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海南省海南中学2016届高三考前高考模拟(七)数学(文)试卷 Word版含答案


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 2 ? 0 ,则 CR ( A ? B) ? (

?

?

?

?



A. x x ? 2或x ? 3 C. x x ? 2或x ? 3

? ?

?

B. x x ? ?2或x ? 3 D. x x ? ?2或x ? 3

? ?

?
z1 ?( ) z2

?

?

2.设复数 z1 , z 2 在复平面内的点关于实轴对称, z1 ? 1 ? i ,则 A. ? i B. i C. ? 1

D. 1

3.已知在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的终边在直线 y ? 2 x 位于第一象限的部分,则

sin(? ?
A.

?
6

) ?( )
B.

3 2? 3 6

3 ?3 2 6

C.

3 2? 3 6


D. ?

3 ?3 2 6

4.命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是( A.有些相互垂直的两直线相交 B.有些不相互垂直的两直线不相交 C.任意相互垂直的两直线相交 D.任意相互垂直的两直线不相交

5.某几何体的三视图如图所示,其则该几何体的体积是( )

A. 2 ?

3 ? 3

B. 4 ? 3?

C.

4 3 ? ? 3 3

D. 4 ?

3 ? 3

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 1,则正整数 n 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,0) ,直线 l : x ? y ? 5 ? 0 ,点 B ( x, y ) 是圆

C : x 2 ? 2x ? y 2 ?1 ? 0 上的动点, AD ? l , BE ? l , 垂足分别为 D, E ,则线段 DE 的最大
值是( ) A. 2 B.

3 2 2

C. 2 2

D.

5 2 2

9.已知函数 f ( x) 在定义域 [?3,3] 上是偶函数,在 [0,3] 上单调递增,并且

f (?m2 ?1) ? f (?m2 ? 2m ? 2) ,则 m 的取值范围是( )
A. (1 ? 2 , 2 ] B. [1 ? 2 , 2 ] C. [ , 2 ]

1 2

D. ( , 2 ] 10.已知函数 y ? f (1 ? x) 的图象如下,则 y ? f ( x ? 2) 的图象是( )

1 2

11.在平面直角坐标系 xOy 中有不共线三点 P(a1 , b1 ) , A(a2 , b2 ) , B(a3 , b3 ) .实数 ? , ? 满 足 ? ? ? ? ?? ? 0 ,则以 P 为起点的向量 ? PA, ? PB 的终点连线一定过点( ) A. (a2 ? a3 ? a1 , b2 ? b3 ? b1 ) C. (a2 ? a3 ? 2a1 , b2 ? b3 ? 2b1 ) B. (b2 ? b3 ? b1 , a2 ? a3 ? a1 ) D. (b2 ? b3 ? 2b1 , a2 ? a3 ? 2a1 )

12.已知公差不为零的等差数列 ?an ?(n ? 3) 的最大项为正数.若将数列 ?an ? 中的项重新排列 得到公比为 q 的等比数列 ?bn ?.则下列说法正确的是( ) A. q ? 0 时,数列 ?bn ?中的项都是正数 B.数列 ?an ?中一定存在的为负数的项 C.数列 ?an ?中至少有三项是正数 D.以上说法都不对

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知 x ? 1 ,则 logx 9 ? log27 x 的最小值是_______. 14.在某次测量中得到某样本数据如下:90,90,x,94,93.若该样本数据的平均值为 92 ,则 该样本数据的方差为______. 15.使得 2x?14 ?
2

x ? log2 x 成立的 x 的范围是_______.

2 16.已知方程 2 x ? 3x ? 1 ? 0 的一非零实根是 x1 , ax ? 3x ?1 ? 0(a ? 0) 的一非零实根是

x2 .函数 f ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? x ? 3 在 ( x1 , x2 ) 有且仅有一个极值点,则 a 的取值范围是 3 2

______.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3, x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (2)已知 a , b, c 分别是 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 且 f (

A 2? ? ) ? 3 ,求 2 3

?ABC 面积的最大值.
18.(本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是菱形.侧棱长为 5 ,平面 ABCD ? 平面 A1 ACC1 ,

AB ? 3 3 , ?BAD ? 60? ,点 E 是 ?ABD 的重心,且 A1E ? 4 .
(1)求证:平面 A1 DC1 ∥平面 AB1C ; (2)求棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 有两位环保专家从 A, B, C 三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告, 两位专家选取的城市可以相同,也可以不同. (1)求两位环保专家选取的城市各不相同的概率; (2)求两位环保专家中至少有一名专家选择 A 城市的概率. 20.(本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 7 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,椭圆的长轴长为 8 ,离心率为 . 2 a b 4

(1)求椭圆方程; (2)椭圆内接四边形 ABCD 的对角线交于原点,且 ( AB ? AD) ? (DC ? BC) ? 0 ,求四边 形 ABCD 周长的最大值与最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 a( x ? 2) 4 ? ( x ? 2) 2 ? a( x ? 2)( a ? 0) , 函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象关 4

于直线 x ? 1 对称. (1)求函数 g ( x) ; (2) a ? 2 时,求证:函数 g ( x) 在区间 (

a ,1) 不单调. a ?1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆内接四边形 ABCD 中, AB ? BC , AD 的延长线与 BC 的延长线交于点 P .

BC DC ? ; BP DP 1 ? (2)求证: ?BDC ? ?PDC ? 90 . 2
(1)求证:

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos? ? 2 sin ? ? 0 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极

? 1 2 x? ? t ? ? 2 2 (t 为参数) 轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是 ? . 2 ? y? t ? 2 ?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 m, n 满足 2m ? n ? 3 . (1)若 m ? n ? 3 ? 9 ,求实数 m 的取值范围;

(2)求

5 1 1 2 m ? n ? m ? n 的最小值. 3 3 3 3

新课标模拟卷数学试题(七) 参考答案

3.C

取点 P(1, 2 ) ,则 r ? OP ? 3 ,所以 sin ? ?

2 6 1 3 , cos? ? ,所 ? ? 3 3 3 3

以 sin(? ? 4.C 5.D

?

? ? 6 3 3 1 3 2? 3 . ) ? sin ? cos ? cos? sin ? ? ? ? ? 6 6 6 3 2 3 2 6

由三视图可知该几何体由长方体和圆锥构成,所以体积

V ? 2 ? 2 ?1 ?
6.A

3 3 ? ? 4? ?. 3 3
9 1 ? . 18 2

如图,区域 ?1 的面积是 9 ,区域 ? 2 的面积是 18 ,所以所求概率为 P=

7.C

(lg m)2 logm 4m ? (lg 2)2 ? lg m lg 4m ? (lg 2)2 ? (lg m)2 ? 2 lg 2 lg m ? (lg 2)2 ? (lg m ? lg 2)2 ? (lg 2m)2 ? 1
所以 lg 2m ? ?1 或 lg 2m ? 1,所以 m ?

1 或 m ? 5 ,因为 m 是整数,所以 m ? 5 ,所以 20

n ? 5.
8.D 圆 C : x ? 2 x ? y ?1 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? y ? 2 .如图,过点 B 作直线 AD 的垂线,
2 2 2 2

交 AD 于点 F , 则 DE ? BF , 所以此问题转化为求圆上的点 B 到直线 AD 的距离的最大值, 即圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离加半径.易知直线 AD 的方程是 x ? y ? 2 ? 0 ,点

C (?1,0) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离是

?1 ? 2 2

?

3 2 ,所以 DE 的最大值是 2

3 2 5 2 + 2= . 2 2

9.D

因为函数 f ( x) 在 [?3,0] 上单调递减,由 f (?m2 ?1) ? f (?m2 ? 2m ? 2) ,即

f (?m2 ?1) ? f (?m2 ? 2m ? 2) ,所以函数 f ( x) 在 [?3,0] 上单调递减,而 ? m2 ?1 ? 0,?m2 ? 2m ? 2 ? ?(m ?1)2 ?1 ? 0 ,所以由 f (?m2 ?1) ? f (?m2 ? 2m ? 2) 得,
? ? 3 ? ?m 2 ? 1 ? 0 1 ? 2 ? ? 3 ? ?m ? 2m ? 2 ? 0 ,解得 ? m ? 2 . 2 ?? m 2 ? 1 ? ? m 2 ? 2 m ? 2 ?
10.A 把函数 y ? f (1 ? x) ? f [?( x ? 1)] 的图象沿着 x 轴向左平移 1 个单位得 y ? f (? x)

的图象, 再关于 y 轴对称得 y ? f ( x) 的图象, 再沿着 x 轴向左平移 2 个单位得 y ? f ( x ? 2) 的图象,再把 y ? f ( x ? 2) 的图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴对称上去. 由 ? ? ? ? ?? ? 0 ,所以

11.C

1

?

?

1

?

? 1 .设点 Q 在向量 ? PA, ? PB 的中点连线上,则

PQ ?

1

?

(? PA) ?

1

?

( ? PB) ? PA ? PB ? (a2 ? a1, b2 ? b1 ) ? (a3 ? a1, b3 ? b1 ) ?

(a2 ? a3 ? 2a1 , b2 ? b3 ? 2b1 ) ,所以一点过点 (a2 ? a3 ? 2a1 , b2 ? b3 ? 2b1 ) .
12.B 不放设等差数列 ?an ? 中的每一项如下: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ,其中 an ? 0 .如果

数列 ?an ? 中至少有三项式正数,比如 0 ? an?2 ? an?1 ? an ,这时, an?2 , an?1 , an 即是等差数 列又是等比数列,即 an?2 ? an?1 ? an ,矛盾.说明数列 ?an ? 中至多有两项是正数. 13.

2 6 3

logx 9 ? log27 x ?

2 lg 3 lg x 2 lg 3 lg x 2 6 (当且仅当 ? ?2 ? ? lg x 3 lg 3 lg x 3 lg 3 3

2 lg 3 lg x 6 ,即 x ? 3 取等号) ? lg x 3 lg 3
14.

14 1 由 ? (90 ? 90 ? x ? 94 ? 93) ? 92 ,所以 x ? 93 .所以该样本数据的方差为 5 5 1 14 S 2 ? [( 90 ? 92) 2 ? (90 ? 92) 2 ? (93 ? 92) 2 ? (94 ? 92) 2 ? (93 ? 92) 2 ] ? . 5 5
如图,可知 4 ? x ? 16 .

15. 4 ? x ? 16

16. [ ?

9 ,0) ? (0,1) 4

f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 1在 ( x1 , x2 ) 有且仅有一解,

2 2 2 2 f ?( x1 ) f ?( x2 ) ? ( x12 ? 3x1?1)(x2 ? 3x 2 ?1) ? ( x12 ? 3x1?2x12 ? 3x1)(x2 ? 3x 2 ?ax2 ? 3x 2 ) ? ?(1 ? a) x12 x2 ?0

,所以 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 ,又 ? ? 9 ? 4a ? 0 ,所以 a ? ?

9 9 ,所以 ? ? a ? 1 . 4 4

17.解: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3(1 ? cos2x) ? 3

1 3 ? ? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 2( sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin(2 x ? ) , 2 2 3
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? 由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

2? ?? . 2

? 2k? , k ? R ,所以 ?

5? ? ? k? , ? k? ]( k ? R) . 12 12 A 2? A 2? ? 5? 2? ) ? 2 sin[ 2( ? ) ? ] ? 2 sin( A ? ) ? ?2 sin( A ? )? 3, (2) f ( ? 2 3 2 3 3 3 3
所以 f ( x) 的单调增区间是 [? 所以 sin( A ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? R . 12 12

2? 2? 5? 2? 3 ? ?A ? ? )?? ,因为 0 ? ?A ? ? ,所以 , 3 3 3 3 2

所以 ?A ? 所以 bc ?

2? 4? 2? 2? 2 2 ? ? b 2 ? c 2 ? bc ? 3bc , ,所以 ?A ? ,又 4 ? b ? c ? 2bc cos 3 3 3 3

4 1 3 3 ,当且仅当 b ? c 时等号成立,所以 S ?ABC ? bc sin A ? . bc ? 3 2 4 3

18.证明: (1) 因为 AA1 平行等于 CC1 , 所以四边形 A1 ACC1 是平行四边形, 所以 A1C1 ∥ AC . 又因为 AD 平行等于 B1C1 ,所以四边形 ADC1B1 是平行四边形,所以 AB1 ∥ DC1 . 因为 AC, AB1 ? 平面 A1 DC1 , A1C1 , DC1 ? 平面 A1 DC1 , 所以 AC ∥ 平面 A1 DC1 , AB1 ∥平面 A1 DC1 ,又因为 AC ? AB1 ? A , AC, AB1 ? 平面

AB1C ,
所以平面 A1 DC1 ∥平面 AB1C . (2)解:设 AC ? BD ? O ,由题意可知 ?ABD 是等边三角形. 因为 AB ? 3 3 ,所以 OA ? AB cos ?BAC ? 3 3 cos 30 ?
?

9 , 2

所以 AE ?

2 2 2 2 OA ? 3 ,所以 AA 1 E ? AC , 1 ? A 1E ? AE ,所以 A 3

又因为平面 ABCD ⊥平面 A1 ACC1 ,平面 ABCD ? 平面 A1 ACC1 ? AC ,

A1E ? 平面 A1 ACC1 ,所以 A1E ? 平面 ABCD .
所以 A1E 是棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的高,由于菱形面积

1 27 3 S ? 2( AB ? AD sin 60? ) ? , 2 2
所以棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的体积 V ? S ? A1E ? 54 3 . 19.解: (1)记两位专家分别为 a , b ,则两位环保专家从 A, B, C 三个城市中每人随机抽取一 个城市的基本事件数共有 9 种:

aA, bA; aB, bB; aC, bC; aA, bB; aA, bC; aB, bA; aB, bC; aC, bA; aC, bB .
记事件 D 表示“两位环保专家选取的城市各不向同伴” ,则 P ( D ) ?

6 2 ? . 9 3

(2)记事件 E 表示“恰有 1 位环保专家选择 A 城市” ,事件 F 表示“恰有 2 位环保专家选 择 A 城市” ,则事件 E ? F 表示“两位环保专家中至少有一名专家选择 A 城市”.

P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) ?

4 1 5 ? ? . 9 9 9

20.解: (1)由题意可知 2a ? 8,

c 7 ,所以 a ? 4, c ? 7 . ? a 4
x2 y2 ? ?1. 16 9

又因为 c ? a ? b ,所以 b ? 9 ,所以椭圆方程是
2 2 2 2

(2)由题意可设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 C (? x1 ,? y1 ), D(? x2 ,? y2 ) , 因为 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ), DC ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ), 所以 AB ? DC ,所以四边形 ABCD 是平行四边形. 因为 ( AB ? AD ) ? ( DC ? BC ) ? ( AB ? AD ) ? ( AB ? AD ) ? AB ? AD ? 0 ,所以
2 2

AB ? AD ,
所以四边形 ABCD 是菱形. 设直线 AC 的方程是 x ? m y ? 0 , 则直线 BD 的方程是 m x ? y ? 0 , 并且由椭圆的对称性不 妨设 m ? 0 ,

? x ? my? 0 144m 2 144 ? 2 2 2 2 , y2 ? 由 ? x2 y2 ,得 (9m ? 16) x ? 144m ,所以 x ? , 2 ? ?1 9m ? 16 9m 2 ? 16 ? ?16 9
所以 A(

12m 9m2 ? 16

,

12 9m2 ? 16

), C (?

12m 9m2 ? 16

,?

12 9m2 ? 16

),

? m x? y ? 0 144 144m 2 ? 2 2 2 2 , y ? 由 ? x2 y2 ,得 (9 ? 16m ) x ? 144,所以 x ? , ? ?1 9m 2 ? 16 9m 2 ? 16 ? ?16 9
所以 B(?

12 9m ? 16
2

,

12m 9m ? 16
2

), D(

12 9m ? 16
2

,?

12m 9m2 ? 16 12m

), 所以 1 1 ? ) 9m ? 16 9 ? 16m2
2

AB ? (
, 所以

2

12m 9m2 ? 16

?

12 9m2 ? 16

)2 ? (

12 9m2 ? 16

?

9m2 ? 16

) 2 ? 144(m2 ? 1)(

AB ? 144(m2 ? 1)(

1 1 (m 2 ? 1) 2 (m 2 ? 1) 2 ? ) ? 60 ? 60 9m 2 ? 16 9 ? 16m 2 (9m 2 ? 16)(9 ? 16m 2 ) 144(m 2 ? 1) 2 ? 49(m2 ? 1) ? 49
t2 1 , ? 60 2 49 49 144t ? 49t ? 49 ? 2 ? ? 144 t t

令 t ? m ? 1 ,则 AB ? 60
2

1 49 49 1 1 625 ? ? 144 ? ?49( ? ) 2 ? ,因为 0 ? ? 1 , 2 t t t t 2 4 1 1 625 24 , AB min ? 所以 ? ,即 m2 ? 1 ? t ? 2, m ? 1 时, u min (t ) ? . t 2 4 5 1 ? 1 ,即 m2 ? 1 ? t ? 1, m ? 0 时, umin (t ) ? 144 , AB min ? 5 . t 96 所以四边形 ABCD 周长的最大值是 20 ,最小值是 . 5
令 u (t ) ? ? 21.解: (1)设点 M ( x0 , y0 ) 是函数 f ( x) 图象上任意一点,点 P ( x, y ) 是函数 g ( x) 图象上与

M 关于直线 x ? 1 对称的点.因为 x0 ? x ? 2, y0 ? y ,

1 a( x0 ? 2) 4 ? ( x0 ? 2) 2 ? a( x0 ? 2) . 4 1 4 1 4 2 2 所以 y ? ax ? x ? ax ,即 g ( x) ? ax ? x ? ax (a ? 0) . 4 4 y0 ?
(2) g ?( x) ? ax ? 2 x ? a ,
3

a a 3 2a 1 3 2 ) ? a( ) ? ? a ? a[(1 ? ) ? ? 1] , a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 1 1 a ) ? a[(1 ? t ) 3 ? 2t ? 1] , 令t ? ,由 a ? 2 ,所以 0 ? t ? ,则 g ?( a ?1 3 a ?1 1 3 3 2 2 令 h(t ) ? (1 ? t ) ? 2t ? 1 ? ?t ? 3t ? t ,0 ? t ? , h?(t ) ? ?3t ? 6t ?1 , 3 g ?(
由 h?(t ) ? 0 ,所以 1 ?

6 1 6 ? t ? ,由 h?(t ) ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ? , 3 3 3

所以 h(t ) 在 (1 ?

6 1 6 , ) 单调递增,在 (0,1 ? ) 单调递减. 3 3 3
1 3

1 a ? 0 ,即 h(t ) ? 0 , g ?( ) ? ah (t ) ? 0 , 27 a ?1 a ,1) 不单调. 又 g ?(1) ? 2 ? 0 ,所以函数 g ( x) 在区间 ( a ?1
所以 h(t ) ? h(0) ? 0, h(t ) ? h( ) ? ? 22.证明: (1)因为 ?PDC ? ?PBA, ?APB ? ?CPD ,所以 ?ABP ~ ?CDP ,所以

AB BP ? . CD DP
又 AB ? BC ,所以

BC DC ? . BP DP

(2)连接 BD, AC ,因为 AB ? BC ,所以 ?BAC ? ?BCA ,又 ?BAC ? ?BDC ,

?BCA ? ?BDA ,
所以 ?BDC ? ?BDA ,所以 ?ADC ? 2?BDC .
? 因为 ?PDC ? ?ADC ? 180 ,所以 ?BDC ?

1 ?PDC ? 90 ? . 2

23.解: (1)因为 ? ? 2 cos? ? 2 sin ? ? 0 ,所以 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 0 , 所以曲线 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,即 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2 .
2 2 2 2

? 1 2 x? ? t ? ? 2 2 由? (t 为参数) ,消去参数 t,所以直线 l 的普通方程是 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2 ? y? t ? 2 ?
(2)圆心 (1,?1) 到直线 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

2 ? 2 ?1 4?4

?

3 2 , 4

圆的半径 r ?

2 ,所以 AB ? 2 r 2 ? d 2 ?

14 . 2

24.解:因为 2m ? n ? 3 ,所以 2m ? n ? 3 . (1) m ? n ? 3 ? m ? 2m ? 3 m ? 9 ,所以 m ? 3 ,所以 m ? ?3 或 m ? 3 .

(2)

5 1 1 2 5 1 1 2 m ? n ? m ? n ? m ? (2m ? 3) ? m ? (2m ? 3) ? m ? 1 ? m ? 2 ? 3 , 3 3 3 3 3 3 3 3

当且仅当 ? 1 ? m ? 2 (或 ? 5 ? n ? 1 )时等号成立, 所以

5 1 1 2 m ? n ? m ? n 的最小值是 3 . 3 3 3 3


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