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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质预习导航学案新人教B版选修2_1_图文

2.4.2 抛物线的简单几何性质 预习导航 课程目标 学习脉络 1.理解抛物线的简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用. 3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性 质的异同. 1.抛物线 y =2px(p>0)的几何性质 2 思考 1 掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们 分别指的是什么? 提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一 率”是指离心率 1;“一方向”是指抛物线的开口方向. 思考 2 抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些? 提示: 抛物线的离心率等于 1, 它只有一个焦点、 一个顶点、 一条对称轴和一条准线. 它 没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线. 2.抛物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程 y =2px(p>0) 2 y2=-2px(p> 0) x =2py(p>0) 2 x2=-2py(p> 0) 1 图象 范围 对称轴 顶点 性 质 焦点 准线 离心率 x≥0,y∈R x轴 x≤0,y∈R x∈R,y≥0 y轴 x∈R,y≤0 原点 O(0,0) ?p,0? ?2 ? ? ? p x=- 2 ?-p,0? ? 2 ? ? ? p x= 2 ?0,p? ? 2? ? ? p y=- 2 ?0,-p? ? 2? ? ? p y= 2 e=1 思考 3 怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向? 提示:一次项的变量若为 x(或 y),则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的 符号决定开口方向. 如果 y 是一次项,负时向下,正时向上. 如果 x 是一次项,负时向左,正时向右. 名师点拨 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、 分析, 其共同 点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于 1 原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为 4 p.其不同点:(1)对称轴为 x 轴时,方程的右端为±2px,左端为 y2;对称轴为 y 轴时,方程 的右端为±2py,左端为 x ;(2)开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同,焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上, 方程的右端取正号; 开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负半轴相同, 焦点在 x 轴(或 2 y 轴)的负半轴上,方程的右端取负号. 2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. 2


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