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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(63)离散型随机变量的均值

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课时作业(六十三) [第 63 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.下面说法正确的是( ) A.离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的概率的平均值 B.离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平 C.离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的平均水平 D.离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的概率的平均值 1 2.某班有 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名同学,那么其中数学成绩 4 1 5, ?,则 E(2X+1)等于( 优秀的学生数 X~B? ) ? 4? 5 5 A. B. 4 2 7 C.3 D. 2 3.一个课外兴趣小组共有 5 名成员,其中 3 名女性成员、2 名男性成员,现从中随机 选取 2 名成员进行学习汇报,记选出女性成员的人数为 X,则 X 的数学期望是( ) 1 3 A. B. 5 10 4 6 C. D. 5 5 4. 某种摸奖活动的规则是: 在一个袋子中装有大小、 质地完全相同、 编号分别为 1,2,3,4 的小球各一个,先从袋子中摸出一个小球,记下编号后放回袋子中,再从中取出一个小球, 记下编号,若两次编号之和大于 6,则中奖.某人参加 4 次这种抽奖活动,记中奖的次数为 X,则 X 的数学期望是( ) 1 1 A. B. 4 2 3 3 C. D. 16 4 能力提升 1? ? 1? 5.已知 X~B? ) ?n,2?,Y~B?n,3?,且 E(X)=15,则 E(Y)等于( A.5 B.10 C.15 D.20 6. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 7.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D(X)等于( ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 8. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1), 且 P(2≤X≤4)=0.6826, 则 P(X>4)=( )
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A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 9.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中任意抽出 3 张卡片,设 3 张卡片上的数字之和为 X,则 X 的数学期望是( ) A.7.8 B.8 C.16 D.15.6 10.某同学解答两道试题,他能够解出第一道题的概率为 0.8,能够解出第二道题的概 率为 0.6,两道试题能够解答与否相互独立,记该同学解出题目的个数为随机变量 X,则 X 的数学期望 E(X)=________. 11.体育课的投篮测试规则是:一位同学投篮一次,若投中则合格,停止投篮,若投不 中,则重新投篮一次,若三次投篮均不中,则不合格,停止投篮.某位同学每次投篮的命中 2 的概率为 ,则该同学投篮次数 X 的数学期望 E(X)=________. 3 12.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回,现连 续取球 8 次,记取出红球的次数为 X,则 X 的方差 D(X)=________. 13.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为 0.005,保险公司开办一年 期万元以上家庭财产保险,交保险费 100 元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿 a 元(a>1000),为确保保险公司有可能获益,则 a 的取值范围是________. 14.(10 分) 一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:f1(x) =x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函 数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的 卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 X 的分布列和数学期望.

15.(13 分) 不透明盒中装有 10 个形状大小一样的小球,其中有 2 个小球上标有数字 1,有 3 个小球上标有数字 2,还有 5 个小球上标有数字 3.取出一球记下所标数字后放回, 再取一球记下所标数字,共取两次.设两次取出的小球上的数字之和为 X. (1)求随机变量 X 的分布列; (2)求随机变量 X 的期望 E(X).

难点突破 16.(12 分) 低碳生活成为人们未来生活的主流,某市为此制作了两则公益广告: (1)80 部手机,一年就会增加一吨二氧化碳的排放?? (2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气?? 活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果,随机从 10~60 岁的人群中抽查了 n 人,统计结果如图 K63-1 表示抽查的 n 人中,各年龄段的人数的频率分布直方图,下表表 示抽查的 n 人中回答正确情况的统计表.
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图 K63-1

广告一 广告二 回答正确 占本组人 回答正确 占本组人数 的人数 数的频率 的人数 的频率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 240 0.5 [30,40) 378 0.9 252 0.6 [40,50) 160 b 120 0.5 [50,60) 15 0.25 6 0.1 (1)分别写出 n,a,b 的值; (2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率,规定正确回答广告 一的内容得 20 元,正确回答广告二的内容得 30 元,组织者随机请一家庭的两成员(大人 45 岁,孩子 17 岁)回答两广告内容,求该家庭获得资金的期望(各人之间,两广告之间相互独 立).

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课时作业(六十三) 【基础热身】 1. C [解析] 离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的平均水平, 它的方差反映 X 取值的离散程度. 1 5 5 5, ?,所以 E(X)= ,所以 E(2X+1)=2E(X)+1=2× +1 2.D [解析] 因为 X~B? ? 4? 4 4 7 = . 2 1 C2 1 C1 6 C2 3 2 3C2 3 3.D [解析] X=0,1,2.P(X=0)= 2= ,P(X=1)= 2 = ,P(X=2)= 2= .所以 C5 10 C5 10 C5 10 6 E(X)= . 5 4.D [解析] 根据乘法原理,基本事件的总数是 4×4=16,其中随机事件“两次编号 3 之和大于 6”含有的基本事件是(3,4),(4,3),(4,4),故一次摸奖中奖的概率为 .4 次摸奖中 16 3 3 3 ,4?,根据二项分布的数学期望公式,则 E(X)=4× = . 奖的次数 X~B? ?16 ? 16 4 【能力提升】 1? n 5.B [解析] 因为 X~B? ?n,2?,所以 E(X)=2,又 E(X)=15,则 n=30. 1? 1 所以 Y~B? ?30,3?,故 E(Y)=30×3=10. 6. B [解析] X 的数学期望概率符合(n, p)分布; n=1 000, p=0.1, ∴E(X)=2×1 000×0.1 =200. 7.C [解析] 因为 0.5+m+0.2=1, 所以 m=0.3, 所以 E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2 =2.4, D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44. 1-P?2≤X≤4? 1-0.6826 8.B [解析] 通过正态分布对称性及已知条件得 P(X>4)= = 2 2 =0.1587,故选 B. 9.A [解析] X 的取值为 6,9,12,相应的概率 1 2 C3 7 C2 7 C1 1 7 7 8 8C2 8C2 P(X=6)= 3 = , P(X=9)= 3 = , P(X=12)= 3 = , E(X)=6× +9× + C10 15 C10 15 C10 15 15 15 1 12× =7.8. 15 10. 1.4 [解析] X=0,1,2.P(X=0)=0.2×0.4=0.08, P(X=1)=0.8×0.4+0.2×0.6=0.44, P(X=2)=0.8×0.6=0.48.所以 E(X)=0×0.08+1×0.44+2×0.48=1.4. 13 2 11. [解析] 试验次数 X 的可能取值为 1,2,3,且 P(X=1)= , 9 3 1 2 2 P(X=2)= × = , 3 3 9 1 1 2 1? 1 + = . P(X=3)= × ×? 3 3 ?3 3? 9 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 2 2 1 P 3 9 9 2 2 1 13 所以 E(X)=1× +2× +3× = . 3 9 9 9 1 12.2 [解析] 每次取球时,红球被取出的概率为 ,8 次取球看做 8 次独立重复试验, 2 1 ? 1 1 红球出现的次数 X~B? ?2,8?,故 D(X)=8×2×2=2.
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13.(1 000,20 000) [解析] X 表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布为 100-a 0.005 a E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100- .若保险公司获益,则期望大于 0,解得 200 a<20 000,所以 a∈(1 000,20 000). 14.[解答] (1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函 C2 1 3 数”,由题意知 P(A)= 2= . C6 5 (2)X 可取 1,2,3,4. 1 C1 C1 3 3 1 3 C3 P(X=1)= 1= ,P(X=2)= 1· 1= , C6 2 C6 C5 10 1 1 C1 3 3 C2 C3 P(X=3)= 1· 1· 1= , C6 C5 C4 20 1 1 1 C1 1 3 C2 C1 C3 P(X=4)= 1· 1· 1· 1= ; C6 C5 C4 C3 20 故 X 的分布列为 3 3 P 20 1 3 3 1 7 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 2 10 20 20 4 7 答:X 的数学期望为 . 4 15.[解答] (1)由题意知随机变量 X 的取值为 2,3,4,5,6. 2 2 1 P(X=2)= × = , 10 10 25 2 3 3 2 3 P(X=3)= × + × = , 10 10 10 10 25 2 5 5 2 3 3 29 P(X=4)= × + × + × = , 10 10 10 10 10 10 100 3 5 5 3 3 P(X=5)= × + × = , 10 10 10 10 10 5 5 1 P(X=6)= × = . 10 10 4 所以随机变量 X 的分布列为 X 2 1 25 3 3 25 X 1 1 2 2 3 10 4 1 20 X P 100 0.995

4 5 6 29 3 1 P 100 10 4 1 3 29 3 1 23 (2)随机变量 X 的期望为 E(X)=2× +3× +4× +5× +6× = . 25 25 100 10 4 5 【难点突破】 90 16.[解答] (1)根据频率分布表,可知年龄在[10,20)岁的人数为 =180. 0.5 180 根据频率分布直方图可得 =0.015×10,得 n=1200, n 45 1 160 2 ∴a= = , =1200×0.02×10,b= . 180 4 b 3 1 2 ∴n=1200,a= ,b= . 4 3

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1 1 (2)依题意:孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是 P1= ,P2= . 2 4 2 1 大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为 P3= ,P4= . 3 2 设随机变量 X 表示该家庭获得的资金数, 则 X 的可能取值是: 0,20,30,40,50,60,70,80,100. 其分布列为 40 50 60 70 80 100 1 1 1 1 1 1 P 8 4 48 6 16 24 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ∴E(X)=0× +20× +30× +40× +50× +60× +70× +80× +100× 16 16 12 8 4 48 6 16 24 5 =45 . 6 X 0 1 16 20 3 16 30 1 12

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