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山东省各地市2012年高考数学(文科)最新试题分类大汇编8:导数(2)[来源:学优高考网2095104]


【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文】18.(本小题满分12分) 已知直线

l 与 函 数 f ( x) ? ln x 的 图 象 相 切 于 点 ( 1 , 0 ), 且 l 与 函 数

g ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) 的图象也相切。 2 2

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x)

? f ( x ? 1) ? g ?( x) ,求函数 h( x) 的最大值.

【答案】18. 解: (1)? f ?( x) ?

1 , 直线 l是函数 f ( x) ? ln x 的图象在点(1,0)处的切线。 x ? 其斜率为k ? f ?(1) ? 1, ? 直线l的方程为y ? x ? 1 又因为直线 l与g ( x) 的图象相切, ?y ? x ?1 1 2 9 ? ?? 1 2 7 ? x ? (m ? 1) x ? ? 0, 2 2 y ? x ? m x? ? 2 2 ?

得? ? (m ? 1) 2 ? 9 ? 0 ? m ? ?2(m ? 4不题意, 舍去).???6分 1 2 7 (2)由(1)知 g ( x) ? x ? 2 x ? , 2 2 ? ? h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? 2( x ? ?1), 1 ?x ? h?( x) ? ?1 ? ( x ? ?1). x ?1 x ?1 当 ? 1 ? x ? 0时, h?( x) ? 0;当x ? 0时, h?( x) ? 0. , 在(0,??) 上单调递减。 于是, h( x)在(?1,0)上单调递增 h(0) ? 2. 所以,当 x ? 0时, h( x)取得最大值
【山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考文】20(本小题满分 14 分) 2010 年世博会在上海召开,某商场预计 2010 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种世博 商品的需求总量 P(x)件与月份 x 的近似关系是: P ( x ) ?

1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x)( x ≤12 且 2

x ? N *).
(Ⅰ)写出第 x 月的需求量 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若第 x 月的销售量

? f ( x) ? 21x,1 ? x ? 7且x ? N *, ? g ( x) ? ? x 2 1 2 (单位:件) ,每件利 ( x ? 10 x ? 96 ), 7 ? x ? 12 且 x ? N * ? x ?e 3
润 q( x) 元与月份 x 的近似关系为: q( x) ?

1000 e x ?6 ,求该商场销售该商品,预计第几 x
6

月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少? (e ? 403 ) 【答案】20(1)当 x ? 1 时, f (1) ? P(1) ? 39 ;
- 1 - / 19

当 x ? 2 时,

f ( x) ? P( x) ? P( x ? 1) ?

1 1 x( x ? 1)(41 ? 2 x) ? ( x ? 1) x(43 ? 2 x) 2 2

? 3x(14 ? x) ;


f ( x) ? ?3 x 2 ? 42x, ( x ? 12, x ? N ? )
1 ? x ? 7, 7 ? x ? 12, 且x ? N * ,

?3000e x ?6 (7 ? x), ? (2) h( x) ? q( x) ? g ( x) ? ?1000 1 3 2 ? 6 ( x ? 10 x ? 96 x), 3 ? e

?3000e x ?6 (6 ? x), 1 ? x ? 7, ? h '( x) ? ?1000 且x ? N * ; ? 6 ( x ? 8)( x ? 12), 7 ? x ? 12, ? e
∵当 1 ? x ? 6 时, h' ( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 x ? [1, 6] 上单调递增,
? ∴ 当 1 ? x ? 7 且 x ? N 时, h( x) max ? h(6) ? 3000;

∵当 7 ? x ? 8 时, h' ( x) ? 0 ,当 8 ? x ? 12 时, h' ( x) ? 0 ,
? ∴当 7 ? x ? 12 且 x ? N 时, h( x) max ? h(8) ?

1000 ? 299 1000 ? 299 ? ? 3000 ; 403 e6
x

综上,预计第 6 个月的月利润达到最大,最大月利润为 3000 元 【山东省潍坊市 2012 届高三上学期期末考试文】9.函数 f ( x) ? e ? x (e 为自然对数的底 数)在区间[-1,1]上的最大值是 A. 1 ?

1 e

B.1

C.e+1

D.e-1

【答案】D 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】5.函数 y ? ?2e ? sin x
x
x A. ?2e cos x

?1 ? a ? 0 ? 的导数是
x

B. ?2e ?sin x ? cos x ?
x

x C. 2e sin x

D. ?2e ?sin x ? cos x ?

【答案】 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】15. 函数 y ? f ? x ? 的导函数图象如图所示,则下面

判断正确的是
- 2 - / 19

A.在 ? ?3,1? 上 f ? x ? 是增函数 B.在 x ? 1 处 f ? x ? 有极大值 C.在 x ? 2 处 f ? x ? 取极大值 D.在 ?1,3? 上 f ? x ? 为减函数 【答案】C 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】17. 曲线 y ? x 2 ? 11在点 P ?1,12 ? 处的切线方程是 【答案】 2 x ? y ? 10 ? 0 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】24.(14 分) 设函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】24. (Ⅰ) 又 f '? x? ? a ?

a ? 2 ln x. x

f ( x) 在 x ? 2 时有极值,? 有 f ' ? 2? ? 0 ,

?????? 2 分

a 2 a 4 ? ,? 有 a ? ? 1 ? 0 ,? a ? 2 x x 4 5 4 4 2 2 ?有 f ' ? x ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 x2 ? 5x ? 2 ? , 5 5x x 5x 1 , x2 ? 2 , 由 f ' ? x ? ? 0 有 x1 ? 2
又 x ? 0 ? x, f ' ? x ? , f ? x ? 关系有下表

????????5 分

???7 分

x
f '? x?
f ? x?

0? x?

1 2

x?
0

1 2

1 ?x?2 2

x?2
0

x?2

?
递增

?
递减

?
递增

? 1? ? f ( x) 的 递 增 区 间 为 ? 0, ? ? 2? ?1 ? ? ,2? ?2 ?
????????9 分



?2, ???



递 减 区 间 为

(Ⅱ)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 f ' ? x ? ? 0 在 x ? 0 时恒成立,????????10 分

- 3 - / 19

f '? x? ? a ?
化为 a ?

a 2 ax 2 ? 2 x ? a ? ? ,? 需 x ? 0 时 ax 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,???11 分 2 2 x x x

2x 恒成立, x ?1
2

2x 2 ? ? 1 ,? 需 a ? 1 ,此为所求。????14 分 x ?1 x ? 1 x
2

【 山 东 省 济 南 市 2012 届 高 三 12 月 考 】 29 . (本小题满分 8 分)设函数

y ? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 24x ? y ? 12 ? 0 .
(Ⅰ)求 c , d ; (Ⅱ)若函数在 x ? 2 处取得极值 ? 16 ,试求函数解析式并确定函数的单调区间. 【答案】29. (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 R ,

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,∴ f ?(0) ? c ;
∵切线 24x ? y ? 12 ? 0 的斜率为 k ? ?24 ,∴ c ? ?24 ; 把 x ? 0 代入 24x ? y ? 12 ? 0 得 y ? 12 ,∴P(0,12), ∴ d ? 12 . ∴ c ? ?24 , d ? 12 . (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) ? ax ? bx ? 24x ? 12
3 2

-----------------1 分 -----------------2 分 -----------------3 分

-----------------4 分

由已知得: ?

? f (2) ? ?16 ?8a ? 4b ? 36 ? ?16 www.GkStK.com ?? ? f ?(2) ? 0 ? 12a ? 4b ? 24 ? 0

∴?

?a ? 1 -----------------5 分 ?b ? 3
3 2

∴ f ( x) ? x ? 3x ? 24x ? 12 ∴ f ?( x) ? 3x ? 6x ? 24 ? 3( x ? 2x ? 8) ? 3( x ? 4)(x ? 2)
2 2

-----------------6 分

由 f ?( x) ? 0 得, x ? ?4或x ? 2 ; 由 f ?( x) ? 0 得, ? 4 ? x ? 2 ; ∴ f ( x) 的单调增区间为 (??,?4), (2,??) ; 单调减区间为 (?4,2) . -----------------8 分 -----------------7 分

- 4 - / 19

【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】 33. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x(a ? R) (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最大值和最小值; (Ⅱ)如果函数 g ( x), f1 ( x), f 2 ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) , 那么就称 g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数”.已知函数

1 1 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax .若在区间 (1,??) 上, 2 2
函数 f ( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,求 a 的取值范围. 【答案】33. (本小题满分 12 分)
2 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? ln x,f ?( x) ? 4 x ?

1 4x 2 ? 1 ? ; ----------1 分 x x

对于 x ? [e, e 2 ] ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上为增函数, ∴ f ( x) max ? f (e 2 ) ? 2 ? 2e 4 , f ( x) min ? f (e) ? 1 ? 2e 2 . -----------------3 分

(Ⅱ)在区间 (1,??) 上,函数 f ( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,则 f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ,
2 令 p( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立, ------4 分

1 2

1 2 x ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立, ------5 分 2 1 [( 2a ? 1) x ? 1]( x ? 1) ∵ p ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ? (*) --------------6 分 x x 1 1 1 ①若 a ? ,令 p?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1, x 2 ? ,当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时, 2 2a ? 1 2
且 h( x ) ? f 1 ( x ) ? f ( x ) ? ? 在 ( x2 ,??) 上有 p?( x) ? 0 , --------------7 分

此时 p ( x) 在区间 ( x2 ,??) 上是增函数,并且在该区间上有 p( x) ? ( p( x2 ),??) ,不合题意;

p( x) ? ( p(1),??) ,也不合题意;
②若 a ?

-----------------8 分

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1,??) 上恒有 p?( x) ? 0 , 2

从而 p ( x) 在区间 (1,??) 上是减函数; 要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立, 只需满足 p(1) ? ?a ? -----------------9 分

1 1 1 1 ?0?a?? , 所以 ? ? a ? . 2 2 2 2

- 5 - / 19

又 因 为 h?( x) ? ? x ? 2a ? 数.

a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a) 2 ? ? ? 0, h( x) 在 (1,??) 上 是 减 函 x x x

1 1 ? 2a ? 0 ,所以 a ? . 2 4 1 1 综合可知 a 的取值范围是 [ ? , ] . 2 4 h( x) ? h(1) ? ?
另解: (接在(*)号后) 先考虑 h( x) ,

-----------------10 分

h?( x) ? ? x ? 2a ?

a2 ( x ? a) 2 ?? ? 0 ,--------------8 分 x x

1 1 ? 2a ? 0 ,解得 a ? .-----------7 分 2 4 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 而 p ?( x) ? 对 x ? (1,??) ,且 a ? 有 p?( x) ? 0 . --------8 分 x 4 1 1 1 1 只要 p(1) ? 0 ,即 a ? ? 2a ? 0 ,解得 a ? ? ,所以 ? ? a ? ,--------9 分 2 2 2 4 1 1 即 a 的取值范围是 [ ? , ] . -----------------10 分 2 4
h( x) 在 (1,??) 上递减,只要 h(1) ? 0 ,即 ?
【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】7. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a = A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

【答案】D 【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】17.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 , f ?( x) 为

f ( x) 的导函数,已知 y ? f ?( x) 的图象如图所示,若两个正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

b?2 的取值范围是 a?2
- 6 - / 19

1 1 3 2 1 C. ( ,3) 2
【答案】C

A. ( , )

B. (?? , ) ? (3,?? ) D. (??,3)

1 2

【山东省济南外国语学校 2012 届高三 9 月质量检测】11.已知 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导数, y= f ?( x) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 y= f ( x) 的 图 象 最 有 可 能 是 下 图 中 ( )

【答案】B 【山东省济南外国语学校 2012 届高三 9 月质量检测】22. (12 分)已知函数 f(x)=x3-ax2 -3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个 交点?若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 【答案】22.【解】 (1)f′(x)=3x -2ax-3. ∵f(x)在[1,+∞)是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,即 3x -2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立, 则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0.∴a≤0. ???4 分 3 1 (2)依题意,f′(- )=0, 3 1 2 即 + a-3=0. 3 3 ∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x.
- 7 - / 19
3 2 2 2

a

令 f′(x)=3x -8x-3=0, 1 得 x1=- ,x2=3. 3 则当 x 变化时,f′(x)与 f(x)变化情况如下表

2

x f′(x) f(x)

1

(1,3) -

3 0 -18

(3,4) +

4

- 6

-12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. ???8 分 3 2 (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点, 即方程 x -4x -3x=bx 恰有 3 个 不等实根. 3 2 ∴x -4x -3x-bx=0, ∴x=0 是其中一个根, 2 ∴方程 x -4x-3-b=0 有两个非零不等实根.
? ?Δ =16+4(3+b)>0 ∴? ?-3-b≠0 ?

∴b>-7 且 b≠-3. ∴存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b>-7 且 b≠-3. ???12 分 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】4.函数 y ? x cos x ? sin x 的一个递增 区间是( A. ( , )

? 3?
2 2

)

B. (? ,2? ) C. (

3? 5? , ) 2 2

D. (2? ,3? )

【答案】B 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】10.函数 f ( x) ? 3 ? x ln x 的单调递减区 间是( ) A.(–∞, )
1 e

B. (0,

1 ) e

C. ( , ? ?)

1 e

D. ( , e)

1 e

【答案】B 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】 20. (本小题满分 12 分)已知

f ( x) ? ln x ?

a ? 2. g ( x) ? ln x ? 2 x x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)试问过点 (2,5) 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x) 相切?请说明理由。 【答案】20.解: (1) f ?( x) ?

x?a ( x ? 0) x2

????????1 分

- 8 - / 19

(ⅰ)当 a ? 0 时,

f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

??????3 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,若 0 ? x ? a, 则 f ?( x) ? 0 ;若 x ? a, 则 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 ? 0, a ? 上单调 递减,在 (a, ??) 上单调递增 分 (2)设切点为 ? x0 ,ln x0 ? 2x0 ? ????????5

g ?( x) ?

1 ?2 x

??????6 分

? 切线方程为: y ? ? ln x0 ? 2 x0 ? ? (

1 ? 2)( x ? x0 ) x0 1 ? 2)(2 ? x0 ) x0
????????8 分 ??????9 分

切线过点(2,5)? 5 ? ? ln x0 ? 2 x0 ? ? ( 即 x0 ln x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ??(*) 令 ?( x) ? x ln x ? 2 x ? 2 , ??( x) ? ln x ? 1

当 0 ? x ? e 时, ??( x) ? 0 ;当 x ? e 时, ??( x) ? 0

?? ( x) 在 ? 0, e ? 上单调递减,在 (e, ??) 上单调递增


????????10 分

1 2e ? 3 ?1 ? ?(e) ? ?e ? 2 ? 0, ?( ) ? ? 0, ? (e 2 ) ? 2 ? 0 ??( x) ? 0 在 ? , e2 ? 上有两个零 e e ?e ?
点,即方程(*)在 ? 0, ??? 上有两个根

? 过点 ? 2,5? 可作两条直线与曲线 y ? g ( x) 相切.
x (2 ? x)e x , g ( x ) ? . ex e2 (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ) 求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x); f ( x) ?
(Ⅲ) 如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ). 【答案】21.解:⑴∵ f ( x) = 分) 令 f ?( x) =0,解得 x ? 1 .

????????12 分

【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】21. (本小题满分 12 分)已知函数

x 1? x ,∴ f ?( x) = x . x e e

(2

x

(??,1)

1

(1, ??)

- 9 - / 19

f ?( x) f ( x)

+ ↗

0 极大值



1 e

↘ (3 分)

∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) = ⑵证明: 令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 . e

(4 分)

x (2 ? x)e x ? ,则 ex e2
(6 分)

F ?( x) =

1 ? x e x (1 ? x) (1 ? x)(e2 ? e 2 x ) ? ? . ex e2 e x?2

2 2x 当 x ? 1 时, 1 ? x <0, 2 x >2,从而 e ? e <0,

∴ F ?( x) >0, F ( x) 在 (1, ??) 是增函数.

∴F ( x) ? F (1) ?

1 1 ? ? 0, 故当x ? 1时,f ( x) ? g ( x). e e

(8 分)

⑶证明:∵ f ( x) 在 (??,1) 内是增函数,在 (1, ??) 内是减函数. ∴当 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, x1 、 x2 不可能在同一单调区间内. ∴ x1 ? 1 ? x2 , 由⑵的结论知 x ? 1 时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) >0,∴ f ( x2 ) ? g ( x2 ) . ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 又 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ). (12 分)

【山东省济宁一中 2012 届高三第三次定时检测文】 10. 函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导 函数 y ? f '( x) 的图象是如图 所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象的顶点在 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【山东省莱州一中 2012 届高三第二次质量检测】22.(本小题满分 14 分)
1 设函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? ax,g(x) ? 2x 2 ? 4x ? c . 3 (1) 试问函数 f (x) 能否在 x ? ?1 时取得极值?说明理由; (2) 若 a=-1,当 x ? [ ?3, 4] 时,函数 f (x) 与 g(x) 的图像有两个公共点,求 c 的取值范围.

- 10 -/ 19

【答案】22.解: (1)由题意 f '(x) ? x 2 ? 2ax ? a , 假设在 x ? ?1 时 f (x) 取得极值,则有 f '(?1) ? 1 ? 2a ? a ? 0,? a ? ?1 ??????4 分 而此时, f '(x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1)2 ? 0 ,函数 f (x) 在 R 上为增函数,无极值. 这与 f (x) 在 x=-1 有极值矛盾,所以 f (x) 在 x=-1 处无极值.????????6 分 (2)设 f (x) ? g(x) ,则有 x3 ? x 2 ? 3x ? c ? 0,? c ? x 3 ? x 2 ? 3x 设 F(x) ? x3 ? x 2 ? 3x,G(x) ? c ,令 F'(x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 .解得 x1 ? ?1 或 x ? 3 .?8 分 列表如下: X
F'(x)

1 3

1 3

1 3

-3

(-3,-1) +

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增
?

4
20 3

F(x)

-9



由此可知:F(x)在(-3,-1) 、 (3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数。??10 分
5 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= ;当 x=3 时,F(X)取得极小值 3

F(-3)=F(3)=-9,而 F(4)=-

20 . ???????12 分 3 如果函数 f (x) 与 g(x)的图像有两个公共点,则函数 F(x) 与 G(x) 有两个公共点。

所以 ?

20 5 ? c ? 或 c ? ?9 .????????????????????14 分 3 3

【 山 东 省 莱 州 一 中 2012 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 】 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x), 且 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 ,则 x ? 0 时( ) A. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 C. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 B. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 D. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0

【答案】B 【山东省临清三中 2012 届高三上学期学分认定文】21. (本小题满分 12 分)

设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2 Inx x

(1)若 f ( x)在x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围 【答案】21.(本小题满分 12 分)

0, ? ?) 解: (I) f ( x)的定义域是(
f ' ( x) ? ax2 ? 2 x ? a x2
依题意 f ' ( 2) ? 0, 解得 a ?

4 ………………….3 分 5

- 11 -/ 19

4 2 4 2 x ? 2x ? (2 x ? 1)(x ? 2) 5?5 f ' ( x) ? 5 x2 x2 1 1 当x ? (0,. ), f ' ( x) ? 0, x ? ( ,2).,f ' ( x) ? 0, .x ? (2,?? ), f ' ( x) ? 0 2 2 1 1 ? ?)上是增函数,在( , 2)上是减函数 ……..6 分 所以 f ( x)分别在( 0, )和(2, 2 2
(II)由(I)知 f ' ( x) ?

ax2 ? 2 x ? a , 令h( x) ? ax2 ? 2 x ? a 2 x

则由 h( x) ? a( x 2 ? 1) ? 2 x ? 0, x 2 ? 1 ? 0

a?

2x ? x ?1
2

2 1 x? x

…………………………………………………………………….9 分

? x ? 0, x ?

1 ? 2,? x

2 x? 1 x

?

2 ? 1 ……………………………………………………12 分 2

?a ?1

所以a ? ?1,??. f ( x)在定义域上是增函数………………………………………….14 分
【 山 东 省 临 清 三 中 2012 届 高 三 上 学 期 学 分 认 定 文 】 9. 若 曲 线

f(x) ? x 4 ? x在点P处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为
A.(1,0) 【答案】A B. (1,5) C.(1, ? 3 ) D. ( ?1,2)

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】8.设 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ? 1 在(-∞,+∞) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 A. ( ) C.

? ??, ?

3? ?

? 3, ?? ?

?

B. ?? 3, 3 ? ? ? ? ?

? ??, ? 3 ? ?

3, ?? D. ? 3, 3

? ?

?

【答案】B 【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】 11.若函数 f ( x) ? 则 a= A.5 【答案】D ( B.6 ) C.7

x2 ? a 在 x=2 处取得极值, x ?1
D.8

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】12.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足
f (4 ? x) ? f ( x),( x ? 2) f '( x) 0

,若 x1

x2 且 x1 ? x2

4 ,则(

) D.不确定

A. f ( x1 )

f ( x2 )

B. f ( x1 )

f ( x2 )

C. f ( x1 ) ? f ( x2 )
- 12 -/ 19

【答案】B 【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】14.函数 f ( x) ? 3x ? sin x, x ?? 0,1? 的最小 值 . 【答案】1

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 1)e x , a ? R

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值;

(2)若函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】21.解析(1)因为 f '( x) ? (ax ? a ? 1)e x ,所以当 a=1 时, f '( x) ? xe x , ??2 分 令 f '( x) ? 0, 则 x=0,所以 f ( x), f '( x) 的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) 0 +

↘ ↗ f(x) 极小值 所以 x=0 时,f(x)取得极小值 f(0)=-1. (2)因为 f '( x) ? (ax ? a ? 1)ex , 函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,所以 f '( x) ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立.??6 分 又 e x 0 ,所以只要 ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立,??8 分 解法一:设 g ( x) ? ax ? a ? 1 ,则要使 ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立,

? g (0) ? 0, 只要 ? 成立,??10 分 ? g (1) ? 1

?a ? 1 ? 0, 即? 解得 a ? 1 .??12 分 ? 2a ? 1 ? 0
0 ,所以 a ?

解法二:要使 ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立,因为 x 因为函数 g ( x) ?

1 对 x ? (0,1) 恒成立, x ?1

1 1 在(0,1)上单调递减,所以只要 a ? g (0) ? ? 1. x ?1 0 ?1

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】22. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x) ?
ln x , x 1 处的切线方程; e

(1)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ?

(2)求 y ? f ( x) 的最大值; (3)设实数 a
0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ? a,2a? 上的最小值.

【 答 案 】 22. 解 析 ( 1 )

f ( x)

定 义 域 为 ( 0 , + ∞ ),

- 13 -/ 19

? f '( x) ?

1 ? ln x 1 1 ? f ( ) ? ?e, 又 k ? f '( ) ? 2e2 , x2 e e

1 1 处的切线方程为 y ? e ? 2e2 ( x ? ),即y ? 2e2 x ? 3e. ????4 分 e e (2)令 f '( x) ? 0得x ? e. 当 x ? (0, e) 时, f '( x) 0, f(x)在(0, e)上为增函数;
? 函数 y ? f ( x)在x ?

1 0, f ( x) 在(e,+∞)上为减函数,? f ( x)max ? f (e) ? . ??7 分 e (3)∵a>0,由(2)知:F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ? F(x)在[a,2 a]上的最小值 F ( x)min ? min{F (a), F (2a)}. 1 a F (a) ? F (2a) ? ln , ? 当 0 a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, F ( x)min ? F (a) ? ln a; 2 2

当 x ? (e, ??) 时, f '( x)

当 2<a 时, F (a) ? F (2a)

1 0, F ( x) min ? F (2a) ? ln 2 a. ??14 分 2 e , Fmin ? F (a) ? ln a ??8 分 2 ln 2a 2 e 2 a 2 时, Fmin ? ln a ??12 分

(3)另法:①2 a<e,即 a ② a ? e ? 2a 即 1° 2
e ?a?e 2

F (a) ? ln a, F (2a) ?

a ? e 时 Fmin ?

ln 2a ??10 分 2 ln 2a ??13 分 2
2 时, Fmin ?

2°,

③ a e 时, Fmin ? F (2a) ?
?0

a ? 2 时 Fmin ? ln a a

1 ln 2a ??14 分 2

【山东省聊城一中 2012 届高三上学期期中考试文】15.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞), 部分对应值如下表.f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如图所示.若实数 a 满足 f(2a +1)<1,则 a 的取值范围是_________

x f(x) 【答案】 ? ?

-2 1

0 -1

4 1

? 3 3? , ? ? 2 2?
3 2

【山东省聊城一中 2012 届高三上学期期中考试文】2.函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9, 已知

f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a 的值等于(
A.2 【答案】D B.3 C.4

) D.5

- 14 -/ 19

【山东省青岛十九中 2012 届高三上学期模块检测文】5.曲线 y= x3 ? 3x2 有一条切线与直线 3 x+y=0 平行,则此切线方程为 A. x-3y+l=0 C. 3x - y -l = 0 【答案】D ( B. 3x+y-5=0 D. 3x+ y -l= O )

【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学(文) 】14.若曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 .
[来源

【答案】 ? ??,0?

【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学(文) 】 22 . (本小题满分 14 分)已知函数 . f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 , 问:

m 在什么范围取值时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [

m ? f ?( x)] 在区 2

间 (t ,3) 上总存在极值? 【答案】22. (本小题满分 14 分) 解: (Ι )由

f ?( x ) ?

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ;??????6 分 (Ⅱ)由

a (1 ? x ) 知: x

f ?(2) ? ?

a ? 1 得 a ? ?2 2 f ' ? x? ? 2 ? 2 x.
?????????8 分

∴ f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 ,

m ?m ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x 2 ?2 ? 2 ∴ g '( x) ? 3x ? (4 ? m) x ? 2 ,
∵ 函数 g ( x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴ g ?( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内????10 分 又∵函数 g ?( x ) 是开口向上的二次函数,且

g ?(0) ? ?2 ? 0 ,∴
????12 分

? g ?(t ) ? 0 ? ? g ?(3) ? 0
由 所以

g ?(t ) ? 0得m ?

2 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t ) ? ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调递减, t t 37 ; 3

H (t ) min ? H (2) ? ?9 ; ∴ m ? ?9 , 由 g ?(3) ? 27 ? 3(4 ? m) ? 2 ? 0 , 解得 m ? ?

综上得: ?

37 37 ? m ? ?9 所以当 m 在 ( ? ,?9) 内取值时,对于任意 t ? [1,2] ,函数 3 3 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ ? f ?( x)] ,在区间 (t ,3) 上总存在极值 . ????14 分 2
2

【 山 东 省 青 州 市 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 3 . 已 知 f ( x) ? x ? 3 xf '(1) , 则 f '(1)为

- 15 -/ 19

A.-2 C .0 D.1 【答案】B 【 山 东 省 滕 州 二 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 】 10: 如 图 所 示 的 曲 线 是 函 数

( ) B.-1

2 等于 ( ) f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x 2 8 5 10 16 A. B. C. D. 9 4 9 9

【答案】C 【 山 东 省 滕 州 二 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 】 21: ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 曲 线

(1)求 k ?1? 的值;

ax3 1 2 y? ? bx ? cx 在点 x 处的切线斜率为 k ( x) ,且 k (?1) ? 0 ,对一切实数 x ,不等式 3 2 1 x ? k ? x ? ? x 2 ? 1 恒成立( a ? 0 ). 2

?

?

(2)求函数 k ? x ? 的表达式; (3)求证:

1 1 1 ? ? ? k (1) k (2) k (3)

?

1 2n ? . k ( n) n?2
1 2 x ?1 , 2

【答案】21.解: (1) k ? x ? ? ax ? bx ? c ,

2

x ? k ? x? ?

?

?

? 1 ? k ?1? ?

1 ?1?1? ? 1 , ? k ?1? ? 1 2

???.2 分

? 1 ? ?a ?b?c?0 ? b? 2 ? k ( ?1)?0 ? ?? ?? ? (2) ?k (1)?1 ? ? ? a ?b?c ?1 ?a ?c ? 1 ? 2

??..4 分

k ? x? ? x
1 1 2 1 2 1 ? ax ? x ? c ? x , ax ? x ? c ? 0, ? ? ? 4ac ? 0,? ac ? 2 2 4 16 ,
又 ac ?

1 1 1 1 ( a ? c )2 ? ac ? ,? ac ? ,? a ? c ? ? 1 即 4 16 16 16 16 4

? k ? x? ?

1 2 1 1 1 2 x ? x ? ? ? x?1? 4 2 4 4

??.8 分

1 4 (3)证明: k x ? ? ? ? x ?1?2 .
- 16 -/ 19

∴原式 ?

4

?1?1?2

?

4

? 2?1?2

?

4

? 3?1?2

???

? ?1 1 1 1 ? ? 4? ? ? ? ?? ??..10 分 ? ? 22 32 42 ? n?1?2 ? n ?1?2 ? ?
4

? 1 1 1 ? 1 ? ? 4? ? ? ??? ? 2?3 3?4 4?5 ? n?1?? n? 2 ? ? ?

1 1 ? ?1 1 1 1 1 1 ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n?1 n?2 ? ?2 3 3 4 4 5

n 2n ?1 1 ? ? 4? ? ? ? ? 4? 2? n?2? n?2 ? 2 n? 2 ?

????.12 分

【 山 东 省 微 山 一 中 2012 届 高 三 10 月 月 考 数 学 ( 文 ) 】 21 、 ( 14 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t 2 x ? t ?1, x ? R,其中t ? R ,
(1)当 t=1 时,求曲线 y ? f ( x)在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求的单调区间; (3)证明:对任意的 t ? (0, ??), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 解析:(1)简单考查导数的几何意义,导数运算以及直线方程; (2)考查导数在研究函数的单 调性方面的运用,分类讨论; (3)考查分类讨论,函数与方程以及函数零点的性质,是中档 偏上题。 (1)当 t=1 时, f ( x) ? 4x3 ? 3x2 ? 6x, f (0) ? 0, f ?( x) ? 12x2 ? 6x ? 6, f ?(0) ? ?6,

所以曲线y ? f ( x)在点(0, f (0))处的切线方程为y ? ?6x.
2 2 (2) f ?( x) ? 12 x ? 6tx ? 6t , 令f ?( x) ? 0,解得x ? ?t或x ?

t . 2

因为 t≠0,以下分两种情况讨论: ①若 t ? 0则 x

t ? ?t ,当x变化时,f ?( x) f ( x) 的变化情况如下表: 2 t t (??, ) ( , ?t ) 2 2
+ -

(-t,∞) +

f ?( x )
f ( x)

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ) , (-t,∞) ; f ( x ) 的单调递减区间是 ( , ?t ) 。 ②若 t ? 0则 ? t ?

t 2

t 2

t , 当x变化时,f ?( x) f ( x) 的变化情况如下表: 2

- 17 -/ 19

) ; f ( x) 的单调递减区间是 ( ?t , ) 。 所以, f ( x ) 的单调递增区间是(-∞,t) , ( , ??
综上可得: 当 t<0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ) , (-t, ∞) ; f ( x ) 的单调递减区间是 ( , ?t )

t 2

t 2

t 2

t 2

( , ?? ) ;f ( x) 的单调递减区间是 ( ?t , ) 。 当 t>0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (-∞, t) ,
(3)由(2)可知,当 t>0 时, f ( x ) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( , ??) 内单调递增, 以下分两种情况讨论:

t 2

t 2

t 2

t 2

t ? 1即t ? 2时,f ( x) 在(0,1)内单调递减, 2 f (0) ? t ?1 ? 0, f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0. 所以对任意 t ? [2, ??], f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 t t t ②当 0 ? ? 1即0 ? t ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( ,1) 内单调递增, 2 2 2
①当

1 7 7 若t ? (0,1], f ( ) ? ? t 3 ? 1 ? 1 ? ? t 3 ? 0, 2 4 4 2 f (1) ? ?6t ? 4t ? 3 ? ?6t ? 4t ? 3 ? ?2t ? 3 ? 0, t 所以f ( x)在( ,1)内存在零点. 2 1 7 7 若t ? (1, 2), f ( ) ? ? t 3 ? (t ? 1) ? ? t 3 ? 1 ? 0, f (0) ? t ? 1 ? 0, 2 4 4 t 所以f ( x)在(0, )内存在零点. 2
【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学(文) 】4.曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12)处 的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.-10 B.-3 C.10 D.15 【答案】C
2

解析: y

'

x ?1

? 2, 所以在点 P(1,12)处的切线为 y ? 12 ? 2( x ? 1),即2 x ? y ? 10 ? 0 ,令 x=0
2

得:x=10,简单考查导数运算以及几何意义,直线方程,是简单题. 【山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文】20. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln x ,曲线 ,且在 P 点处的切斜线率为 2. y ? f ( x) 过 P(1,0) (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ? 2 x ? 2 .

- 18 -/ 19

b f ?( x) ? 1 ? 2ax ? . x 【答案】20. (I)

? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 即? ? ? f (1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2. ,解得 a ? ?1, b ? 3. 由已知条件得 ?
2 (II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x ? 3ln x.

设 g ( x) ? f ( x) ? (2x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3ln x, 则
2

g ?( x) ? 1 ? ?2 x ?

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? . x x

当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少.
而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2.

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