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【11】3-2求导法则与基本初等函数求导公式_图文

高等数学(1)

山东交通学院

邢朝辉

第二节

求导法则与基本 初等函数求导公式

一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则
四、基本求导法则与求导公式 五、小结 思考题

一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数 u ( x), v( x)在点 x处可导, 则它们的 和、差、积、商 (除分母不为零外)在点 x处也可导,
并且

(1) [u ( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x); (2) [u ( x) ? v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x); u ( x) u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) (3) [ ]? ? , (v( x) ? 0). 2 v( x) v ( x)

法则(1)(2)可以推广到任意有限个可导函数的情形

设u ? u( x), v ? v( x), w ? w( x)均可导

(u ? v ? w) ' ? u '? v '? w ' (u ? v ? w) ' ? u '? v ? w ? u ? v '? w ? u ? v ? w ' (Cu ) ' ? Cu '(C为常数)

例1 已知f ( x) ? 2 x ? 3x ? sin
2

?
7

? ln 2,求f '( x), f '(1)



f '( x) ? (2 x ? 3x ? sin
2 2

?
7

? ln 2) '

? (2 x ) '? (3 x) '? (sin ) '? (ln 2) ' 7 ? 4x ? 3 f '(1) ? 4 ?1 ? 3 ? 1

?

例2

y ? (sin x ? 2cos x) ln x, 求y '

解: y ' ? [(sin x ? 2 cos x) ln x]'

? (sin x ? 2 cos x) 'ln x ? (sin x ? 2 cos x)(ln x) ' 1 ? (cos x ? 2sin x) ln x ? (sin x ? 2 cos x) x

例3 求 y ? tan x 的导数 . 解
sin x y ? ? (tan x )? ? ( )? cos x

(sin x )? cos x ? sin x(cos x )? ? cos 2 x

1 cos 2 x ? sin2 x 2 ? ? sec x ? 2 2 cos x cos x


同理可得

(tan x)? ? sec x.
2
2 ? (cot x) ? ? csc x.

例4 求 y ? sec x 的导数 . 解
1 y ? ? (sec x )? ? ( )? cos x ? (cos x )? sin x ? sec x tan x . ? ? 2 2 cos x cos x


同理可得

(sec x)? ? sec x tan x.

(csc x)? ? ? csc x cot x.

例5
解:

1 ? tan x y? ? 2 log 2 x ? x x , 求y ' tan x

y ? cot x ? 1 ? 2 log 2 x ? x , 2 3 y ' ? ? csc x ? ? x x ln 2 2
2

3 2

二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x ? ? ( y )在某区间 I y内单调、可导 且? ?( y ) ? 0 , 那末它的反函数 y ? f ( x)在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 dy 1 f ?( x) ? .或 ? ? ?( y ) dx dx dy 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例7 求函数 y ? arcsin x 的导数. 解
? ? ? x ? sin y在 I y ? ( ? , )内单调、可导, 2 2

且 (sin y)? ? cos y ? 0, ? 在 I x ? (?1,1)内有
dy 1 ? (arcsin x)? ? dx dx dy
? 1 1 ? sin y
2

1 1 ? ? (sin y )? cos y

?

1 1? x
2

.

(arcsin x) ' ?
同理可得

1 1? x
1
2

.
.

(arccos x)? ? ?

1? x

2

1 (arctan x)? ? ; 2 1? x
1 (arc cot x)? ? ? . 2 1? x

三、复合函数的求导法则
定理3 如果函数 u ? ? ( x)在点 x可导 , 而y ? f (u ) 在相应点 u ? ? ( x)可导 , 则复合函数 y ? f [? ( x)]在点
x可导, 且其导数为 ( f [? ( x)])? ? f ?[? ( x)?? ?( x) 简写为 yx ? ? yu ?? u x ? 或 dy dy du ? ? dx du dx

即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘 以中间变量对自变量求导.(俗称链式法则)

推广 设 y ? f ( u), u ? ? (v ), v ? ? ( x ),
则复合函数 y ? f {?[?( x )]}的导数为 dy dy du d v ? ? ? . dx du dv dx

符合函数求导方式是从外向内 层层求导

例9 求函数 y ? ln sin x 的导数.



? y ? ln u, u ? sin x .

cos x dy dy du 1 ? cot x ? ? ? ? ? cos x ? dx du dx u sin x

dz 例10 z ? cos(sin x ), 求 dx 解:所给函数可看成下列函数复合而成的函数
3 2

z ? cos u , u ? v , v ? sin w, w ? x
3

2

由复合函数求导公式有 dz dz du dv dw ? ? ? ? dx du dv dw dx ? (? sin u ) ? (3v 2 ) ? (cos w) ? 2 x ? ?6 x ? cos x ? sin x ? sin(sin x )
2 2 2 3 2

例11 解:

dy y ? ln cos(e ), 求 dx
x

dy ? x x ? ?? ln cos( e ) ? ? ? [cos( e )] ? x ? cos(e ) dx ?

? sin(e x ) x x x ? ? (e )? ? ?e tan e x cos(e )

例12

y ? tan[ln(1 ? 2 )], 求y?
x

解:y? ? tan[ln(1 ? 2 x )] ?

?

?

? sec 2 [ln(1 ? 2 x )] ? [ln(1 ? 2 x )]? 1 x ? sec [ln(1 ? 2 )] ? ? (1 ? 2 )? x 1? 2 1 2 x x ? sec [ln(1 ? 2 )] ? ? ln 2 ? 2 x 1? 2 ln 2 ? 2 x 2 x ? ? sec [ln(1 ? 2 )] x 1? 2
2 x

习题 求函数 y ? ( x 2 ? 1)10 的导数 . 解
dy ? 10( x 2 ? 1)9 ? ( x 2 ? 1)? dx ? 10( x 2 ? 1) 9 ? 2 x ? 20 x( x 2 ? 1) 9 .

四、基本求导法则与求导公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C )? ? 0 (sin x )? ? cos x (tan x )? ? sec 2 x (sec x )? ? sec x tan x
( x ? )? ? ?x ? ?1 (cos x )? ? ? sin x (cot x )? ? ? csc2 x (csc x )? ? ? csc x cot x
(e x )? ? e x 1 (ln x )? ? x

(a x )? ? a x ln a 1 (loga x )? ? x ln a

(arcsin x )? ?

1

1 ? x2 1 (arctan x )? ? 1 ? x2

(arccos x )? ? ?

1

1 ? x2 1 ? ( arccot x ) ? ? 1 ? x2

2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u ? u( x ), v ? v ( x )可导,则 (1)( u ? v )? ? u? ? v ?, (2)(cu)? ? cu? ( C 是常数)
? v ? uv ? u u (3)( uv )? ? u?v ? uv ? , (4)( )? ? ( v ? 0) . 2 v v

3.反函数的求导法则

设函数 x ? ? ( y )在某区间 I y内单调、可导且? ?( y ) ? 0 ,

那末它的反函数 y ? f ( x)在对应区间I x ? f ( I y )内也可导 , 1 且有f ?( x) ? . ? ?( y )

4. 复合函数的求导法则 设y ? f (u ), 而u ? ? ( x)则复合函数 y ? f [? ( x)] dy dy du 的导数为 ? ? 或 y?( x) ? f ?(u ) ? ? ?( x). dx du dx 利用上述公式及法则 , 初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.

习题

f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)...( x ? n), 则f ???? ? ? f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)...( x ? n) ? x( x ? 2)( x ? 3)...( x ? n) ? ....... ? x( x ? 1)( x ? 2)...( x ? n ? 1) f ???? ? ?? 2 ? 3...n ? n !

f ( x ) ? sin x, 则f ?? x) ? ? 解:设t ? x , 则f (t ) ? sin t .
2

即f ( x) ? sin x

2 2

f ?? x) ? 2 x cos x

y ? f (e ), 其中f 可导,则y??
x

y? ? f ?(e ) ? e
x

x

y ? f (ln x)e

f ( x)

, 其中f 可导,则y??
f ( x)

y? ? ? f (ln x)]?e ? f (ln x )[e ]? 1 f ( x) f ( x) ? f ?(ln x) ? ? e ? f (ln x) ? e ? f ?? x) x 1 f ( x) ? e ( f ?(ln x) ? ? f (ln x) ? f ?? x)) x
f ( x)

dy y ? f (sin x) ? f (cos x), 其中f 可导,求 | ? dx x ? 4
2 2

解: dy =f ?(sin 2 x( ) sin 2 x) ? ? f ?(cos 2 x( ) cos 2 x) ? dx 2 2 =f ?(sin x)2sin x cos x-f ?(cos x)2sin x cos x = sin 2 x[ f ?(sin 2 x)-f ?(cos 2 x)] dy ? 2 ? 2 ? | ? ? sin [ f ?(sin )-f ?(cos )] dx x ? 4 2 4 4 1 1 ? f ?( )-f ?( ) ? 0 2 2

五、小结
注意:

思考题

[u ( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x); u ( x) u?( x) [ ]? ? . v( x) v?( x) 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.

反函数的求导法则(注意成立条件); 复合函数的求导法则(注意函数的复合过程, 合理分解正确使用链导法);

已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商.

思考题
若 f ( u) 在 u0 不可导, u ? g( x ) 在 x0 可导,且 ). u0 ? g( x0 ) ,则 f [ g( x )]在 x0 处( (1)必可导;(2)必不可导;(3)不一定可导;

思考题解答
正确地选择是(3)
例 f ( u) ?| u | 在 u ? 0 处不可导,

取 u ? g( x ) ? sin x 在 x ? 0处可导,

f [ g( x )] ?| sin x | 在 x ? 0 处不可导,(1) ?
取 u ? g ( x ) ? x 4 在 x ? 0处可导,

( 2) ? f [ g ( x )] ?| x |? x 在 x ? 0处可导,
4 4

思考题
3 求曲线 y ? 2 x ? x 上与 x 轴平行 的切线方程.

思考题解答
y? ? 2 ? 3 x 2
令 y? ? 0

? 2 ? 3x2 ? 0

2 x1 ? 3

2 x2 ? ? 3

? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?

2 4 6? ? ?? , ? ? 3 9 ? ? 4 6 4 6 所求切线方程为 y ? 和 y?? 9 9

练 习 题 一
一、 1. 2. 3. 4. 5. 6. 填空题: 设 y ? ( 2 x ? 5) 4 ,则 y ? =___________. 设 y ? sin 2 x ,则 y ? =____________. 设 y ? arctan( x 2 ) ,则 y ? =____________. 设 y ? ln cos x ,则 y ? =____________. 设 y ? 10 x tan 2 x ,则 y ? =____________. 设 f ( x )可导,且 y ? f ( x 2 ) ,

dy 则 =___________. dx
7. 设 f ( x ) ? e
tan k x

?? ? 若 f ?? ? ? e ,则 k ? ___________. ? 4?

,则 f ?( x )=__________,

二、 求下列函数的导数: 1 sin 2 x 1. y ? arccos ; 2. y ? ; x x 3. y ? ln( x ? a 2 ? x 2 ) ;4. y ? ln(csc x ? cot x ) ; x 2 5. y ? (arcsin ) ; 6. y ? e arctan x ; 2 arcsin x 1? x 7. y ? ; 8. y ? arcsin . arccos x 1? x 三、 设 f ( x ) , g( x ) 可导,且 f 2 ( x ) ? g 2 ( x ) ? 0 , 求函 数 y ? f 2 ( x ) ? g 2 ( x ) 的导数 . 四、设 f ( x ) 在 x ? 0 处可导,且 f ( 0) ? 0 , f ?( 0) ? 0 , 又F ( x ) 在 x ? 0 处可导,证明F ? f ( x )? 在x ? 0 处 也可导 .

练习题答案
一、1. 4. 6. 二、1. 3.

5.

2x 8( 2 x ? 5) ; 2. sin 2 x ; 3. ; 4 1? x ? tan x ; 5. 10 x tan 2 x ln 10(tan 2 x ? 2 x sec 2 2 x ) ; 1 tan k x k ?1 2 2 ? ? k tan x ? sec x , . 2 xf ( x ) ; 7. e 2 x 2 x cos 2 x ? sin 2 x ; 2. ; 2 2 2 x x x ?1 1 ; 4. csc x ; 2 2 a ?x x 2 arcsin arctan x e 2; 6. ; 2 2 x (1 ? x ) 4? x
3

7. 三、

? ; 8. 2 1 ? x 2 (arccos x )2
f ( x) ? g ( x)
2 2

1 . (1 ? x ) 2 x (1 ? x )

f ( x ) f ?( x ) ? g ( x ) g ?( x )

.

练 习 题二

一、 填空题: 1. 设 y ? x ? sin x ,则 y ? = __________. dy 2 x x 2. 设 y ? 3a ? e ? ,则 =__________. x dx
x 2

dy 3. 设 y ? e ( x ? 3 x ? 1) ,则 = __________. dx x ? 0

4. 设 y ? 2 tan x ? sec x ? 1,则 y ? =_________. 3 x2 5. 设 y ? f ( x ) ? ,则 f ?(0) =________. ? 5? x 5 ? 6. 曲线 y ? ? sin x 在 x ? 0处的切线与 x 轴 正向的 2 夹角为_________.

二、 计算下列各函数的导数:

1 10 x ? 1 1. y ? ;2. y ? x ; 2 1? x ? x 10 ? 1 2 csc x 1? t 3. y ? ; 4. f ( x ) ? ,求 f ?(4) ; 2 1? t 1? x x a b a b x ? ? ? ? ? ? 5. y ? ? ? ? ? ? ? (a ? 0, b ? 0) . ?b? ? x? ? a ?
三、 求抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 上具有水平切线的点. 四、 写出曲线 y ? x ?
1 与 x 轴交点处的切线方程. x

练习题答案
2 sin x ? cos x ) ;2. 3a x ln a ? e x ? 2 ; 2x x ? 3 3. ? 2 ; 4. sec x(2 sec x ? tan x );5. ;6. . 25 4 1 ? 2x 10 x ? 2 ln 10 二、1. ; 2. ; 2 2 x 2 (1 ? x ? x ) (10 ? 1) 2 csc x[(1 ? x 2 ) cot x ? 2 x ] 1 3. ; 4、 ; 2 2 18 (1 ? x ) a x b a x b a a?b ). 5. ( ) ( ) ( ) (ln ? b x a b x b b 2 ? 4ac 三、 ( ? ,? ). 2a 4a 四、 2 x ? y ? 2 ? 0和 2 x ? y ? 2 ? 0 .
一、1. x (



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