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数形结合思想在初中数学中的应用


数形结合思想在初中数学中的应用
【摘要】数形结合思想是初中数学解题中一种重要思想。它包含以形助数和以数解形 两个方面。利用数形结合思想可使初中数学中的复杂问题简单化,抽象问题具体化, 它兼有数的严谨性与形的直观性两大优势,是优化解题过程的一种重要途径。基于数 学结合思想的重要性本文就数学结合思想在初中数学中的解题的应用作简要的探讨。 关键词: 数形结合 解题 探讨

数形结合思想是初中数学中的一个重要思想, “数” 与“形” 就好比数学中的“左右腿” 。 全面理解数形结合思想,就需要从“以数助形”和“以形助数”两个方面来体会,另外在相 关的函数题型中利用“数形结合思想”解决问题能起到事到功半的效果,本文就从“以形助 数” 、 “以数助形” “函数中数形结合思想的运用”三个方面来探讨数形结合思想在初中数学 中的相关应用。 一、以数助形 从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点: (1)利用数轴、 平面直角坐标系把几何问题进行代数化; (2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问 题,例如:利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。 例 1、两只小虫 A、B 躺在数轴上睡大觉,已知它们之间的距离为 10 个单位长度,其中 小虫 A 躺在数+4 对应的点上,小虫 B 所在的位置绝对值大于 6,则小虫 B 所在的位置表示 的数是 这是《安徽省 2011/2012 学年度第一学期第一次联考 人教版七年级数学》中的一道

试题, 本题旨在着重考察数轴上两点之间的距离公式: 数轴上点 A 代表数 x1 , 点 B 代表数 x2 , 则 A、B 两点之间的距离 d ? x1 ? x2 。这个两点之间的距离公式不论是它的推导还是运用 都恰到好处的将相关的几何问题进行了代数化。 例 2、两直线之间的位置关系包括:平行、相交、重合。在初中数学中研究这种位置关 系一般是通过几何作图来研究。 但是如果知道两直线的函数解析式该如何通过代数的方法来 研究这两条直线的位置关系呢?例如:直线 l1 : y ? a1 x ? b1 ,直线 l 2 : y ? a2 x ? b ,利 用代数的方法研究直线 l1 、 l 2 之间的位置关系。 这个问题实质上就是二元一次方程组 ?

? y ? a1 x ? b1 的几何意义。关于二元一次方程组 ? y ? a 2 x ? b2

? y ? a1 x ? b1 的解有三种情况:①无解;②无数个解;③ 只有一个解。这三种情况可以 ? ? y ? a 2 x ? b2
转化为直线 l1 : y ? a1 x ? b1 与直线 l 2 : y ? a2 x ? b 的三种位置关系:①平行;②重合; ③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当 a1 ? a 2 , b1 ? b2 时,两条直线的斜率相 同,在 y 轴上的截距不同。此时两条直线平行,无交点,因而方程组无解。进一步来说当方 程组 ?

? y ? a1 x ? b1 无解时,直线 l1 、 l 2 平行。当 a1 ? a 2 , b1 ? b2 时,两条直线的斜率相 ? y ? a 2 x ? b2

同, 在 y 轴上的截距也相同。 此时两条直线重合, 有无数个公共点, 因而方程组有无数个解。 进一步来说当方程组 ?

? y ? a1 x ? b1 有无数个解时,直线 l1 、 l 2 重合。当 a1 ? a 2 时,两条 ? y ? a 2 x ? b2

直线的斜率不相同,两条直线相交,只有一个交点,因而方程组只有一个解。进一步来说当 方程组 ?

? y ? a1 x ? b1 仅有一个解时,直线 l1 、 l 2 相交。 y ? a x ? b 2 2 ?

这个问题正是利用以数助形的方法给出了判断两直线之间的位置关系的代数方法。 例 3、已知 ?ABC 的三边长分别为 m ? n 、 2mn 及 m ? n ( m 、 n 为正整数,且
2 2 2 2

。求 ?ABC 的面积(用含 m 、 n 的代数式表示) 。 m ? n) 这个问题实质上是已知三角形的三边长来求解三角形的面积问题,对于这类问题一般 称之为“三斜求积”问题,通常可用“海伦公式” 。关于“海伦公式”的探讨在人教版九年 级上册第 21 章的阅读材料部分。运用“海伦公式”计算三角形面积的计算过程明显比较繁 锁,能避免最好不用。本题能不能避免使用“海伦公式” ,这要看所给的三角形有没有特殊 之处。由于 (m ? n ) ? (m ? n ) ? (2mn) 即 ?ABC 的三边满足勾股定理,所以 ?ABC
2 2 2 2 2 2

是一个直角三角形。进而可以采用直角三角形的面积公式求解,其中边: m 是直角边, m ? n 是斜边。所以 ?ABC 的面积 ?
2 2

2

? n 2 与 2mn

1 2 (m ? n 2 ) ? 2mn ? mn (m 2 ? n 2 ) 。 2 a?b?c 注:海伦公式:如果一个三角形的三边长分别是 a , b , c ,设 p ? ,则 2

S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 。
勾股定理证明相关的垂直关系是比较常用的“以数助形”的一种手法,能够利用熟练 的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用, 可以避免使用比较繁琐的海伦公式, 进而使

问题的求解得到简化。 例 4、如图在平面直角坐标系中, A(2,3) , B(5,3) , C (2,5) 是三角形的三个顶点,求
y

BC 的长。
这是人教版九年级上册 21.1 二次根式练习中的第二题,这一 题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离。而在本题中

C (2,5)

A(2,3)

B(5,3)

?ABC 是直角三角形,所以利用勾股定理可得 BC = AC 2 ? AB2
= 2 2 ? 32 ? 13 。

O

x

这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公 式。 利用同样的思 想可以推 导出平面上两 点之间的 距离公式:平 面上点 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ,则 A , B 两点之间的距离 d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 。两点之间的距离公
式对求解相关的距离问题是比较常用的“以数助形”的一种方法,能够利用熟练的利用这种 思想能够使相关几何中距离问题的求解得到极大的简化。 二、以形助数 几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂, 所以在谈到 “数形结合” 思想时, 就更偏好于“以形助数”的方法,利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直 观的运用于代数中主要体现在几个方面: (1)利用相关的几何图形帮助记忆代数公式,例如:完全平方公式与平方差公式; (2) 利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义, 通过构造几何图形, 进而帮助求解相关的代数问题,或者简化相关的代数运算。 例 5、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形,请观察这四个图形的面积与 拼成的大长方形的面积之间的关系。 q p x x x q x )?(

p

(1)根据你发现的规律填空: x ? ( p ? q) x ? pq =(
2



(2)利用(1)的结论将下列多项式分解因式:

① x ? 7 x ? 10
2

② y 2 ? 7 y ? 12

这是《宿迁市市直初中 2007~2008 学年度八年级第一学期期末考试》中的第 22 题,这 一题实质上是在推导人教版八年级上册数学第 15 章选学部分关于 x 2 ? ( p ? q) x ? pq 型式 子的因式分解。 利用这个图形能比较方便的得出 x 2 ? ( p ? q) x ? pq 的分解结果为 (x ? p) (x?q) ,进而可以得出此题第(2)问的求解:① ( x ? 2)(x ? 5) ,② ( y ? 3)( y ? 4) 。而 且利用这样的数形结合的方法还能加深对 x 2 ? ( p ? q) x ? pq 型式子的因式分解结果的记 忆,另外像平方差公式、完全平方式都可以利用这一思想加深其记忆。 例 6、已知 a 、 b 均为正数,且 a ? b ? 2 。求 a 2 ? 4 ? b 2 ? 1 的最小值。 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角形 利用勾股定理进行处理。如图作线段 AB ? 2 ,在 AB 上截 取 AE ? a , EB ? b ,过点 A 作 AC ? AB ,且使得 AC ? 2 , 过点 B 作 BD ? AB ,且使得 BD ? 1 。这种构图后可以得到两 个直角三角形,所以可以使用勾股定理得到 CE ?
2
D
1 B

C

A

a

a ?4,
2

E

b

BD ? b 2 ? 1 ,所以本题中求解的问题实质上就是求这两
个直角三角形的斜边长之和最小。在图形中延长 CA 至点 G ,

2

2

G

使得 AG ? AC ,连接 GE ,由三角形两边之和大于第三边可知当 G、E、D 三点共线时,

2

F

GE ? ED ? DG 最短。所以 a 2 ? 4 ? b 2 ? 1 最小值就是线段 DG 的长度。下面求解 DG ,延长 DB 至点 F ,使得 BF // AG 且 BF ? AG ,连接 GF ,此时构出一个直角三角
形 即 Rt ?DGF , 在 这 个 直 角 三 角 形 中 DG ?

DF 2 ? GF 2 ? 32 ? 22 ? 13 , 所 以

a 2 ? 4 ? b 2 ? 1 的最小值为 13 。
三、函数中数形结合思想的运用 例 7、某物流公司的快递车和货车每天往返于 A、B 两地,快递车比货车多往返一趟。 下图表示快递车距离 A 地的路程 y (单位:千米)与所用时间 x (单位:时)的函数图象。 已知货车比快递车早 1 小时出发,到达 B 地后用 2 小时装卸货物,然后按原路、原速返回, 结果比快递车最后一次返回 A 地晚 1 小时。 (1) 请在下图中画出货车距离 A 地的路程 y (千米)与所用时间 x (时)的函数图象;

(2) 求两车在途中相遇的次数(直接写出答案) ; (3) 求两车最后一次相遇时,距离 A 地的路程和货车从 A 地出发了几小时。

y (千米)
200 150 100 50 O -2 -1 1 -50

1 2 3

4

5 6 7

8 9 x (时)

这是《无为县 2010/2011 学年度第一学期八年级期末测试卷》第 23 题,也是《安庆市 2010/2011 学年度第一学期八年级期末测试卷》 第 23 题, 在此题中利用相关的函数图象对行 程问题进行求解起到了事半功倍的效果。 (1)问中的图象如图所示; (2)4 次; 利用一次函数的思想进行求解对第(3)问进行求解。 (3)如图所示, ,设直线 EF 的解析式

0) , (5,200 ) 为 y ? k1 x ? b1 ,∵图象过 (9, ,
?200 ? 5k 1 ? b1 ?? ?0 ? 9k1 ? b1 ?k1 ? ?50 ?? ?b1 ? 4 5 0
200 150 100 50 设直线 CD 的解析式为 y ? k 2 x ? b2 , -1 O

y (千米)

E C

? y ? ?50x ? 450。①

G

F D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x (时)

200) , ? 图象过 (8,0) , (6,

?200 ? 6k 2 ? b2 ?? ?0 ? 8k 2 ? b2

? k 2 ? ?1 0 0 ?? ?b2 ? 8 0 0

? y ? ?100x ? 800。②

解由①,②组成的方程组得 ?

?x ? 7 ? y ? 100

? 最后一次相遇时距离 A 地的路程为 100km,货车从 A 地出发 8 小时 。
像这种利用函数图象解决相关代数问题的题型在人教版八年级上册第 14 章中比较多, 另外像初中代数中的一元一次不等式, 在函数中可以利用函数图象来看这样的一元一次不等 式。对于有些可以比较繁琐的不等式利用函数观点求解可以使得求解的过程得到简化。

数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感 方面有很大的启发作用 , 利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化 , 抽象问题具体化。 正如数学 家华罗庚说过的:数形结合千般好,数形分离万事休。数形结合思想是一种贯穿初中数学和 高中数学的一种重要思想方法, 在数学解题中适当使用这种思想可以使得问题得到极大的简 化。

参考文献:

1、 《巧学初中数学 80 法》程旷主编 农村读物出版社。 2、 《义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册》 3、 《义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级上册》 4、安徽省 2011~2012 学年度第一学期第一次联合考试试卷 人民教育出版社 人民教育出版社 七年级数学 数学

5、宿迁市市直初中 2007~2008 学年度八年级第一学期期末考试 6、无为县 2010~2011 学年度第一学期期末质量检测试卷

八年级数学试卷


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