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3.2.1几个常用函数的导数 教案


3.2.1 几个常用函数的导数
一.三维目标
知识与技能:能由常数函数和幂函数的导数公式推导常见函数的导数 过程与方法:在教学过程中,注意培养学生归纳类比的能力;分析总结导数的加减运算法则 情感态度价值观:在单位圆中,根据导数的定义探索出正弦和余弦的导数公式,培养学生热 爱思考和探索的精神

二.重点难点分析
1 的导数公式及应用 x 1 教学难点: 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 的导数公式的推广 x 三.教学过程:
教学重点:四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 1.创设情景 我们知道, 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率, 物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以 求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦, 有时甚至很困难, 为了能够较快地求出某些函 数的导数, 这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法, 下面我们求几个常用的函数的导 数. 2.新课讲授 一.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?c

y? ? 0

若 y ? c 表示路程关于时间的函 y? ? 0 表示函数 y ? c 图像上每一点处的切线的斜率都为 0. 数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态.

二.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0
函数 导数

y?x

y? ? 1

若 y ? x 表示路程关于时间的函 y ? ? 1表示函数 y ? x 图像上每一点处的切线的斜率都为 1. 数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 三.函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x 的变化,切
线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 增加得越来越快.若 y ? x2 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释为某物体做变速 运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 四.函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x
?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ? x ? 0 ?x x ? x ? ?x x
函数 导数

所以 y? ? lim

?x ? 0

y?

1 x
*

y? ? ?

1 x2
n?1

(2)推广:若 y ? f ( x) ? x (n ? Q ) ,则 f ?( x) ? nx
n

3. 公式应用 例 1 求下列函数的导数 (1) y = x3 三.课堂练习 1.课本 P13 探究 1 2.课本 P13 探究 2 四.小结 函数 导数 (2) y =

1 x2

(3) y =

x

y?c y?x

y' ? 0
y' ? 1

y ? x2
1 y? x

y' ? 2x
1 x2

y' ? ?

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

y' ? nxn?1

五.作业 习题 3.2 A 组

4 5

6

7


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