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双曲线的简单几何性质


河北饶阳中学高二数学艺术文

编制:张丽霞

§2.2.1 双曲线简单的几何性质导学案 ( 第 1 课时) [教学目标]: 掌握双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。 [重点]:双曲线几何性质 [难点]:双曲线几何性质的应用,双曲线第二定义。 教学过程 一、课前准备: 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a = 3,b = 4 ,焦点在x轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a = 2 . 复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质? 二、新课导学: 学习探究 (一)试一试 类比探究椭圆的简单几何性质的方法,根据双曲线的标准方程 究它的几何性质。

思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?
问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线的标准方程及简单的几何性质? 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

图 象

范围

x2 y2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) ,研 a2 b2

对称轴 对称中心

y2 ①范围 : 由双曲线的标准方程可得: 2 ? b
而得 x 的范围: ; 即双曲线在不等式 所表示的区域内。

从 和

实虚轴 顶点 渐近线

x = a2

2

从而得 y 的范

围为 。 ②对称性:以 ?x 代 x ,方程不变,这说明 所以双曲线关于 理, 以 ?y 代 y , 方程不变得双曲线关于 代 x ,且以 ? y 代 y ,方程也不变,得双曲线关于 ③顶点:即双曲线与对称轴的交点。在方程 顶点坐标为 A1 ( 图) 。线段 ) A2 ( 对称。同 对称, 以 ?x 对称。 得到双曲线的 )也画在 y 轴上(如 。 。

离心率 a,b,c 关系

x2 y2 ? ? 1 里,令 y=0,得 x= a2 b2
) B2 (

) ;我们把 B1 (

分别叫做双曲线的实轴和虚轴,它们的长分别为 ,范围为

问题 2:实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线. 等轴双曲线a=b,渐近线方程为________,离心率=_________.

④离心率:双曲线的离心率 e= 5 渐近线: ○ 双曲线 线
x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 a 2 b2 ,

, 双曲线各支向外延伸时,与它的渐近 。
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河北饶阳中学高二数学艺术文

编制:张丽霞

3 A.y=± x 2
椭圆 双曲线

2 B.y=± x 3

9 C.y=± x 4

4 D.y=± x 9 )

2.中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( A、
方程

x2 y2 ? ?1 25 9 x2 y2 ? ?1 100 36

B、

x2 y2 y2 x2 ? ?1或 ? ?1 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 100 36 100 36


C、
、 、 关系 的

D、

3.下列曲线的离心率为

6 的是( 2

图形

x2 y2 ? ?1 A、 2 4
C 、

x2 y2 ? ?1 B、 4 2
D、

x2 y2 ? ?1 4 6
2 2

x2 y2 ? ?1 4 10
,虚轴长为 ,渐近线方程

范围

4. 双曲线 5 y ? 4 x ? ?20 的实轴长为 为 ,离心率为 。

对称性

[合作探究 展示点评] 探究一:双曲线简单几何性质 例 1:求双曲线 16 x ? 9 y ? 144 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
2 2

顶点

离心率

渐近线

探究二:由性质求方程 例 2:求双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;

[预习自测] 1.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 4 9

x2 y2

)

例3: 点 M(x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线l : x ?

16 5 的距离的比是常数 ,求点M 的 5 4
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轨迹。

(2)若双曲线的焦距是 2 13 ,求双曲线的标准方程。

[当堂检测] 1、双曲线 -y =1 的离心率是( 4 A. 3 2 4 12 B. 5 2

x2

2

) 5 C. 4 3 D. 2 ) D.1 )

6.求到定点F(c,0)(c>0)和它到定直线 l : x ?

a2 c c 距离之比是 ( >1)的点M的轨迹方程。 a a c

x2 y2 2、双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为(
A.2 3
2 2

B.2

C. 3

3、双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4
2 2

x y 1 4、若 双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________ 4 b 2 [拓展提升] 2 2 1.双曲线与椭圆 4x +y =64 有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为( 2 2 2 2 A.y -3x =36 B.x -3y =36 2 2 2 2 C.3y -x =36 D.3x -y =36 2.经过点 A( 3,-1 ) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是_______

)

3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方 程为( ) A. - =1 4 4 C. - =1 4 9

y2 x2 y2 x2

B. - =1 4 4 D. - =1 8 4

x2 y 2 x2 y 2

4.求以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程,并求此双曲 线的实轴 16 9 长、虚轴 长、离心率及渐近线方程。

x2

y2

5.已知双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 。 (1)若双曲线过点 P( 6 ,2 ) ,求双曲线的标准方程;
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