以





平面



平面

,所以

平面



......5 分

(Ⅱ)因为梯形 所以 ,

中,



,所以 , ,

,因为

平面



,如图,以 为原点, ......6 分

所在直线为 , , 轴建

立空间直角坐标系。

所以 平面 取

, 的一个法向量为



, ,因为

, 设平面 ,

的一个法向量 ,所以,即,







同理可得

, 所以

, 因为二面角

为锐角,所以二

面角





.....12 分

20.(1)设椭圆方程为 2 抛物线 x =4y 的焦点为(0,1),







-7-

∴椭圆方程为



………………………………4 分

(2)假设存在直线 ,使得点 F 是△BMN 的垂心. 易知直线 BF 的斜率为﹣1,从而直线 的斜率为 1. 设直线的方程为 y=x+m,代入椭圆方程并整理,可得 3x +4bx+2(b ﹣1)=0. 设 ,
2 2





.………………………………6 分

于是



解之得 m=1 或 m=﹣



………………………………10 分

当 m=1 时,点 B 即为直线 与椭圆的交点,不合 题意;当 m=﹣

时,经检验符合题意.

∴当且仅当直线 的方程为 21 解:

时,点 F 是△BMN 的垂心.…………………… 12 分

(1)

函数在

内单调递增,所以

对一切

恒成立, ………………5 分 (2)可化为

………………7 分

-8-

又 当 在 上为增函数,故 的最小值为 从而 (仅当 x=1 时取等号) , 所以 g(x) .

,所以 的取值范围是

………………12 分

22.解:(?é?)C:(x-1) +(y-1) =2,l:x+y-3=0,圆心(1,1)到直线 l 的距离为

2

2

所以直线 l 与 C 相交. ……………………………………………4 分 (?騰)C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于,即圆心到直线 l 的距离为 2. 过圆心与 l 平行的直线方程式为:x+y-2=0 与圆的方程联立可得点为(2,0)和 (0,2).…………10 分 23.解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x )=g(x)得|2x+1|=x,两边平方整理得 3x +4x+1=0, 解得 x=﹣1 或 x=﹣ ∴原不等式的解集为 (﹣8,﹣1]∪[﹣ ,+8) …………5 分 (Ⅱ)由 f(x)=g(x) 得 a=|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,即 h(x)
2

=



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为[﹣ ,+8) .…………10 分
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-9-



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