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福建省龙海市程溪中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


2015-2016 学年上学期期中考 高二理科数学试题
(考试时间:120分钟 总分:150分) 2015、11

?x y
参考公式:b=
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,a= y -b x , b 是回归直线的斜率,a 是截距

2 i

样本数据 x1 ,x2 , ...,xn 的方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] 其中 x n

为样本平均数 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1、下列给出的赋值语句正确的是( ) A.6=A C.B=A=2 2、已知命题 p : ?x ? R , cos x ? 1 ,则( B.M=-M D.x+5y=0 )

(A) ?p : ?x ? R, cos x ? 1 (B) ?p : ?x ? R, cos x ? 1 ?p : ?x0 ? R, cos x0 ? 1 (D) ?p : ?x ? R, cos x ? 1 (C) 3、设 x ? R ,则“ x ?

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的( 2



(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4、从装有错误!未找到引用源。个红球和错误!未找到引用源。个黑球的口袋内任取错误!未 找到引用源。个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) (A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球 (C) 至少有一个黑球与至少有错误!未找到引用源。个红球 源。个黒球与恰有错误!未找到引用源。个黑球 5、甲,乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个,命中个数的茎叶图如图,则 甲,乙两命中个数的中位数分别为( 甲 8 3 7 6 5 4 2 2 0 ) 茎 0 1 2 9 1 0 3 0 4 1 8 1 3
1

(D) 恰有错误!未找到引用



7 A. 23,19 C.22,20

3 B.24,18 D.23,20 )

5 3 6、若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. y ? x ? 1 B. x ? y ? 1 C. y ? x ? 1 D. y ? x ? 1 4 8 10 6 8 4 10 6

7、在长为 10 ㎝的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于 25cm 与 64 cm 之间的概率为 (A)
2 2

( (C)



3 10

(B)

2 5
(B) f ? x ? ? 1 x

4 5

(D)

1 5


8、某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是( (A) f ? x ? ? x (C) f ? x ? ? e
2

x

(D) f ? x ? ? sin x

(第 8 题图) 9、 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F2 ? 45 ,则 9 7
)A. 7 B.

Δ AF 1 F2 的面积为(

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

结果

10、按如下程序框图,若输出结果为 170 ,则判断框内应补充的条件为( 开始

i ?1

S ?0

S ? S ?2


i

i ?i?2

?



输出S

(A) i ? 5 ? (B) i ? 7 ? (C) i ? 9 ? 11、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

( D)

i ?9?
2

广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

? ? bx ? a ? 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 根据上表可得回归方程 y
( ) (A) 63.6 万元 (B) 65.5 万元 (C) 67.7 万元 ) (D) 72.0 万元

?

?

12、下列说法错误的是(

(A) “若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题是真命题。 (B) “若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题是真命题。
2

(C) (D)

如果命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题。

sin ? ?

1 ”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件。 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置. 13、某院校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业倾 向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在甲专业抽取的学 生人数为 人。 14、某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图(如下图). 根据频率分布直方图推 测这 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 。

(第 12 题图) 15、命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2



16、当直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相切时,k= 16 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 10 分) (1) 试用辗转相除法求 840 与 1 764 的最大公约数. (2)利用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x +4x -2x +8x +7x+4 当 x=3 的值, 写出每一步的
3
5 4 3 2

计算表达式.

18、 (本小题满分 12 分) 已知 p :( x ? 2)(x ? 10) ? 0 ,q :[ x ? (1 ? m)][x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 的 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。 19、 (本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 (min/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 min 的概率. (注:将频率视为概率) 20、 (本小题满分 12 分) 设 命 题 p : 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 实 根 ;
2

命题 q :方程

4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根。 若命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 m 的取
值范围。 21、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知 ?PAB 的两个顶点坐标分别是 A(2,0) 、 B(?2,0) , 另两 边 PA 、PB 的斜率之积为 ?

3 . 4

(1)求顶点 P 的轨迹 C 的方程; 0 (2)若轨迹 C 上点 P 与轨迹 C 的两焦点构成 ?PF 1 F2 ,且 ?F 1 PF2 = 60 , 求 ?F1 PF2 的面积
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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22、 (本小题满分 12 分) 设 O 为坐标原点,点 P 的坐标(x-2,x-y)。 (1) 在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡 片的标号分别记为 x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
4

(2) 若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为 x,y,求 P 点在第一象限的概率。

2015-2016 学年上学期期中考 高二理科数学答题卷 (考试时间:120分钟 班级.....................................姓名.........................................考试号.......................... 总分:150分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、 14、 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 10 分)

5

18、 (本小题满分 12 分)

19、 (本小题满分 12 分)

6

20、 (本小题满分 12 分)

21、 (本小题满分 12 分)

7

22、 (本小题满分 12 分)

8

2015-2016 学年上学期期中考 高二理科数学参考答案及评分标准 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 A 8 D 9 C 10 C 11 B 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、6 14、600 15、 ? ?3,0? 16、k= ?

5 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17、 (本小题满分 10 分) 解: (1) 用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数. 1 764=840×2+84,840=84×10. 故 84 是 840 与 1764 的最大公约数......................4 分 (2)把多项式改成如下形式:

f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x-2)x+8)x+7)x+4...6 分
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=3 时的值:

v0=2, v1=v0x+4=2×3+4=10, v2=v1x-2=10×3-2=28, v3=v2x+8=28×3+8=92, v4=v3x+7=92×3+7=283, v5=v4x+4=283×3+4=853.....................................9 分
所以,当 x=3 时,多项式 f(x)的值是 853.........................10 分 18、 (本小题满分 12 分) 解: 由 p: ( x ? 2)(x ? 10) ? 0 可得 ? 2 ? x ? 10 ??????????????(3 分) 由 q: [ x ? (1 ? m)][x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0) 可得 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) ??(6 分) 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件。??????(8 分)

9

?1 ? m ? ?2 ? 因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 ?1 ? m ? 10 ,???????????(10 分)
所以

m ? 9 ???????????????????????????(12 分)

19、 (本小题满分 12 分) (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20...............2 分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时 间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平 均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9 (min)...................5 分 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 min”,A1,A2,A3 分别表示事件“该 顾客一次购物的结算时间为 1 min”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 min”,“该顾客一 次购物的结算时间为 2 min”...............................................6 分 15 3 30 3 25 1 将频率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A3)= = ..........9 分 100 20 100 10 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件, 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3) 3 3 1 7 =P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 min 的概率为 .....................12 分 10 20、 (本小题满分 12 分) 解:若命题 p 为真,则方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根 x1 , x2 ,从而
2

??1 ? m 2 ? 4 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,解得 m ? 2 ????????????(4 分) ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
若命题 q 为真,则方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,从而
2

?2 ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,解得 1 ? m ? 3 ???????(6 分)

? 命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题
10

? p, q 中有且仅有一个是真命题

???????(8 分)

?m ? 2 ?m ? 2 ?? 或 ? ?1 ? m ? 3 ?m ? 1或m ? 3
解得 1 ? m ? 2 或 m ? 3 ???????(11 分)

? 实数 m 的取值范围是 (1, 2] ? [3, ??) ???????(12 分)

21、 (本小题满分 12 分) (1)设顶点 P 的坐标为 ( x, y ) ,依题意有: k PA ? k PB ? 化简得

y y 3 ? ? ? ( x ? ?2) , x?2 x?2 4

x2 y2 ? ? 1 , ( x ? ?2) 4 3 x2 y2 ? ? 1 , ( x ? ?2) ∴顶点 P 的轨迹方程为: ????6 分 4 3 x2 y2 ? ? 1 , ( x ? ?2) 知, (2)由顶点 P 的轨迹方程: 4 3 椭圆中: a ? 2, b ? 3, c ? 1 , | F1 F2 |? 2c ? 2
2 2 2 0 又在 ?PF 1 F2 中, | F 1 F2 | ?| PF 1 | ? | PF 2 | ?2 | PF 1 | ? | PF 2 | cos60 ,

????8 分 4 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | PF1 | ? | PF2 | ??① 又由椭圆的定义得: | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 4 ,两边平方得: 2 2 ????10 分 16 ?| PF1 | ? | PF2 | ?2 | PF1 | ? | PF2 | ??② 联立①②解得: | PF 1 | ? | PF2 | ? 4 1 0 ∴ S ?F1PF2 ? | PF 3 .....................................12 分 1 | ? | PF2 | ? sin 60 ? 2 即 22、 (本小题满分 12 分) 解: (1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表: (x,y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) P(x- (-1,-1 (-1,(-1,0) (0,1) (0,0) (0,-1) (1,2) (1,1) (1,0) 2,x-y ) 2) |OP| 1 1 0 1 1 2 5 5 2 ??????????(3 分) 其中基本事件是总数为 9,随机事件 A“|OP|取最大值”包含 2 个基本事件,故所求的概率 2 为 P(A)= . ?????????????????????????????(6 分) 9 (2)设事件 B 为“P 点在第一象限”.

11

? ?0≤x≤3, 若? ?0≤y≤3, ? 则其所表示的区域面积为 3×3=9. ???????????????(8 分)

0≤x≤3, ? ?0≤y≤3, 由题意可得事件 B 满足? x-2>0, ? ?x-y>0, 即如图所示的阴影部分, 1 5 其区域面积为 1×3- ×1×1= . ????????????????(11 分) 2 2 5 2 5 ∴P(B)= = . ???????????????????????(12 分) 9 18

12


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