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2017高考试题解析分类汇编-函数导数


函数导数
x x 1(2017 北京文)已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x)

1 3

(A)是偶函数,且在 R 上是增函数 (B)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是偶函数,且在 R 上是减函数 (D)是奇函数,且在 R 上是增函数 【答案】B

2(2017 北京文)(本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? ex cos x ? x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;

π [0, ] f ( x) 在区间 2 上的最大值和最小值. (Ⅱ)求函数
【答案】(Ⅰ) y ? 1 ;(Ⅱ)最大值 1;最小值 ?

?
2

.









h( x) ? ex (cos x ? sin x) ?1





h?( x) ? ex (cos x ? sin x ? sin x ? cos x) ? ?2e x sin x .

当 x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 ,

π 2

所以 h( x) 在区间 [0, ] 上单调递减.

π 2

所以对任意 x ? (0, ] 有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 .

π 2

所以函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上单调递减.

π 2

因此 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 f (0) ? 1 ,最小值为 f ( ) ? ? 3(2017 新课标Ⅱ理) (12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax ? x ln x ,且 f ( x) ? 0 . (1)求 a ;

π 2

π 2

π . 2

(2)证明: f ( x) 存在唯一的极大值点 x0 ,且 e?2 ? f ( x0 ) ? 2?2 .

所以 e

?2

? f ? x0 ? ? 2?2 .

4(2017 天津理) (本小题满分 14 分) 设 a ? Z ,已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 3x ? 6x ? a 在区间 (1, 2) 内有一个零
4 3 2

点 x0 , g ( x) 为 f ( x ) 的导函数. (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)设 m ?[1, x0 ) ? ( x0 , 2] ,函数 h( x) ? g ( x)(m ? x0 ) ? f (m) ,求证: h(m)h( x0 ) ? 0 ; (Ⅲ) 求证: 存在大于 0 的常数 A , 使得对于任意的正整数 p, q , 且

p ? [1, x0 ) ? ( x0 , 2], 满 q

足|

p 1 . ? x0 |? q Aq 4
1 4 1 4

【答案】 (1)增区间是 (??, ?1) , ( , ??) ,减区间是 ( ?1, ) .(2) (3)证明见解析
3 【解析】 (Ⅰ) 由 fx () 2 ?x 4 3 ?x 3 ?x 2 6 ?x a ?

, 可得 g ( x) ? f ?( x) ? 8x3 ? 9x2 ? 6x ? 6 ,

进而可得 g?( x) ? 24x2 ? 18x ? 6 .令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ? 当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表: x

1 . 4

(??, ?1)
+ ↗

1 ( ?1, ) 4


1 ( , ??) 4
+ ↗

g ?( x )
g ( x)

所以, g ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) , ( , ??) ,单调递减区间是 ( ?1, ) . (Ⅱ)证明:由 h( x) ? g ( x)(m ? x0 ) ? f (m) ,得 h(m) ? g (m)(m ? x0 ) ? f (m) ,

1 4

1 4

h( x0 ) ? g ( x0 )(m ? x0 ) ? f (m) .

(III)证明:对于任意的正整数 p , q ,且

p ? [1, x0 ) ? ( x0 , 2] , q

令m ?

p ,函数 h( x) ? g ( x)(m ? x0 ) ? f (m) . q

由(II)知,当 m ?[1, x0 ) 时, h( x) 在区间 (m, x0 ) 内有零点; 当 m ? ( x0 , 2] 时, h( x) 在区间 ( x0 , m) 内有零点.

所以 |

p 1 p 1 ? x0 | ? .所以,只要取 A ? g (2) ,就有 | ? x0 | ? . 4 q g (2)q q Aq 4

5(2017 新课标Ⅲ理数)(12 分) 已知函数 f ( x ) =x﹣1﹣alnx. (1)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的值; (2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+ 值. 解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? 0, +? ? .

1 1 1 )(1+ 2 )?(1+ n ) ﹤m,求 m 的最小 2 2 2

1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 1 1 ln ? 1+ ? + ln ? 1+ 2 ? + ??? + ln ? 1+ n ? < + 2 + ??? + n =1- n <1 2 2 ? 2? ? 2 ? ? 2 ? 2 2
故 ? 1+ ?? 1+

? ?

1 ?? 2 ??

1? ? 1? ? ??? ? 1+ ? <e 22 ? ? 2n ? 1 ?? 1 ? ?? 1+ ?>2 ,所以 m 的最小值为 3. 22 ?? 23 ?

而 ? 1+ ?? 1+

? ?

1 ?? 2 ??

6(2017 山东理) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x? ? x2 ? 2cos x , g ? x ? ? ex ? cos x ? sin x ? 2x ? 2? ,其中 e ? 2.71828? 是自然对 数的底数. (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?? , f ? x ? ? 处的切线方程; (Ⅱ)令 h ? x ? ? g ? x ? ? af ? x ?? a ? R ? ,讨论 h ? x ? 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极 值. 【答案】 (Ⅰ) y ? 2? x ? ? 2 ? 2 .

(Ⅱ)综上所述:

当 a ? 0 时, h ? x ? 在 ? ??,0 ? 上单调递减,在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 函数 h ? x ? 有极小值,极小值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ? ??,ln a ? 和 ? 0,ln a ? 和 ? 0, ?? ? 上单调递增,在 ? ln a,0 ? 上单调递 减,函数 h ? x ? 有极大值,也有极小值,
2 极大值是 h ? ln a ? ? ?a ? ?ln a ? 2ln a ? sin ?ln a ? ? cos ?ln a ? ? 2? ?

极小值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ; 当 a ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,无极值; 当 a ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ? ??,0 ? 和 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 在 ? 0,ln a ? 上单调递减,函数 h ? x ? 有极大值,也有极小值, 极大值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ;

2 极小值是 h ? ln a ? ? ?a ? ?ln a ? 2ln a ? sin ?ln a ? ? cos ?ln a ? ? 2? ?.

【解析】解: (Ⅰ)由题意 f ?? ? ? ? 2 ? 2 又 f ? ? x ? ? 2 x ? 2sin x , 所以 f ? ?? ? ? 2? , 因此 曲线 y ? f ? x ? 在点 ?? , f ?? ? ? 处的切线方程为

y ? ?? 2 ? 2? ? 2? ? x ? ? ? ,
y ? 2? x ? ? 2 ? 2 .



(Ⅱ)由题意得

h ? x? ? e2 ? cos x ? sin x ? 2x ? 2? ? a ? x2 ? 2cos x ? ,

因为 h? ? x ? ? ex ? cos x ? sin x ? 2x ? 2? ? ex ? ? sin x ? cos x ? 2? ? a ? 2x ? 2sin x ?

? 2ex ? x ? sin x ? ? 2a ? x ? sin x ?

? 2 ? ex ? a ? ? x ? sin x ? ,
令 m ? x ? ? x ? sin x 则 m? ? x ? ? 1 ? cos x ? 0 所以 m ? x ? 在 R 上单调递增. 所以 当 x ? 0 时, m ? x ? 单调递减, 当 x ? 0 时, m ? x ? ? 0

(2)当 a ? 0 时, h? ? x ? ? 2 ex ? eln a 由 h? ? x ? ? 0 得 x1 ? ln a , x2 =0 ①当 0 ? a ? 1 时, ln a ? 0 ,

?

? ? x ? sin x?

当 x ? ? ??,ln a ? 时, ex ? eln a ? 0, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增; 当 x ? ? ln a,0 ? 时, ex ? eln a ? 0, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, ex ? eln a ? 0, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以 当 x ? ln a 时 h ? x ? 取得极大值.

2 极大值为 h ? ln a ? ? ?a ? ?ln a ? 2ln a ? sin ?ln a ? ? cos ?ln a ? ? 2? ?,

当 x ? 0 时 h ? x ? 取到极小值,极小值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ;

②当 a ? 1 时, ln a ? 0 , 所以 当 x ? ? ??, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,无极值;

2 极小值是 h ? ln a ? ? ?a ? ?ln a ? 2ln a ? sin ?ln a ? ? cos ?ln a ? ? 2? ?.

综上所述:

当 a ? 0 时, h ? x ? 在 ? ??,0 ? 上单调递减,在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 函数 h ? x ? 有极小值,极小值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ? ??,ln a ? 和 ? 0,ln a ? 和 ? 0, ?? ? 上单调递增,在 ? ln a,0 ? 上单调递 减,函数 h ? x ? 有极大值,也有极小值,
2 极大值是 h ? ln a ? ? ?a ? ?ln a ? 2ln a ? sin ?ln a ? ? cos ?ln a ? ? 2? ?

极小值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ; 当 a ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,无极值; 当 a ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ? ??,0 ? 和 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 在 ? 0,ln a ? 上单调递减,函数 h ? x ? 有极大值,也有极小值, 极大值是 h ? 0? ? ?2a ? 1 ;

2 极小值是 h ? ln a ? ? ?a ? ?ln a ? 2ln a ? sin ?ln a ? ? cos ?ln a ? ? 2? ?.

7 ( 2017 天 津 文 )( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 a, b ? R , | a |? 1 . 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? 6x2 ? 3a(a ? 4) x ? b , g ( x) ? e x f ( x) .
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)已知函数 y ? g ( x) 和 y ? e x 的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证: f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于 0; (ii)若关于 x 的不等式 g ( x) ? e x 在区间 [ x0 ? 1, x0 ? 1] 上恒成立,求 b 的取值范围. 【答案】 (1)递增区间为 (??, a) , (4 ? a, ??) ,递减区间为 (a, 4 ? a) .(2) (ⅰ) f ( x) 在

x ? x0 处的导数等于 0.(ⅱ) b 的取值范围是 [?7,1] .
【解析】 (I)由 f ( x) ? x ? 6 x ? 3a(a ? 4) x ? b ,可得
3 2

(ii)因为 g ( x) ? e , x ?[ x0 ?1, x0 ? 1] ,由 e x ? 0 ,可得 f ( x) ? 1 .
x

又因为 f ( x0 ) ? 1 , f ' ( x0 ) ? 0 ,故 x0 为 f ( x) 的极大值点,由(I)知 x0 ? a . 另一方面,由于 | a |? 1 ,故 a ? 1 ? 4 ? a , 由(I)知 f ( x) 在 (a ? 1, a) 内单调递增,在 (a, a ? 1) 内单调递减, 故 当 x0 ? a 时 , f ( x) ? f (a) ? 1 在 [a ? 1, a ? 1] 上 恒 成 立 , 从 而 g ( x )? e 在
x

[ x0 ?1, x0 ? 1] 上恒成立.
3 2 3 2 由 f (a) ? a ? 6a ? 3a(a ? 4)a ? b ? 1,得 b ? 2a ? 6a ? 1 , ?1 ? a ? 1 。

令 t ( x) ? 2 x ? 6 x ? 1, x ?[?1,1] ,所以 t' ( x) ? 6 x ?12 x ,
3 2 2

令 t' ( x) ? 0 ,解得 x ? 2 (舍去) ,或 x ? 0 . 因为 t (?1) ? ?7 , t (1) ? ?3 , t (0) ? 1,故 t ( x) 的值域为 [?7,1] . 所以, b 的取值范围是 [?7,1] . 8(2017 新课标Ⅰ理数) (12 分) 已知函数 f ( x) ? ae2 x ? (a ? 2)e x ? x .

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围.

综上, a 的取值范围为 (0,1) . 9(2017 江苏)(本小题满分 16 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1(a ? 0, b ? R) 有极值,且导函数 f ?( x) 的极值点是 f ( x) 的零

点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明: b 2 ? 3a ;
7 (3)若 f ( x) , f ?( x) 这两个函数的所有极值之和不小于 ? ,求 a 的取值范围. 2

当 a ? 3 时, f ?(x)>0(x ? ?1) ,故 f (x) 在 R 上是增函数, f (x) 没有极值;

?a ? a ? 3b ?a ? a ? 3b 当 a ? 3 时, f ?(x)=0 有两个相异的实根 x1 = , x2 = .
2 2

3

3

列表如下: x

( ? ?, x1 )
+

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

(x2 , ??)
+

f ?(x )
f (x)

?

?

?

故 f (x) 的极值点是 x1 , x2 .从而 a ? 3 .因此 b ?

2a 2 3 ? ,定义域为 (3, ??) . 9 a

(2) 由 (1) 知,

2t 3 b 2a a 3 2 3 2t 2 ? 27 . 设 g (t )= ? , 则 g ?(t )= ? 2 ? . = ? 9 t 9 9 t 9t 2 a a a

当t ?(

3 6 3 6 , ??) 时, g ?(t ) ? 0 ,从而 g (t ) 在 ( , ??) 上单调递增. 2 2

因为 a ? 3 , 所以 a a ? 3 3 , 故 g (a a )>g (3 3)= 3 , 即

b > 3. 因此 b 2 >3a . a

记 f (x) , f ?(x ) 所有极值之和为 h(a) , 因为 f ?(x ) 的极值为 b ?

1 2 3 a2 1 3 ? ? a 2 ? ,所以 h(a)= ? a ? , a ? 3 . 9 a 3 9 a

因为 h?(a )= ?

2 3 a ? 2 ? 0 ,于是 h(a) 在 (3, ??) 上单调递减. 9 a

因为 h(6)= ?

7 6] . ,于是 h(a) ? h(6) ,故 a ? 6 .因此 a 的取值范围为 (3, 2

10(2017 新课标Ⅱ文) (12 分) 设函数 f ( x) ? (1 ? x2 )e x . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围.

11(2017 北京理)(本小题 13 分) 已知函数 f(x)=excosx?x. (Ⅰ)求曲线 y= f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0, 【答案】 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ex cos x ? x ,所以 f ?( x) ? ex (cos x ? sin x) ?1, f ?(0) ? 0 . 又因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 .
π ]上的最大值和最小值. 2

12(2017 浙江)(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=(x– 2 x ? 1 ) e ? x ( x ? (Ⅰ)求 f(x)的导函数;
1 +?) 上的取值范围. (Ⅱ)求 f(x)在区间 [ , 2

1 ). 2

【答案】(Ⅰ) f' ( x) ? (1 ? x)(1 ?

2 2x ? 1

)e ? x ;(Ⅱ)[0, 1

1 ?2 e ]. 2

1

【解析】 (Ⅰ)因为 ( x ? 2 x ? 1)' ? 1 ? 所以
f' ( x) ? (1 ? 1

2x ? 1

?x ?x , (e )' ? ? e ,

2x ? 1

) e ? x ? ( x ? 2 x ? 1) e ? x

?

(1 ? x)( 2 x ? 1 ? 2) e? x 2x ? 1

1 (x ? ) . 2

(Ⅱ)由
f' ( x) ? (1 ? x)( 2 x ? 1 ? 2) e? x 2x ? 1 ?0,

解得
x ?1 或 x ?

5 . 2

因为 x ′ ()
1 2



1 ,1) 2

1 0

(1, +

5 ) 2

5 2



5 , ?? ) 2



0



f(x)

1 ?1 e 2 2

?

0

?

1 ?5 e 2 2

?

1 又 f ( x) ? ( 2 x ? 1 ? 1)2 e? x ? 0 , 2

1 1 ?1 所以 f(x)在区间 [ , ??) 上的取值范围是 [0, e 2 ] . 2 2

13(2017 新课标Ⅲ文数) (12 分) 已知函数 f ( x ) =lnx+ax2+(2a+1)x. (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)当 a﹤0 时,证明 f ( x ) ? ?

3 ?2. 4a 1 )单 2a

【答案】 (1)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递增;当 a ? 0 时,则 f ( x) 在 (0,? 调递增,在 ( ?

1 ,?? ) 单调递减; (2)详见解析 2a

14(2017 新课标Ⅰ文数)(12 分)
x x 2 已知函数 f ( x ) =e (e ﹣a)﹣a x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.
2x x 2 x x 【解析】 (1) 函数 f ( x ) 的定义域为 (??, ??) ,f ?( x) ? 2e ? ae ? a ? (2e ? a)(e ? a) ,

①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? e2 x ,在 (??, ??) 单调递增. ②若 a ? 0 ,则由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a .

, ?? ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??,ln a) 当 x ? (??,ln a) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a
单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. ③若 a ? 0 ,则由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln(? ) .

a 2

? 当 x ? (??, ln( ? )) 时 , f ?( x ) ? 0 ; 当 x ? ( l n ( a a (??, ln(? )) 单调递减,在 (ln(? ), ??) 单调递增. 2 2
(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? e2 x ,所以 f ( x) ? 0 .

a 2

a )? , ?时 ) , f ?( x ) ? 0, 故 f ( x) 在 2

②若 a ? 0 ,则由(1)得,当 x ? ln a 时, f ( x ) 取得最小值,最小值为 f (ln a) ? ?a 2 ln a . 从而当且仅当 ?a ln a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) ? 0 .
2

( ③ 若 a ? 0 , 则 由 ( 1 ) 得 , 当 x ? l n?
f ( l n? ( a 3 ) ?)a 2 ? [ 2 4

a )时 , f ( x) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 2

3 a 3 a ? l n ( .从而当且仅当 )] a 2 [ ? ln(? )] ? 0 , 即 a ? ?2 e 4 时 f ( x ) ? 0 . 2 4 2

综上, a 的取值范围为 [?2 e 4 ,1] . 15(2017 山东文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

3

1 3 1 2 x ? ax , a ? R . 3 2

(Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 3, f ?3? 处的切线方程; (Ⅱ) 设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? a ? cos x ? sin x ,讨论 g ? x ? 的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值. 【答案】 (Ⅰ) 3x ? y ? 9 ? 0 ,(Ⅱ)见解析.

?

?

16(2017 浙江)若函数 f(x)=x2+ ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则 M – m A.与 a 有关,且与 b 有关 C.与 a 无关,且与 b 无关 【答案】B B.与 a 有关,但与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关

a a2 【解析】 因为最值在 f (0) ? b, f (1) ? 1 ? a ? b, f (? ) ? b ? 中取, 所以最值之差一定与 b 2 4
无关,选 B. 17(2017 浙江)函数 y=f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是

(第 7 题图)

【答案】D 【解析】原函数先减再增,再减再增,且 x ? 0 位于增区间内,因此选 D. 18(2017 新课标Ⅲ文数)函数 y=1+x+

sin x 的部分图像大致为( x2



A

B

D.

C 【答案】D

D

19 (2017 新课标Ⅲ文数) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a(e
2

x ?1

则 a( = ? e? x?1 ) 有唯一零点,



A. ?

1 2

B.

1 3

C.

1 2

D.1

【答案】C

? x ? 1,x ? 0, 1 20 (2017 新课标Ⅲ文数) 设函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? f ( x ? ) ? 1 的 x 的取值范 2 ?2 ,x ? 0,

围是__________. 【答案】 (? , ??)

1 4

21(2017 新课标Ⅲ理数)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a(e
2

x ?1

? e? x?1 ) 有唯一零点,则 a=
D.1

A. ?

1 2

B.

1 3

C.

1 2

【答案】C

? x ? 1,x ? 0, 1 22 (2017 新课标Ⅲ理数) 设函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? f ( x ? ) ? 1 的 x 的取值范 2 ?2 ,x ? 0,

围是_________。 【答案】 ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 4 ?

23(2017 新课标Ⅱ文)函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 2 x ? 8) 的单调递增区间是 A. (??, ?2) B. (??,1) 【答案】D C. (1, ??) D. (4, ??)

24 ( 2017 新课 标 Ⅱ 文 )已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? ( ??, 0) 时 ,

f ( x) ? 2 x3 ? x2 ,则 f (2) ? .
【答案】12 【解析】 f (2) ? ? f (?2) ? ?[2 ? (?8) ? 4] ? 12 . 25(2017 新课标Ⅱ理)若 x ? ?2 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ?1)e
2 x ?1

的极值点,则 f ( x ) 的极小

值为 A. ? 1 【答案】A B. ?2e ?3 C. 5e?3 D.1

26(2017 新课标Ⅰ文数)函数 y ?

sin2 x 的部分图像大致为 1 ? cosx

【答案】C 【解析】由题意知,函数 y ? 当 x ? 1 时, y ?

sin 2 x 为奇函数,故排除 B;当 x ? ? 时, y ? 0 ,排除 D; 1 ? cos x

sin 2 ? 0 ,排除 A.故选 C. 1 ? cos 2

27(2017 新课标Ⅰ文数)已知函数 f (x) ? lnx ? ln(2 ? x) ,则 A. f (x) 在(0,2)单调递增 C.y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称 【答案】C B. f (x) 在(0,2)单调递减 D.y= f (x) 的图像关于点(1,0)对称

2 28 ( 2017 新 课 标 Ⅰ 文 数 ) 曲 线 y ? x ?

1 在点(1,2)处的切线方程为 x

_________________________. 【答案】 y ? x ? 1

29(2017 新课标Ⅰ理数)函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) ? ?1 ,则 满足 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1 的 x 的取值范围是 A. [?2, 2] 【答案】D 【 解 析 】 由 已 知 , 使 ?1 ? f ( x) ? 1 成 立 的 x 满 足 ?1 ? x ? 1 , 所 以 由 ?1 ? x ? 2 ? 1 得 B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]

1 ? x ? 3 ,即使 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1 成立的 x 满足 1 ? x ? 3 ,选 D.
( 6 )( 2017 天 津 文 ) 已 知 奇 函 数 f ( x) 在 R 上 是 增 函 数 . 若

1 a ? ? f (log 2 ), b ? f (log 2 4.1), c ? f (20.8 ) ,则 a, b, c 的大小关系为 5
(A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b 【答案】 C 【解析】由题意: a ? f ? ? log 2

? ?

1? ? ? f ? log 2 5? , 5?

且: log2 5 ? log2 4.1 ? 2,1 ? 20.8 ? 2 , 据此: log2 5 ? log2 4.1 ? 2
0.8



0.8 结合函数的单调性有: f ? log 2 5 ? ? f ? log 2 4.1? ? f 2 ,

? ?

即 a ? b ? c, c ? b ? a . 本题选择 C 选项.

, ? 1, ?| x |? 2 x ? 30 ( 2017 天 津 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? 设 a?R , 若 关 于 x 的 不 等 式 2 x ? , x ? 1. ? x ?
f ( x) ?| x ? a | 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是 2

(A) [?2, 2] (B) [?2 3, 2] (C) [?2, 2 3] (D) [?2 3, 2 3] zx xk 【答案】 A 【解析】满足题意时 f ? x ? 的图象恒不在函数 y ?

x ? a 下方, 2

当 a ? 2 3 时,函数图象如图所示,排除 C,D 选项;

当 a ? ?2 3 时,函数图象如图所示,排除 B 选项,

本题选择 A 选项. 31 (2017 天津文) 已知 a ? R , 设函数 f ( x) ? ax ? ln x 的图象在点 (1, f (1) ) 处的切线为 l, 则 l 在 y 轴上的截距为 . 【答案】 1 【解析】 f (1) ? a ,切点为 (1, a ) , f ?( x) ? a ?

1 ,则切线的斜率为 f ?(1) ? a ? 1 ,切线方 x

程为: y ? a ? (a ? 1)( x ? 1) ,令 x ? 0 得出 y ? 1 , l 在 y 轴的截距为 1 . 32(2017 天津理)已知奇函数 f ( x) 在 R 上是增函数, g ( x) ? xf ( x) .若 a ? g (? log 2 5.1) ,

b ? g (20.8 ) , c ? g (3) ,则 a,b,c 的大小关系为
(A) a ? b ? c 【答案】 C (B) c ? b ? a (C) b ? a ? c (D) b ? c ? a

? x 2 ? x ? 3, x ? 1, ? x 33 (2017 天津理) 已知函数 f ( x ) ? ? 设a?R , 若关于 x 的不等式 f ( x) ?| ? a | 2 2 ? x ? , x ? 1. x ?

在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是 (A) [?
47 ,2] 16

(B) [?

47 39 , ] 16 16

(C) [?2 3, 2]

(D) [?2 3,

39 ] 16

【答案】 A

所以 ?2 3 ? a ? 2 , 综上 ?

47 ? a ? 2 .故选 A. 16

34(2017 山东文)设 f ? x ? ? ? (A)2 【答案】C 【解析】 (B)4

? ? x,0 ? x ? 1 ,若 f ? a ? ? f ? a ?1? ,则 2 x ? 1 , x ? 1 ? ? ? ?
(C)6 (D)8

?1? f ? ?? ?a?

由 x ? 1 时 f ? x ? ? 2 ? x ?1? 是增函数可知,若 a ? 1 ,则 f ? a ? ? f ? a ?1? ,所以 0 ? a ? 1 ,由

f (a) ? f (a+1) 得 a ? 2(a ?1 ?1) ,解得 a ?
x

1 ,则 4

?1? f ? ? ? f (4) ? 2(4 ? 1) ? 6 ,故选 C. ?a?

(10) (2017 山东文)若函数 e f ? x ? (e=2.71828 ? 是自然对数的底数)在 f ? x ? 的定义域上 单调递增,则称函数 f ? x ? 具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是

(A) f ? x ? ? 2 (B) f ? x ? ? x (C) f ? x ? ? 3 (D) f ? x ? ? cos x
?x 2 ?x

【答案】A
x ?x ?x x ?x 【解析】对于 A,令 g ( x) ? e x ? 2? x , g ?( x) ? e (2 ? 2 ln ) ? e 2 (1 ? ln ) ? 0 ,则 g ( x)

1 2

1 2

在 R 上单调递增,故 f ( x ) 具有 M 性质,故选 A. 35(2017 山东文)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x ? [?3,0] 时,

f ( x) ? 6? x ,则 f(919)=
【答案】 6 【解析】

.

由 f(x+4)=f(x-2)可知, f ? x ? 是周期函数,且 T ? 6 ,所以 f (919) ? f (6 ?153 ? 1) ? f (1)

? f (?1) ? 6 .
36(2017 山东理)已知当 x ? 0,1 时,函数 y ? ? mx ? 1? 的图象与 y ?
2

? ?

x ? m 的图象有且

只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是 (A) ? 0,1? ? ? 2 3, ?? (B) ? 0,1? ? ?3, ???

?

?

(C) 0, 2 ? ? ? 2 3, ?? (D) 0, 2 ? ? ?3, ?? ?

?

?

?

?

?

?

【答案】B

37(2017 山东理)若函数 e x f ? x ? ( e ? 2.71828? 是自然对数的底数)在 f ? x ? 的定义域上单 调递增,则称函数 f ? x ? 具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为. ① f ? x ? ? 2? x 【答案】①④ 【解析】① e x f ? x ? ? e x ? 2? x ? ? ? 在 R 上单调递增,故 f ? x ? ? 2 具有 ? 性质;
?x

② f ? x ? ? 3? x

③ f ? x ? ? x3

④ f ? x ? ? x2 ? 2

?e? ?2?

x

② e x f ? x ? ? e x ? 3? x ? ? ? 在 R 上单调递减,故 f ? x ? ? 3 不具有 ? 性质;
?x

?e? ? 3?

x

③ e f ? x ? ? e ? x ,令 g ? x? ? e ? x ,则 g? ? x ? ? e ? x ? e ? 3x ? x e
x x 3 x 3 x 3 x 2

2 x

? x ? 2? , ? 当

x ? ?2 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?2 时, g? ? x ? ? 0 ,? ex f ? x ? ? ex ? x3 在 ? ??, ?2? 上单调
递减,在 ? ?2, ?? ? 上单调递增,故 f ? x ? ? x 不具有 ? 性质;
3



ex f ? x ? ? ex ? x2 ? 2?





g?

??

x

x?

2

? 2? e



x 则

g? ?

??

x

x?

2

? 2? ?e ?
2

x ? x 2 ?? ? ?

?

2

? e x ?e x2 ? 2 ? x? ? e , 1 0 x 上单调递 ? e x f x? x ? 1 ? 在R ?

增,故 f ? x ? ? x ? 2 具有 ? 性质.
3 x 38(2017 江苏)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? e ?

1 ,其中 e 是自然对数的底数.若 ex

f (a ? 1) ? f (2a2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
【答案】 [ ?1, ]





1 2

3 【解析】因为 f (? x) ? ? x ? 2 x ?

1 ? e x ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 是奇函数, x e

因为 f ' ( x) ? 3x2 ? 2 ? e x ? e? x ? 3x 2 ? 2 ? 2 e x ? e? x ? 0 , 所以数 f ( x) 在 R 上单调递 增, 又 f (a ? 1) ? f (2a2 ) ? 0 , 即 f (2a 2 ) ? f (1 ? a) , 所以 2a 2 ? 1 ? a , 即 2a 2 ? a ? 1 ? 0 , 解得 ?1 ? a ?

1 1 ,故实数 a 的取值范围为 [ ?1, ] . 2 2

? x2 , x ? D, ? 39 (2017 江苏) . 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数, 在区间 [0,1) 上,f ( x) ? ? ? ? x, x ? D,
其中集合 D ? { x x ? 【答案】8 【解析】由于 f ( x) ? [0,1) ,则需考虑1 ? x ? 10 的情况, 在此范围内, x ? Q 且 x ? D 时,设 x ?
n ?1 , n ? N*} ,则方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数是 n





q , p, q ? N* , p ? 2 ,且 p, q 互质, p

若 lg x ? Q ,则由 lg x ? (0,1) ,可设 lg x ?
n m

n , m, n ? N* , m ? 2 ,且 m, n 互质, m

因此 10 ?

q m q n , 则 10 ? ( ) , 此时左边为整数, 右边为非整数, 矛盾, 因此 lg x ? Q , p p

因此 lg x 不可能与每个周期内 x ? D 对应的部分相等, 只需考虑 lg x 与每个周期 x ? D 的部分的交点, 画出函数图象,图中交点除外 (1, 0) 其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x ? D 的部分, 且 x ? 1 处 (lg x)? ?

1 1 ? ? 1 ,则在 x ? 1 附近仅有一个交点, x ln10 ln10

因此方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数为 8.

x x 40(2017 北京理)已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x )

1 3

(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数 【答案】A

(B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数



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