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浙江省杭州市2013届高三第一次高考科目教学质量检测(数学文)


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2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学试题卷(文科)
考生须知: 1. 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卷.

参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) . 如果事件 A, B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:
k P (k ) ? Cn p k (1 p )n? k k ? 0,1, 2,? n , ). ? ( 3, n

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若复数 z ? 2 ? A. 第一象限

1? i ,其中 i 是虚数单位,则复平面上,复数 z 所对应的点在( 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限

)

D. 第四象限 ) D. 12 )

2.平面向量 a 与 b 的夹角为 60? ,且 a ? (2, 0) , b ? 1 ,则 a + 2b ? ( A.

3

B. 2 3

C. 4

3.设 a ?R,则“ a ? 4 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2x ? y ? a ? 0 平行”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论正确的是(
x

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f ( ?1)

第 1 页(共 6 页)

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世纪金榜 圆您梦想 5.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 ?a7 ? a1 ? ?a8 ,则必定有(
A. S7 ? 0 ,且 S8 ? 0 C. S7 ? 0 ,且 S8 ? 0 B. S7 ? 0 ,且 S8 ? 0 D. S7 ? 0 ,且 S8 ? 0 )

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)
开始 n=5,k=0 n 为偶数

6.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 5 C. 7 B. 6 D. 8



否 n=3n+1

sin( ? ? ) cos(? ? ? ) 2 7.设 ? 是第三象限角,且 tan ? ? 2 ,则 ? 3? sin( ? ? ) 2
( A. )

?

n?

n 2

k=k+1 否 n =1?

5 5 2 5 5

B. ? D. ?

5 5 2 5 5

是 输出 k 结束 (第 6 题)

C.

8.设函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 则实数 a 的值为( A. ) B.

1 , 3

1 2 或 3 3

2 3 或 3 4

C.

1 1 或 4 3

D.

3 1 或 4 4

9.设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,以 F1F2 为直径的圆与双曲 a 2 b2
)

线 C 在第二象限的交点为 P ,若双曲线 C 的离心率为 5,则 cos ?PF2 F1 等于( A.

3 5

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6
)

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 10.若函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点的个数为( f ( x ? 2), x ?[2, ??) ? ?2
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 请将答案填在答题卷的横线上. 11.在等比数列 ?a n ?中,若 a2 ? 1, a5 ? ?8, 则 a8 ? 12.若 sin x ? cos x ? 1 ,则 . .

1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x

13.若正数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则

4 1 ? 的最小值为 x y



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14.无穷数列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3,再接下来 4 项都是 4,?,以此类推.记该数列为 ?a n ?,若 an?1 ? 7 , an ? 8 ,则 n ? 15. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ? 截得的弦长为 . .

1 2 c ,则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 所 2

?y ? x ? 0 16.若实数 x, y 满足不等式组 ? ,则 2x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 7 ? 0

17.设 Q 为圆 C: x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 上任意一点,抛物线 y 2 ? 8x 的准线为 l .若抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m ,则 m ? PQ 的最小值为 .

三、解答题:本大题有 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤。 18.(本题满分 14 分)设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x( x ? R ). (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f ( A) ? 3 ? 2 3 , B ? 值.

?
12

, 求

2 2 a2 ? b ? c 的 ab

19 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 向 量 m = (1, ? sin , n = A )

(sin A, 1 ? cos A) ,且 m // n
(Ⅰ)若 ? ? 2 ,求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 3 sin A ,求实数 ? 的取值范围. 20.(本题满分 14 分)设在等差数列 ?a n ?和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? 1, b1 ? 2, bn ? 0 ( n? N*),且 b1 , a2 , b2 成等差数列, a2 , b2 , a3 ? 2 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? abn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn ,若

S 2 n ? 4n ? bn ?1 ? t 恒成立,求实数 t 的取值范围. S n ? 2n

21.(本题满分 15 分)
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圆您梦想 设函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x, (其中 a ? 0 )
2

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(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)当 a ? 4 时,给出直线 l1 : 5x ? 2 y ? m ? 0 和 l2 : 3x ? y ? n ? 0, 其中 m, n 为常数,判断直线 l1 或 l2 中,是否存在函数 f ( x ) 的图象的切线,若存在,求出相应的 m 或 n 的值,若不存在,说明理由.

22.(本题满分 15 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px (p > 0)和 ? M: x2 ? y 2 ? 8x ?12 ? 0 ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(y0≥0) 作两条直线与 ? M 相切与 A、B 两点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 P 点坐标为(2,2)时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)设切线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? P(x0,y0)的坐标.

9 . 2

1 ,求点 2

(第 22 题)

2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学文科卷参考答案及评分标准 一.选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 B 8 B 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请将答案填写在答题卷的横线上. 11.64 15.2 7 12. ?1 16. 13.9 17. 14. 29

21 2

41 -2

三、解答题:本大题有 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来 18. (本题满分 14 分) (Ⅰ)f (x)=2 3 cos(2x+
第 4 页(共 6 页)

π )+3, 6
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6分

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故 f (x)的最大值为 2 3 +3;最小正周期 T= π . (Ⅱ)由 f (A)=3-2 3 得 2 3 cos(2A+ 故 cos(2A+ 故 2A+ ∴

π )+3=3-2 3 , 6

π π π π π )=-1,又由 0<A< ,得 <2A+ < π + , 6 2 6 6 6

π 5π π π = π ,解得 A= .又 B= ,∴C= . 6 12 12 2
14 分

a2 ? b2 ? c2 =2cosC = 0. ab

19. (本题满分 14 分)

?? ? 1 (Ⅰ)由 m // n ,得 2sin2A―1―cosA=0,即 cosA= 或 cosA=-1(舍去) ,

2

所以 A=

π . 3

-----------------------------------------------------------6 分

?? ? (Ⅱ)由正弦定理得 b+c= 3 a,由 m // n ,得 λsin2A―1―cosA=0,
即 cosA= 又 cosA=

? ?1 或 cosA=-1(舍去) ,----------------------------------------------10 分 ?
b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? a 2 ? 2bc a 2 a2 1 ? ? ?1 ? ?1 ? , b?c 2 2bc 2bc bc 3 ( ) 2

综上,λ 需要满足 ?

1 3

? ?1 3 ? 1 ,得 λ≥ . 2 ?

--------------------------14 分

20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q(q>0) .由题意, 得 ?

?2(1 ? d ) ? 2 ? 2q , 解 得 d = q = 3 . ∴ an ? 3n ? 2 , bn ? 2 ? 3n?1 . 2 ? (2q) ? (1 ? d )(3 ? 2d )
(Ⅱ) cn ? 3 ? bn ? 2 ? 2 ? 3n ? 2 .

6 分

1 2 n ∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2(3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? 2n ? 3

n ?1

? 2n ? 3 .



S 2 n ? 4n 32 n?1 ? 3 ? n?1 ? 3n ? 1 .∴ 3n ? 1 ? 2 ? 3n ? t 恒成立,即 t ? (?3n ? 1)max . S n ? 2n 3 ?3
14 分

故 t ? ?2 .

21. (本小题满分 15 分) (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 2 x ? 3 ?

1 ( x ? 1)( 2 x ? 1) ? x x
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第 5 页(共 6 页)

世纪金榜 圆您梦想 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 2 2
所以当 x ? 1 时, f (x) 取极小值 ? 2 . (Ⅱ)当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ? 故 l1 中,不存函数图象的切线. 由 2x ? 当x ? ………………7 分

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4 4 ? 6 ,? x ? 0 ,? f ?( x) ? 2 x ? ? 6 ? 4 2 ? 6 , x x

1 4 ? 6 ? 3得 x ? 与 x ? 4 , 2 x

1 17 ? 4 ln 2 时,求得 n ? ? 2 4
15 分

当 x ? 4 时,求得 n ? 4 ln 4 ? 20 .

22.(本小题满分 15 分) (Ⅰ)由题意知: 4 ?

p 9 ? ? p ? 1, 2 2
4分

所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x .

M ( (Ⅱ) P(2,2) , 设 因为 P 、A 、B 、 四点共圆, 所以确定圆的方程为: x ? 4)(x ? 2) ? ( y ? 2)( y ? 0) ? 0

????①
又⊙ M : x ? 8x ? y ? 12 ? 0
2 2

????②
10 分

又由① 得直线 AB 的方程: x ? y ? 2 ? 0 . -② 注:观察得切点(2,0)和(4,2) ,写出 AB 方程也可。

(Ⅲ)设过的直线 l 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,由于⊙M 与直线 l 相切,得到
2 2 得到: ( x0 ? 8x0 ? 12)k 2 ? [2 y0 (4 ? x0 )]k ? y0 ? 4 ? 0

| 4k ? y 0 ? kx0 | 1? k
2

? 2 ,整理

? k1 ? k 2 ?

2 x0

2 y0 ? 4 1 2 ? ,即 x0 ? 8 x0 ? 12 2

? 12x0 ? 20 ? 0 ,所以 x0 ? 2 或 10 ,
15 分

经检验得点 P 坐标为 (10,2 5 ) .

第 6 页(共 6 页)

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