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立体几何知识点总结


立体几何
一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示(正交基底,唯一的有序实数组,坐标) 二、空间向量的运算法则(加减数乘,平行的判定,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 )

? ? ? ? a ?b ? ) 三、空间向量直角坐标的数量积(模长公式,距离公式,夹角 cos a ? b ? ? | a |?| b |
四、直线的方向向量及平面的法向量 (1)直接法:找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量。 (2)待定系数法:建立空间直接坐标系,在平面内找两个不共线的向量。 五、判定定理和性质(括号内代表符号语言的个数) 1、线面平行 判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (3) 性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 (3) 2、面面平行 判定 1:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 (5) 判定 2:如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行。 (2) 判定 3:平行于同一个平面的两个平面平行。 (2) 性质 1:如果两个平面平行,那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。 (2) 性质 2:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。 (3) 性质 3:如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线。 (2) 3、线面垂直 判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 (5) 性质 1:如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线。 (2) 性质 2:垂直于同一个平面的两条直线平行。 (2) 性质 3:两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(2) 4、面面垂直 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (2) 性质 1:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (4) 六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角:已知两异面直线 a,b, A, B ?a, C, D?b ,则异面直线所成的角θ ??? ? ??? ? AB ? CD ? ??? ? 为: cos? ? ??? AB CD 2、平面的法向量的求法:设 n=(x,y,z),利用 n 与平面内的两个向量 a,b 垂直,其数量积 为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解。

3、线面角的求法:设 n 是平面α 的一个法向量, AB 是平面α 的斜线 l 的一个方向向量,则

?

??? ?

??? ? ? AB ? n ? ?? ? 直线 l 与平面α 所成角为 ? 则 sin ? ? ???? AB ? n

4、二面角的求法:(1)AB,CD 分别是二面角α —l—β的两个面内与棱 l 垂直的异面直线, 则二面角的大小为 AB, CD

(2)设 n1,n2分别是二面角α —l—β的两个平面α ,β的法向量,则 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 , | n1 || n2 |

n1 , n2 就是二面角的平面角或其补角。

5、异面直线间距离的求法:l1,l2是两条异面直线,n 是 l1,l2的公垂线段 AB 的方向向量,

???? ??? ? | DC ? n | 又 C、D 分别是 l1,l2上的任意两点,则 | AB |? |n|

6、点面距离的求法:设 n 是平面α 的法向量,AB 是平面α 的一条斜线,则点 B 到平面α 的

??? ? | AB ? n| 距离为 |n|

7、线面距、面面距均可转化为点面距离。

注意:异面直线所成角范围:(0, 直线和平面所成角范围[0, 二面角范围:[0, ? ]

? ] 2

? ] 2



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