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第三章3.1-3.1.2概率的意义


第三章





3.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义

[学习目标]

1.正确理解概率的意义(重点、 难点). 2.

能用概率知识正确解释现实生活中的实验问题(难点).

[知识提炼· 梳理] 1.对概率的正确理解 随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但是随 机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就 能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率 只是度量事件发生的可能性的大小,不能确定是否发生.

2.游戏的公平性 (1)裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动 员先猜,猜中并取得发球的概率均为 0.5,所以这个规则 是公平的. (2)在设计某种游戏规则时,一定要考虑这种规则对 每个人都是公平的这一重要原则.

3.决定中的概率思想 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案 的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以 作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法, 极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

4.天气预报的概率解释 天气预报的“降水”是一个随机事件, “降水概率为 90%” 指明了“降水”这个随机事件发生的概率为 90%, 在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不能说明 “昨天的降水概率是 90%” 的天气预报是错误的.

5.试验与发现 概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用, 例如,奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验,经 过长期观察得出了显性与隐性的比例接近 3∶1,而对这 一规律进行深入研究,得出了遗传学中一条重要的统计 规律.

6.遗传机理中的统计规律 孟德尔在自己长达七八年的试验中,观察到了遗传 规律,这种规律是一种统计规律.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1) 事件 A 发生的概率很小时,该事件为不可能事 件.( )

(2)某医院治愈某种病的概率为 0.8,则 10 个人去治 疗,一定有 8 人能治愈.( )

(3) 某 事 件 发 生 的 概 率 随 试 验 次 数 的 变 化 而 变 化.( )

(4)连掷 3 次硬币,可能 3 次均正面朝上.( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

)

2.概率是指(

)

A.事件发生的可能性大小 B.事件发生的频率 C.事件发生的次数 D.无任何意义 解析:概率是指事件发生的可能性大小. 答案:A

3. 某地气象局预报说, 明天本地降雨的概率为 80%, 则下列解释正确的是( )

A. 明天本地有 80%的区域降雨, 20%的区域不降雨 B.明天本地有 80%的时间降雨,20%的时间不降雨 C.明天本地降雨的机会是 80% D.以上说法均不正确

解析:选项 A、B 显然不正确.因为 80%是说降雨 的概率,而不是说 80%的区域降雨,更不是说有 80%的 时间降雨,是指降雨的机会是 80%,故选 C. 答案:C

3 3 4. 事件 A 发生的概率是 , 则 表示的是__________. 5 5 3 解析:根据概率的含义知 表示的是事件 A 发生的可 5 能性的大小. 答案:事件 A 发生的可能性的大小

5.某射击教练评价一名运动员时说:“你射中的概 率是 90%” , 你认为下面两个解释中能代表教练的观点的 为________(填序号). ①该射击运动员射击了 100 次, 恰有 90 次击中目标; ②该射击运动员射击一次,中靶的机会是 90%. 解析:射中的概率是 90%说明中靶的可能性,即中 靶机会是 90%,所以①不正确,②正确.
答案:②

类型 1 概率含义的正确理解 [典例 1] (1)下列说法正确的是( )

A.由生物学知道生男、生女的概率均约为 0.5,一 对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为 0.2,则摸 5 张票, 一定有一张中奖 C.10 张票中有 1 张奖票,10 人去摸,谁先摸则谁 摸到奖票的可能性大

D.10 张票中有 1 张奖票,10 人去摸,无论谁先摸, 摸到奖票的概率都是 0.1 (2) 某工厂生产的产品合格率是 99.99% , 这 说 明 ( ) A. 该厂生产的 10 000 件产品中不合格的产品一定有 1件 B.该厂生产的 10 000 件产品中合格的产品一定有 9 999 件

C. 合格率是 99.99%, 很高, 说明该厂生产的 10 000 件产品中没有不合格产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是 99.99% 解析:(1)一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以 A 不正确;中奖概率为 0.2 是说中奖的可能性为 0.2, 当摸 5 张票时, 可能都中奖, 也可能中 1 张、2 张、3 张、4 张,或者都不中奖.

所以 B 不正确;10 张票中有 1 张奖票,10 人去摸, 每人摸到的可能性是相同的, 即无论谁先摸, 摸到奖票的 概率都是 0.1,所以 C 不正确,D 正确. (2)合格率是 99.99%,是指该工厂生产的每件产品合 格的可能性大小,即合格的概率. 答案:(1)D (2)D

归纳升华 从以下三个方面理解概率的意义 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机 事件 A 的本质属性,随机事件 A 发生的概率是大量重复 试验中事件 A 发生的频率的近似值.

2.由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试 验中发生与否是随机的, 但随机中含有规律性, 而概率就 是其规律性在数量上的反映. 3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别 与联系. 对具体的问题要从全局和整体上去看待, 而不是 局限于某一次试验或某一个具体的事件.

[变式训练]

有以下一些说法:

①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报 降水概率为 95%”是错误的; ②“彩票中奖的概率是 1%” 表示买 100 张彩票一定 有 1 张会中奖; ③做 10 次抛硬币的试验,结果 3 次正面朝上,因此 3 正面朝上的概率为 ; 10

④某厂产品的次品率为 2%,但该厂的 50 件产品中 可能有 2 件次品. 其中错误说法的序号是________. 解析:①中降水概率为 95%,仍有不降水的可能, 故①错;

②中“彩票中奖的概率是 1%”表示在设计彩票时, 有 1%的机会中奖,但不一定买 100 张彩票一定有 1 张会 中奖,故错误;

3 1 ③中正面朝上的频率为 ,概率仍为 ,故③错误; 10 2 ④中次品率为 2%,但 50 件产品中可能没有次品,也可 能有 1 件或 2 件或 3 件??次品,故④的说法正确. 答案:①②③

类型 2 游戏的公平性(误区警示) [典例 2] 袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取

球的三种游戏规则如下表所示.

游戏1 3个黑球和1个白 球 取1个球,再取1 个球
取出的两个球同 色→甲胜

游戏2 游戏3 1个黑球和1个 2个黑球和2个白 白球 球 取1个球,再取1 取1个球 个球
取出的球是黑 取出的两个球同 球→甲胜 色→甲胜

取出的两个 球不同色→ 乙胜

取出的球 是白球→ 乙胜

取出的两个 球不同色→ 乙胜

若从袋中无放回地取球,则其中不公平的游戏是 ( ) A.游戏 1 C.游戏 2 B.游戏 1 和游戏 3 D.游戏 3

易错提示: 解答本题易出现只从表面上看球的个数是 否相等,对试验发生的所有可能情况列举不全而误选 A 或误选 B. 防范措施:对每个游戏,要考虑全面,不重不漏地列 举出所有情况,并准确计算,求出甲或乙获胜的概率, 1 若为 ,则公平,否则就不公平. 2

[正解示范] 游戏 1 中, 取两球的所有可能情况是(黑 1,黑 2)(黑 1,黑 3)(黑 2,黑 3)(黑 1,白)(黑 2,白)(黑 3, 1 白),∴甲胜的概率为 ,游戏是公平的. 2 1 游戏 2 中,显然甲胜的概率为 ,游戏是公平的. 2

游戏 3 中,取两球的所有可能情况是(黑 1,黑 2)(黑 1,白 1)(黑 2,白 1)(黑 1,白 2)(黑 2,白 2)(白 1,白 2), 1 甲胜的概率为 ,游戏是不公平的. 3 答案:D

归纳升华 在设计游戏规则时, 一定要考虑这种规则对每个人都 是公平的这一重要原则.

[类题尝试]

某校高二年级 (1)(2)班准备联合举行晚

会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以 转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人 先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节 目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字 1,2,3,4,5, 6,7 的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人 同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶 数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.

该方案对双方是否公平?为什么?

解:该方案是公平的,理由如下: 两次转动转盘所得的数字相加的和的各种情况如下 表所示.

转盘数字
1 2

4
5 6

5
6 7

6
7 8

7
8 9

3

7

8

9

10

由上表可知该游戏可能出现的情况共有 12 种,其中 两数字之和为偶数的有 6 种, 为奇数的也有 6 种, 所以(1) 6 1 班代表获胜的概率 P1= = , 12 2

6 1 (2)班代表获胜的概率 P2= = ,即 P1=P2,机会是 12 2 均等的,所以该方案对双方是公平的.

类型 3 概率的应用 [典例 3] 为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下

的方法: 先从水库中捕出 2 000 尾鱼, 给每尾鱼做上记号, 不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其 和水库中的其他鱼充分混合, 再从水库中捕出 500 尾, 查 看其中有记号的鱼,有 40 尾,试根据上述数据,估计水 库中鱼的尾数.

解:设水库中鱼的尾数是 n,现在要估计 n 的值,假 定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任捕一尾鱼, 2 000 设事件 A={带记号的鱼},则 P(A)= .第二次从水库 n 中捕出 500 尾鱼,其中带记号的有 40 尾,即事件 A 发生 40 2 000 的频数为 40,由概率的统计定义知 P(A)≈ ,即 n ≈ 500 40 ,解得 n≈25 000.所以估计水库中的鱼有 25 000 尾. 500

归纳升华 1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小, 概率是频率的近似值与稳定值, 所以可以用样本出现的频 率近似地估计总体中该结果出现的概率. 2.实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来 估计某个生物种群中个别生物种类的数量、 某批次的产品

中不合格产品的数量等.

[ 变式训练 ]

广东某家具厂为游泳比赛场馆生产观

众座椅,质检人员对该厂所产的 2 500 套座椅进行抽检, 共抽检了 100 套, 发现有 5 套次品, 试问该厂所产的 2 500 套座椅中大约有多少套次品? n 解:设有 n 套次品,由概率的统计定义可知 ≈ 2 500 5 ,解得 n≈125. 100
所以该厂所产的 2 500 套座椅中大约有 125 套次品.

1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随 机性中含有规律性:即随着试验次数的增加,该随机事 件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率. 2.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数 量,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定会发生, 只是认为事件发生的可能性大.

3.孟德尔通过试验、观察、猜想、论证,从豌豆实 验中发现遗传规律是一种统计规律,这是一种科学的研 究方法,我们应认真体会和借鉴. 4.利用概率思想正确处理和解释实际问题,是一种 科学的理性思维,在实践中要不断巩固和应用,提升自 己的数学素养.



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