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3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件


第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

复数的起源
16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的《重要 的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人 称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到 公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分, 使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认 为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的, 但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。 给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔,他 在《几何学》 中使“虚的数”与“实的数”相对应,从 此,虚数才流传开来。

数系的扩充
自然数 整数 N

有理数
无理数

R

Q

Z

实数

i 的引入
对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

x ? ?1
2
引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

虚数单位 i
引入一个新数 i ,i 叫做虚数单位,并规定:

(1)它的平方等于 -1,即 i ? ?1
2

( 2 )实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时, 原有的加、乘运算律仍然成立.

复数
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,C表示

C = {a + bi | a, b

R}

复数的代数形式
通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部
虚部

其中

i 称为虚数单位。

复数的相关概念
当 b ? 0 时,z 是实数a 当 b ? 0时,z 叫做虚数 复数

当 a = 0 且 b ? 0时,z =bi 叫做纯虚数.

例题讲解
例1 实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是

(1)实数?

(2)虚数?

(3)纯虚数?

解:(1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1时,复数z 是虚数.

?10? m ? 0 (3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 时,复 m ?m 1? ?10
数 z 是纯虚数.

复数的分类
ì 实数b = 0 ? ? 复数z ? a ? bi í 虚数b ? 0 纯虚数a = 0,b 0 ? 非纯虚数a 构0,b 0 ? ? ? (a, b ? R)

{

相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就 说这两个复数相等.即如果 a , b, c , d ? R,那么

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d

a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0
两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小

例题讲解
例2 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R ,求

x与 y. 解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 所以 x ? , y ? 4 2

复数间的关系

复数
a ? bi

(a,b ? R)

?

实数(b ? 0)

虚数(b ? 0)

? ?

0(a ? 0,b ? 0)
非0实数(a ? 0,b ? 0)

纯虚数(a ? 0 ,b ? 0)
非纯虚数(a ? 0 ,b ? 0)

N

Z

Q

R

C

学习小结
1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等

3.复数的分类:
选做作业: 1. 若方程x2 ? ? m ? 2i ? x ? ? 2 ? mi ? ? 0至少有 一 个 实 数根,求实数 m 的值.

m ? ?2 2



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