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2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-4教学课件:第二讲 二 2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程


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1.双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参 a b
? ?x=asec φ, 数方程是? ? ?y=btan φ

规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)

π 3π 且 φ≠ ,φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 2- 2=1 的参 a b
? ?x=btan φ, 数方程是? ? ?y=asec φ.

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2.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px
2 ? ?x=2pt , 的参数方程为? ? ?y=2pt

t∈R.

(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数.

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[例 1]

? ?x=2 3tan (1)双曲线? ? ?y=6sec α

α,

(α 为参数)的焦点坐

标是________. ?x=tan t, ? (2)将方程? 1-cos 2t ?y=1+cos 2t ? [思路点拨] 用代入法消去 t.

化为普通方程是________.

(1)可先将方程化为普通方程求解;(2)利

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[解析]

? ?x=2 3tan (1)将? ? ?y=6sec α

α,

y2 x2 化为 - =1, 36 12

可知双曲线焦点在 y 轴,且 c= 36+12=4 3, 故焦点坐标是(0,± 4 3). 1-cos 2t 2sin2t 2 (2)由 y= = 2 =tan t, 1+cos 2t 2cos t 将 tan t=x 代入上式,得 y=x2,即为所求方程.
[答案] (1)(0,± 4 3);(2)y=x2.

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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程,特别是将参数方程化为普通方程,还要明确参 数的意义. (2)对双曲线的参数方程,如果x对应的参数形式是 sec φ,则焦点在x轴上;如果y对应的参数形式是sec φ, 则焦点在y轴上.

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? ?x=sec θ, 1.如果双曲线? ? ?y=6tan θ

(θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点

的距离是 8,那么 P 到它的左焦点距离是________.

解析:由双曲线参数方程可知a=1, 故P到它左焦点的距离|PF|=10或|PF|=6.

答案:10或6

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? ?y=2t, 2.过抛物线? 2 ? x = t ?

(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于

A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 两点,如果 x2 + x2 = 6. 则 |AB| = ________.

y2 解析:化为普通方程是:x= 即 y2=4x,∴p=2. 4 ∴|AB|=x1+x2+p=8.

答案:8

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[例2]

连结原点O和抛物线2y=x2上的动点M,延长

OM到P点,使|OM|=|MP|,求P点的轨迹方程,并说明它 是何曲线. [思路点拨] 由条件可知,M点是线段OP的中点,利

用中点坐标公式,求出点P的轨迹方程,再判断曲线类

型.

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[解 ]

设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在 OM

的延长线上,且 M 为线段 OP 的中点,抛物线的参数方程
? ?x=2t, 为? 2 ? ?y=2t ? ?x0=4t, 用中点公式得? 2 ? ?y0=4t .

1 2 变形为 y0= x0,即 P 点的轨迹方程为 x2=4y. 4 表示抛物线.

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在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题 时,常根据需要引入一个中间变量即参数(将x,y表

示成关于参数的函数),这种方法是参数法,而涉及
曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示 点的坐标.

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3.设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1和F2为两个焦 点,证明:|F1P|· |F2P|=|OP|2.
证明:如图,设双曲线上的动点为 P(x,y), 焦点 F1(- 2,0),F2( 2,0),双曲线的参
? ?x=sec θ, 数方程为? ? ?y=tan θ.

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则:(|F1P|· |F2P|)2 =[(sec θ+ 2)2+tan2θ]· [(sec θ- 2)2+tan2θ] =(sec2 θ+2 2sec θ+2+tan2θ)(sec2 θ-2 2sec θ+2+tan2θ) =( 2sec θ+1)2( 2sec θ-1)2 =(2sec2 θ-1)2. 又|OP|2=sec2 θ+tan2θ=2sec2 θ-1, 由此得|F1P|· |F2P|=|OP|2.

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4.如图所示,O是直角坐标原点,A,B是 抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动

点,且OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求
点M的轨迹方程.

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解: 根据条件, 设点 M, A, B 的坐标分别为(x, y), (2pt2 1, 2pt1),(2pt2 t2≠0),则 2,2pt2)(t1≠t2,且 t1· ???? ??? ? OM =(x,y), OA=(2pt2 1,2pt1), ??? ? 2 ,2pt2), OB =(2pt2 ??? ? 2 AB =(2p(t2 2-t1),2p(t2-t1)). ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? 因为 OA⊥ OB ,所以 OA · OB =0,即 (2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0, 所以 t1t2=-1. ? ? ???? ??? ???? ??? 因为 OM ⊥ AB ,所以 OM · AB =0,即
2 2px(t2 - t 2 1)+2py(t2-t1)=0,



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所以 x(t1+t2)+y=0, y 即 t1+t2=-x(x≠0). ② ???? ? 因为 AM =(x-2pt2 1,y-2pt1), ???? 2 -x,2pt2-y),且 A,M,B 三点共线, MB =(2pt2
2 所以(x-2pt2 )(2 pt - y ) = ( y - 2 pt )(2 pt 1 2 1 2-x),

化简,得 y(t1+t2)-2pt1t2-x=0. 将①,②代入③,得到 y y(-x)+2p-x=0, 即 x2+y2-2px=0(x≠0), 这就是点 M 的轨迹方程.



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