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江苏省镇江市丹徒高级中学高中数学必修四学案:2.3.1平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理 【教学目标】了解平面向量基本定理,掌握平面向量基本定理及其应用. 【教学重点】平面向量基本定理. 【教学难点】平面向量基本定理的应用. 【教学过程】 一、引入: 1.向量共线定理: 一般地,对于两个向量 a(a ? 0), b ,如果有一个实数 ? ,使____________( ) ,那 么 b 与 a 是共线向量; 反之, 如果 b 与 a(a ? 0) 是共线向量, 那么有且只有一个实数 ? , 使_____________. 2. (1)火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度. (2)力的分解: (举例说明) vy v vx j O (3)平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢? 如图,设 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量, a 是平面内的任一向量. i e1 3.平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 + ?2 e2 . 4.我们把____________的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内________向量的一组基底. 一个平面向量用一组基底 e1 , e2 表示成 a ? ?1 e1 + ?2 e2 的形式,我们称它为向量 a 的 ________, 当 e1 , e2 所在直线互相________时,就称为向量的正交分解. 二、新授内容: 例 1.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M , AB ? a, AD ? b ,试用 基底 a, b 表示 MC, MA, MB 和 MD . D M B C a e2 A → → 【变式拓展】1.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB= a ,AC= b, → → → 用 a , b 表示AD,AE,AF. → 2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM=c, → → → AN=d,试用 c,d 表示AB,AD. 例 2. 设 e1 , e2 是平面内的一组基底, 若 AB ? 3e1 ? 2e2 ,BC ? 4e1 ? e2 ,CD ? 8e1 ? 9e2 . 求证: A, B, D 三点共线. OC ? 【变式拓展】 设 a, b 是两个不共线的非零向量, 设 OA ? a, OB ? tb(t ? R) , 那么当实数 t 为何值时,A,B,C 三点共线? 1 ( a ? b) , 3 三、课堂反馈: 1.若 e1,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________. ①e1-e2,e2-e1 ②2e1+e2,e1+2e2 ③2e2-3e1,6e1-4e2 ④e1+e2,e1-e2 2. 已知 a ,b 是不共线向量, 实数 ? , ? 满足向量等式: 3?a ? (10 ? ?)b ? (2? ?1)a ? 2?b , 则 ? ? _______, ? ? ________. → → → → → → 3. 如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 a,b 表示AD,则AD=________. ? ? 4.设向量 m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用 m,n 表示 p. 5.设 P, Q 分别是四边形的对角线 AC 与 BD 的中点, BC ? a , DA ? b ,并且 a, b 不是共 线向量, 试用基底 a, b 表示向量 PQ . D C Q P A B b a 四、课后作业: 1 . 若 e1 , e2 表 示 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 , 则 下 列 四 组 向 量 中 不 能 作 为 基 底 的 是 . ① e1 ? e2 和 e1 ? e2 ; ③ e1 ? 3e2 和 3e1 ? e2 ; ② 3e1 ? 2e2 和 4e2 ? 6e1 ; ④ e2 和 e1 ? e2 . 2.若 e1 , e2 不共线, a ? e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? ?e2 ,要使 a, b 能成为平面内所有向量的一组 基底, 则 ? 的范围_________________. 3.下面三种说法中,正确的是 .(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有 无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量. 4 . 若 OA ? e1 ? e2 , OB ? 3e1 ? e2 , OC ? me1 ? 5e2 , 且 A, B, C 三 点 共 线 , 则 实 数 m? . . 5.设 a, b 是不共线向量,若 a ? 4b 与 k a ? b 共线,则实数 k ? → → → 6.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ、μ ∈R, 则 λ+μ= . 7 . ?ABC 中,若 D, E, F 依次是 AB 的四等分点,则以 CB ? e1 , CA ? e2 为基底时, CF ? . 8.如图, ABCD 是一个梯形, AB // CD 且 AB ? 2CD , M 、 N 分别是 DC 和 AB 中点, 已知 AB ? a, AD ? b ,试用 a, b 表示 BC 和 MN . D M C A N B 9. 如图, D, E, F 分别是的边 BC, CA, AB 上的点, 且 AF ? 1 1 1 AB ,BD ? BC , CE ? CA , 4 4 4 若 AB ? a , AC ? b ,试用 a , b 分别表示 DF , DE , EF . A F E B D C 10.如图所示,在△ABC 中,点 M 是


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