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山西省应县第一中学校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文201902030288

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山西省应县第一中学校 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试 题 文
时间:120 分钟 一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1.命题“? x∈(﹣∞,0) ,均有 e >x+1”的否定形式是(
x x

满分:150 分


x x

A.? x∈(﹣∞,0) ,均有 e ≤x+1 B.? x∈(﹣∞,0) ,使得 e ≤x+1 C.? x∈[﹣∞,0) ,均有 e >x+1
2
x

D.? x∈[﹣∞,0) ,使得 e >x+1 )

2 2.若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
3 2

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

3.设 f ? x ? ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ' ? ?1? ? 4 ,则 a 的值等于( A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3
)

4.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( A.垂直且相交 C.垂直但不相交 B.相交但不一定垂直 D.不垂直也不相交 ) D. 3 2

? 3π ? 5.若 f(x)=cos x,则 f′?- ?=( ? 2 ?
A.0 B.1 C.-1

6.某几何体的三视图如图所示,根据图中数据可知该几何体的体积为(

)

A.

4 ? 3

B.

15 ? 3

C.

4 15 ?? ? 3 3

D.

4 15 ?? ? 3 3

1

7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. 3-1 2 B. 5-1 2 1+ 5 C. 4 D. ) 3+1 4

x2 y2 a b

8.经过直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 和 3x ? y ? 0 的交点,且和原点间的距离为1 的直线的条数为 ( A.0 ) B.1 C.2 D.3 )

9.长方体共顶点的三个面的面积分别为 2 、 6 和 9 ,则长方体的体积是( A. 6 3 B. 3 6 C. 11 D. 12

10.已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

1 y ? ? x3 ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3
A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件

)

11.设 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数, y ? f '( x) 的图象如下图所示, 则 y ? f ( x) 的图象最 有可能的是( )

A.

B.

C.

D.

x2 y2 12.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,A(-a,0),B(0,b)为椭圆的两个顶点,若点 a b F 到 AB 的距离为
7- 7 A. 7

b
7

,则椭圆的离心率为( 1 C. 2

) 4 D. 5

7- 2 7 B. 7

二.填空题(共 4 题,每题 5 分)
2

13. 在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,与棱 AA1 垂直且异面的棱有________条. 14. 若双曲线 - =1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则 m=________. m 3 15. 函数 f(x)=(x-1)e 的单调递增区间是________. 16. 椭圆 + =1 截直线 y=x 所得弦长为________. 4 2 三.解答题(共 6 题,第 17 题为 10 分,其余各题每题为 12 分)
x

x2 y2

2

x2 y2

x2 y2 6 17. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 短轴的一个端点到右焦点的距离为 3. a b 3
求椭圆 C 的方程.

18.设 f(x)=x +ax +bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数 a,

3

2

b∈R.
(1)求 f(x) 解析式 (2)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

19.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

20.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上,且截直线

x ? y ? 0 所得的弦长为 2 7 的圆的方程.

3

21.设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1? 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a 、 b 的值; (2)若对于任意的 x ??0,3? ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

22.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,

x2 y2 a b

B 两点,|AF1|=3|BF1|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|;
3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5

4

高二期末文数答案 2019.1 1 B 2 A 3 D 4 C 14. 6 5 C 6 D 7 B 8 C 16. 9 A 4 6 3 10 C 11 C 12 C

13. 4.

15. (0,+∞)

17. 【解】 设椭圆的半焦距为 c,依题意, 得 a= 3且 e= = ∴a= 3,c= 2, 从而 b =a -c =1, 因此所求椭圆的方程为 +y =1. 3 18. 【解】 (1)因为 f(x)=x +ax +bx+1, 所以 f′(x)=3x +2ax+b. 令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,又 f′(1)=2a, 所以 3+2a+b=2a,解得 b=-3. 3 令 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,又 f′(2)=-b,所以 12+4a+b=-b,解得 a=- . 2 3 2 3 所以 f(x)=x - x -3x+1, 2 5 (2)f(1)=- . 2
2 3 2 2 2 2

c a

6 , 3

x2

2

? 3? ? 5? 又 f′(1)=2×?- ?=-3,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-?- ?= ? 2? ? 2?
-3(x-1),即 6x+2y-1=0. 19. 【证明】 (1)连接 BD. 在正方体 AC1 中,对角线 BD∥B1D1. 又∵E、F 为棱 AD、AB 的中点, ∴EF∥BD. ∴EF∥B1D1. 又 B1D1? 平面 CB1D1,EF?平面 CB1D1, ∴EF∥平面 CB1D1. (2)∵在正方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? 平面 A1B1C1D1, ∴AA1⊥B1D1. 又∵在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,

5

∴B1D1⊥平面 CAA1C1. 又∵B1D1? 平面 CB1D1, ∴平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

20.【解】因为圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上, 所以可设圆心 C 的坐标为 ? a,3a ? ,圆心 C ? a,3a ? 到直线 x ? y ? 0 的距离 d ?
2 又圆与 x 轴相切,所以半径 r ? 3 a ,则圆的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? 3a ? ? 9a , 2 2

?2a 2

.

设弦 AB 的中点为 M ,连接 CM ,则 AM ? 7 .

? ?2a ? 在 Rt ?AMC 中,由勾股定理,得 ? ? ? ? 2 ?
2 解得 a ? ?1 ,故 r ? 9 .

2

? 7 ? ? ?3 a ? ,
2 2
2 2

故所求圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9 或 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9 .
2 2

21.【解】(1) f '( x) ? 6x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1? 及 x ? 2 取得极值, 则有 f '(1) ? 0, f '(2) ? 0 . 即{

6 ? 6a ? 3b ? 0, 24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由 1 可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,
3 2

f '( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
当 x ? ? 0,1? 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? (2,3) 时, f '( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1? 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,

6

又 f (0) ? 8c, f (3) ? 9 ? 8c

.

则当 x ??0,3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0,3? , 有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 9 ? 8c ? c 2 , 解得 c ? ?1 或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 (??, ?1) ? (9, ??) .

22. 【解】 (1)由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4,得|AF1|=3,|BF1|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|BF1|=k,则 k>0,且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得 |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得 |AB| =|AF2| +|BF2| -2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, 6 2 2 2 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0, 5 而 a+k>0,故 a=3k, 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2| =|AF2| +|AB| ,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= 2 c 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e= = . 2 a 2
2 2 2 2 2 2

7



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