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无棱二面角的求法


无棱二面角的求法 教学目标: 1.掌握无棱二面角的求法,会用向量法求无棱二面角的大小。 2.通过探究无棱二面角的解法,体会向量法在立体几何问题中的广泛应用。 教学重点:法向量坐标的求法;无棱二面角的向量求法。 教学难点:建立适当的坐标系及添加辅助线。 教学过程: 一.二面角在教材中的地位:求二面角的大小是立体几何的重点内容,也是难点,是每年高考的 必考点,在高中数学有很重要的地位。2001 年的第 17 题就是求无棱二面角的问题。 二、复习 1. 求二面角的方法:①几何法;②射影面积法:S′=Scosθ;③向量法. 2.用向量法解决立体几何题的步骤: (1)几何问题向量化:建立几何图形与向量的联系,把立体几何问题转化为向量问题; (2)进行向量运算:应用距离和夹角等公式进行向量的运算; (3)回归几何问题:把向量的运算结果转换成相应的几何问题的答案. 三、新课讲授 在求二面角时,我们常常遇到无棱二面角。要用几何法作出二面角的平面角就不好作,问题 的关键是二面角没有棱.这时候我们的处理方法是要么作出二面角的棱,用几何法求出二面角的 大小;要么干脆不要棱,用间接法求出二面角的大小. 下面通过例题来详细说明: M 求截面 A 1 BM 与 题目: 如图 1, 各棱长都是 1 的正三棱柱 ABC ? A 1 B1C1 中, 是棱 C1C 的中点, 底面 ABC 所成锐角二面角的大小。

A1 B1

C1 M C B

A

一.补形法

1

小结:补形法是为了”变无棱为有棱”,”变无平面角为有平面角”,创造条件解决问题。 二.转化法

在等腰 Rt⊿AED 中,∠AED=45 .所以面 A1BM 与面 ABC 所成的锐二面角为 45 。

0

0



小结:转化法是用等价关系把不易解决的问题转化成容易解决的问题,是数学上常用的方法。

2

小结:射影法利用已经证明的结论使解法方便快捷,但对解答题来说不太严密,填空选择则没有 什么问题。

3

小结: 向量法最大的特点是避免了复杂的空间想象, 把复杂定性的问题转化成了简单的定量计算, 具有极大优越性。 小结: 1.上述求无棱二面角的四种解法特点各异,相互补充,在解题中应该灵活应用;特别是向量法虽 然运算繁琐,但突破了空间想象这一难关,比较而言学生更容易接受,而且纵观历年的高考题中 求夹角和距离的问题几乎都可以用向量法来做。因此,向量法应该作为重点来掌握。 2. 用向量法求二面角大小的时候, 要结合图形来确定什么时候是两法向量的夹角, 什么时候是两 法向量夹角的补角。 作业:

4



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