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2.4正态分布(上课用)


高二数学 选修2-3

2.4 正态分布

回顾
1、 两点分布: 2、 .超几何分布:
X 0
0 n CM CN ?M n CN

X P …

0 1-p

1 p …

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

k
k n ?k CM CN ?M n CN

n
n 0 CM CN ?M n CN

P





3、 .二项分布:
X P 0 1 … k … n
k k n ?k 1 1 n-1 C p C n0 p 0q n C n pq … n q

… C nn p nq 0

4、由函数 y ? f ( x)及直线 x ? a, x ? b, y ? 0 y

围成的曲边梯形的面积S=_________ ?a f ( x)dx ;
O

b

a

b

x

一、复习
1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系:

由于总体分布通常不易知道,我 们往往是用样本的频率分布(即频率 分布直方图)去估计总体分布。 一般样本容量越大,这种估计就越精确。
2、从高一所学知识得出的100个产品尺寸的 频率分布直方图可以看出,当样本容量无限 大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方 图就会无限接近于一条光滑曲线----总体密度 曲线。

复习
看下面的例子.









某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取 100件检测,测得它们的实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39 把这批产品的内径尺寸看作一个总体,那么100件产品的实际尺寸就是一个容量为 100的样本,由数学3中2.2.1节知识可得到这组样本数据的频率分布直方图(图2-4)

第一步:分组

确定组数,组距?

复习
区间号 区间

第二步:列出频率分布表
频数 频率 累积频率 频率/组距

1 2 3 4 5

25.235~25.265 25.265~25.295 25.295~25.325 25.325~25.355 25.355~25.385

1 2 5 12 18

0.01 0.02 0.05 0.12 0.18

0.01 0.03 0.08 0.20 0.38

0.33 0.67 1.67 4.00 6.00

6
7 …… 11

25.385~25.415
25.415~25.445 …… 25.535~25.565

25
16 …… 2

0.25
0.16 …… 0.02

0.63
0.79 …… 1

8.33
5.33 …… 0.67

复习
y

第三步:作出频率分布直方图

频率/组距
8.33

中间高,两头低, 左右大致对称

8

6
4 2 0.33
0.01 0.01

0.25

0.67
0.02 0.02
25.535 25.565

0

25.235

25.265

x

图(2-4)

如何根据频率分布直方图求频率?

高尔顿板

11

知识点一:正态密度曲线

若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线,我们称 此曲线为概率密度曲线. 频率 样本容量增大时 总体密度曲 组距 频率分布直方图 概率密度曲线的形状特征. 线

“中间高,两头低, 左右对称”

(a,b)间的概率

a

b

产品 尺寸 (mm)

这条曲线与x轴一起围成的面积为1

Y

总体密度曲 线

0

X

知识点二:正态分布的意义

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等,水文中的水位;

正态分布在概率和统计中占有重要地位。 服从正态分布的随机变量叫做正态随机 变量,简称正态变量

知识点三:正态分布与密度曲线

图中概率密度曲线具有“中间高,两头低”的 特征,像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态 变量概率密度曲线”,它的函数表达式是
? 1 f ( x) ? e 2?s ( x ? ? )2 2s 2

(x∈R)

如果随机变量X服从正态分布,则记作 X~ N( μ,σ2)

s ( s > 0 ) 是参数,分别表示总 式中的实数 μ 、 体的平均数与标准差.不同的 μ、 σ 对应着不同的 正态密度曲线

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线

? 的意义
Y

总体平均数反映总体随机变量的 平均水平

a

b

c

d 平均数

X

x= μ s的意义 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度
X落在区间(a,b)的概率为:

P(a ? X ? b) ? ? f ( x)dx
a

b

方差相等、均值不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1

σ=0.5

若s 固定, 随?值 的变化而 沿x轴平 移, 故 ? 称为位置 参数;

?3

?1

?2

均值相等、方差不等的正态分布图示
y

μ=0

s=0.5

s=1

若 ?固定, s 大 时, 曲线矮而胖; s 小时, 曲线瘦 而高, 故称 s 为形状参数。
s=2

x

?

标准正态分布 N(0,1)

正态曲线的函数表示式

1 (0, ] (2)f ( x) 的值域为 2? s
(3) f ( x) 的图象关于

(1)当x = μ 时,函数值为最大.

1 f ( x) ? e 2? s
y

( x?? )2 ? 2s 2

x ? (??,??)
μ=-1

x =μ

对称.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

(-∞,μ] 时f ( x )为增函数. (4)当 x∈ (μ,+∞) 时f ( x )为减函数. 当 x∈

(5)曲线与x轴之间的面积为1 (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 . σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

例1、下列函数是正态密度函数的是( B )
A.

f ( x) ?

1 e 2?s

( x ? ? )2 2s 2

, ? , s (s > 0)都是实数

B.

2? f ( x) ? e 2?

x2 ? 2

C.

1 f ( x) ? e 2 2?

( x ?1)2 ? 4

D.

1 f ( x) ? e 2?

x2 2

例2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位,得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是 ( D) A.曲线b仍然是正态曲线;
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;

C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。

练习:
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
1 数的最大值等于 ,求该正态分布的概率密度函 4 2? x2

数的解析式。

? 1 f ( x) ? e 32 4 2? y

2、如图,是一个正态曲线, 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式, 求出总体随机变量的期望和 方差。

1 2 ?

f ( x) ?

1

2 ?

e

?

( x ? 20 ) 4

2

5 10 15 20 25 30 35 x

【3】(淄博三模)某市组织一次高三调研考试,考试后统计 的 数 学 成 绩 服 从 正 态 分 布 , 其 密 度 函 数

1 f ( x) ? e 2? ?10

( x ?80)2 ? 200

, x ? (??, ??) ,则下列命题不正确的

B 是…(B) A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B. 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C. 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10

正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。即概率相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

?

正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。即概率相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

?

x2 x1

小概率事件的含义
若X~N

(?,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
P( ? ? a ? X ? ? ? a) ? ?
? ?a

3、特殊区间的概率:
? ?a

f ( x )dx

为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 ? 和 s而言,该面 积随着 s 的减少而变大。这说明 s 越小, 落在区间 (? ? a, ? ? a] 的概率越大,即X集中在 ? 周围概率越大。

x=μ

特别地有

P( ? ? s ? X ? ? ? s ) ? 68.3%, P( ? ? 2s ? X ? ? ? 2s ) ? 95.4%, P( ? ? 3s ? X ? ? ? 3s ) ? 99.7%.
?+a

?-a

P( ? ? s ? X ? ? ? s ) ? 68.3%, P( ? ? 2s ? X ? ? ? 2s ) ? 95.4%, P( ? ? 3s ? X ? ? ? 3s ) ? 99.7%. P( ? ? s ? X ? ? ? s ) ? 0.6826,

当 a ? 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过 5% ), .在实 (? ? 3 s , ? ? 3s ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.

我们从上图看到,正态总体在 ?? ? 2s , ? ? 2s ? 以外取值的概率只有4.6%,在?? ? 3s , ? ? 3s ?以外 取值的概率只有0.3 %。

P( ? ? 2s ? X ? ? ? 2s ) ? 0.9544, P( ? ? 3s ? X ? ? ? 3s ) ? 0.9974.

例1.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态 分布 X ~ N(90,100).(1) 求考试成绩 X 位于区间 (70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有 2000 名考生 , 试估计考试成绩在 (80,100) 间的 考生大约有多少人? 解:依题意,X~N(90,100),? ? ? 90, s ? 10. ? P (70 ? X ? 110) ? P ( ? ? 2s ? X ? ? ? 2s ) ? 0.954 ? P (80 ? X ? 100) ? P ( ? ? s ? X ? ? ? s ) ? 0.683. 即考试成绩在(80,100)间的概率为0.683. 考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2000 ? 0.683 ? 1366.

例2.若X~N(5,1),求P(6<X<7) 解:因为X~N(5,1), ? ? ? 5, s ? 1. 又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称, ? P(5 ? x ? 7) ? 1 ? P(3 ? x ? 7) ? 1 ? P(5 ? 2 ? 1 ? x ? 5 ? 2 ? 1) 2 2
? 1 ? 0.954 ? 0.477, 2 P(5 ? x ? 6) ? 1 ? P(4 ? x ? 6) 2 ? 1 ? 0.683 ? 0.3415, 2

? P(6 ? x ? 7) ? P(5 ? x ? 7) ? P(5 ? x ? 6)
? 0.477 ? 0.3415 ? 0.1355.

例3:某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正
态分布N ?4, 0.25?,质检人员从该厂生产的1000 件零件中随机抽查一件, 测得它的外直径为 5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格?
N ?4, 0.25? 解: 由于?服从正态分布

由正态分布的性质知,
正态分布N ?4, 0.25? 在 ?4 ? 3× 0.5, 4 ? 3× 0. 5? 之外取值的 概率只有0.003,而5.7 ? ?2.5, 5.5?

这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发 生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。

.假设检验的基本思想
假设检验是就正态总体 而言的, 进行假设检验可归结为 如下三步:
1).提出统计假设 . 统计假设里的变量服从 正态分布N(?,s ) .
2

2).确定一次试验中a的取值是否 落入(? ? 3s, ? ? 3s)内 .

3).作出判断. 如果a ? (? ? 3s, ? ? 3s),接受统计假设; 如果a ? (? ? 3s, ? ? 3s),就拒绝统计假设.

练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的 2 成绩X~ (100,5 ),据此估计,大约应有57人的分 数在下列哪个区间内?( A ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2) 内取值的概率 等于( D )
A.0.954 B.0.046 C.0.977 D.0.023

3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0)= . P(?2 ? X ? 2) = 0.954

0.5

,

1 1. 【2009 安徽卷理】若随机变量 X ~ N (?,s 2 ) ,则 P( X ? ? ) =________. 2

2. 【 2007 年 浙江理 】已 知随 机变 量 ? 服 从正 态分 布 N ? 2 , s 2 ? ,
P ?? ? 4? ? 0.84 ,则 P ?? ? 0? ? (

A )
C. 0.68 D. 0.84

A. 0.16

B. 0.32

3. 【2010 山东理 5】已知 随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0 , s 2 ? ,若
P ?? > 2? ? 0.023 ,则 P ? ?2 ? ? ? 2? ? (

C

) D. 0.977

A. 0.477

B. 0.625

C. 0.954

【4 3、 】 (07 全国) 在某项测量中, 测量结果 ? 服从正态分布 N (1 1) ,s )(s > 0) .若 ? 在 (0,
2

2) 内取值的概率 内取值的概率为 0.4, 则 ? 在 (0,

0 . 8 为 0.8.

y

o

x



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