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高一数学试题及答案(二)


数学试题(四)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设全集 U= {1, 2, 3, 4, 5} , 集合 A= {1, 2} , B= {2, 3} , 则 A∩CUB ( )

5? A. ?4,
2.函数 f ( x) ?

3? B. ?2,
3x 2 1? x

C . ?1?

D. ?2? )

? lg(3 x ? 1) 的定义域是(

1 1 1 1 A. (? ,??) B. (? ,1) C. (? , ) 3 3 3 3 3.下列四组函数,表示同一函数的是(

1 D. (??,? ) 3 )

A.f(x)= x 2 ,g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=

x2 x

C. f ( x) ? lnx 2 , g ( x) ? 2 ln x D. f ( x) ? log a a x (a ? ?? ? ? ?), g ( x) ? 3 x 3 4.三个数 a ? 0.312 , b ? log 2 0.31 , c ? 2 0.31 之间的大小关系为( A.a<c<b C.b<a<c B.a<b<c D.b<c<a )

5.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 4ax ? 2 在区间 ? ??, 6 ? 内单调递减,则 a 的取值范围是 ( ) A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ? ?3
1 a

D. a ? ?3

6.在同一坐标系中,函数 y ? ( ) x 与 y ? log a (? x) (其中 a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象只可能是(
y 1 o 1 A

)
y 1 y 1 x -1 o x C o D y 1 -1 x

x

o 1 B

7. 已 知 f ( x) 是 奇函数 ,且方 程 f ( x) ? 0 有且仅 有 3 个实 根 x1、x2、x3 ,则

x1 ? x2 +x3 的值为 (
A.0 B. ? 1

) C.1 D.无法确定

?1? 8.已知函数 f ? x ? ? ? ? ?a?
A. ? 2, ?? ?

x?2

,若 f ? 0 ? ?

1 ,则函数 f ( x) 的单调递减区间是( 4



B. ? ??, 2?

C. ? ?2, ?? ?

D. ? ??, ?2? ) D. (2,3) 内是增函数,又 ,

9.方程 x3 ? x ? 3 ? 0 的实数解所在的区间是( A. (?1, 0) 10.若函数 B. (0,1) C. (1, 2)

为定义在 R 上的奇函数,且在 )

则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 ( A. C. B.

D. (?2,0) ? (0,2)

?? 3a ? 1? x ? 4a ? x ? 1? 11.已知函数 f ( x) ? ? 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log a x ( x ? 1) ?
( )
1 1 ?1 1 ? A. (0, ) B. (0,1) C. ? , ? .D. ( ,1) 3 7 ?7 3 ?

12.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则实数 a 的取值范围是(
A.-1<a<1 C.a>1 B.0≤a<1 D.a<-1

)

二、填空题(本题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 ) 13.函数 f ( x) ? 3 ? a x ?1 ( a ? 0且a ? 1 )的图像总是经过定点_______ 14.将函数 f ( x) ? log 2 x 的图像水平向左平移 1 个单位,再关于 y 轴对称,得到 函数 g ( x) 的图像,则 g ( x) 的函数解析式为_______

? e x , ( x ? 0) 1 15.设 f ( x) ? ? 则 f ( f ( )) ? _______ 2 ?lnx, ( x ? 0)
16.下列说法中,正确的是________. ①任取 x>0,均有 3x>2x;②当 a>0,且 a≠1 时,有 a3>a2; ③y=( 3)-x 是增函数;④y=2|x|的最小值为 1; ⑤在同一坐标系中,y=2x 与 y=2-x 的图像关于 y 轴对称.

三、解答题: (共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17. (本题满分 10 分) 已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R. (1)求 A∪B,(?UA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围.

18.(每小题 6 分,共 12 分)不用计算器求下列各式的值。 4 3 3 (1)( 2× 3)6+( 2× 2) -(-2008)0; (2) ? lg 5 ? +lg2lg5+lg2.
2

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? log a ? x ? 1? , g ? x ? ? log a ?1 ? x ? (a ? 0, 且a ? 1) (1)求 f(x)+g(x)的定义域。 (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由。

20. (本题满分 12 分)已知 f ( x) ? log a (3 ? ax)(a ? 0, 且a ? 1) 。
1 (1)当 a= 时,求 f(x)的单调区间; 2

? 3? (2)当 x ? ?0, ? 时,函数 f(x)恒有意义,求 a 的取值范围。 ? 2?

a ? 2x ?1 f ( x) ? 1 ? 2 x 是 R 上的奇函数。 21. (本题满分 12 分)设
(1)求实数 a 的值; (2)判定 f ( x) 在 R 上的单调性,并证明。

22. (本题满分 12 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a 、 b ? R ,当 a ? b ? 0 时,都有
f (a ) ? f (b) ?0 a?b .

(1)若 a ? b ,试比较 f (a ) 与 f (b) 的大小关系;
x x x (2) 若 f (9 ? 2 ? 3 ) ? f (2 ? 9 ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立, 求实数 k 的取值

范围.

数学试题(四)答案
一.选择题:CBDCD CAACD CC

12.令 f(x)=2ax2-x-1,当 a=0 时,方程 f(x)=0 有一解,即 x =-1?(0,1),∴a≠0. ∵f(0)=-1<0,∴f(1)>0, 即 2a-2>0,∴a>1.
答案 C 二.填空题: 13. (1,4)14. g ( x ) ? log 2 (1 ? x) 15. 三.解答题: 17 解

1 16. ①④⑤ 2

(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}

={x|1<x≤8}.……………2 分 ?UA={x|x<2,或 x>8}. ∴(?UA)∩B={x|1<x<2}.…………..5 分 (2)∵A∩C≠?,∴a<8.
……10 分 18. (1)109.……………6 分 (2)原式=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1……….12 分 19.答案见课本教师用书 P68 页第 4 题。1,2 问各 6 分 20.答案见资料 P72 页例 6。1,2 问各 6 分 21. (1)法一:函数定义域是 R,因为 f ( x) 是奇函数, 所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即

1 ? a ? 2 x a ? 2? x ? 1 a ? 2 x ? ? …2 分 1 ? 2x 1 ? 2? x 1 ? 2x

?1 ? a ? 2 x ? a ? 2 x 解得 a ? 1 ……………6 分

法二:由 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,故 a ? 1 ,……3 分 再由 f ( x) ?

2x ?1 ,验证 f (? x) ? ? f ( x) ,来确定 a ? 1 的合理性 6 分 1 ? 2x

(2) f ( x) 增函数……………………………………………7 分 法一:证明:因为 f ( x) ?

2x ?1 x x ,设设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,得 2 1 ? ? 2 。 x 1? 2x

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

所以 f ( x) 说增函数。……………………………12 分 判定可用法二:由(1)可知 f ( x) ?

2x ?1 2 x ,由于 2 在 R 上是增函数, ? 1? x x 2 ?1 2 ?1

?

2 2 在 R 上是减函数,?? x 在 R 上是增函数, 2 ?1 2 ?1
x

? f ( x) 是 R 上的增函数。………………………12 分
22. (1)因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,由题意得:

f (a ) ? f (?b) ? 0 , 所 以 f (a ) ? f (?b) ? 0 , 又 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , a?b
? f (?b) ? ? f (b)
? f (a ) ? f (b) ? 0 , f (a ) ? f (b) .
(2)由(1)知 f ( x) 为 R 上的单调递增函数, ……4 分

? f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? f (2 ? 9 x ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立, ? f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? ? f (2 ? 9 x ? k ) ,
即 f (9 ? 2 ? 3 ) ? f (k ? 2 ? 9 ) ,
x x x

………8 分

? 9 x ? 2 ? 3 x ? k ? 2 ? 9 x ,? k ? 3 ? 9 x ? 2 ? 3 x 对任意 x ? [0,??) 恒成立,
即 k 小于函数 u ? 3 ? 9 ? 2 ? 3 , x ? [0,??) 的最小值.
x x

令 t ? 3 x ,则 t ? [1,??) ? u ? 3 ? 9 x ? 2 ? 3 x ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ?

1 3

1 ? 1, 3

? k ? 1.

…12 分


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