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2018版高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和一课件新人教A版必修5_图文

第二章 数 列 §2.3 等差数列的前n项和 (一) 学习 目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊 到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn的关系,能够由 其中三个求另外两个. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 数列前n项和的概念 把a1+a2+…+an叫数列{an}的前n项和,记做 Sn . 则a1+a2+a3+…+ an-1= Sn-1 (n≥2). 思考 由Sn与Sn-1的表达式可以得出 ? ?Sn-Sn-1 an= ? ? ?S 1 ? n ≥2 ? , ?n=1?. 答案 1: 1 na1+2n(n-1)d 2.公式2:若首项为a1,公差为d,则Sn可以表示为Sn= . 答案 3.推导方法:倒序相加法 过程:Sn=a1+a2+…+an, Sn=an+an-1+…+a1, ∵a1+an=a2+an-1=…=an+a1, ∴2Sn=n(a1+an), n(a1+an) ∴Sn= . 2 4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式 (1)公式的变形 n?n-1?d d 2 d Sn=na1+ =2n +(a1-2)n. 2 (2)从函数角度认识公式 ①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项; ②当d=0时,Sn=na1,不是项数n的二次函数. (3)结论及其应用 已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C, 若C=0,则数列{an}为等差数列; 若C≠0,则数列{an}不是等差数列. A 解析 S3=a1+a2+a3=3a2=6, ∴a2=2, 又a1=4,∴d=-2. 解析答案 知识点三 等差数列前n项和的性质 ? ?Sn? ? ? 项和,则数列? n ? 也是 ? ? ? 1.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 为其前 n d 等差数列,且公差为2. 2.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和, 则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为 m2d . an S2n-1 3.设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则b = . T2n-1 n 答案 4.若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1), S偶 an+1 S 偶-S 奇=nd, = a . S奇 n 5.若等差数列的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)an+1, S偶 n S 偶-S 奇=-an+1, = . S奇 n+1 思考 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项 设{an}的前3m项和是S, 和是________. 210 解析 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m分别为30,70,S-100. 由性质知30,70,S-100成等差数列. ∴2×70=30+(S-100), ∴S=210. 解析答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 例1 与等差数列Sn有关的基本量的计算 在等差数列{an}中, 5 3 (1)已知 a1=6,an=-2,Sn=-5,求 n 和 d; 5 3 n?a1+an? n( ? ) 6 2 =-5,解得 n=15. 解 由题意得,Sn= = 2 2 5 3 1 又 a15=6+(15-1)d=-2,∴d=-6. 1 ∴n=15,d=-6. 解析答案 (2)已知a1=4,S8=172,求a8和d. 8?a1+a8? 8?4+a8? 解 由已知得 S8= = = 172 , 2 2 解得a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. ∴a8=39,d=5. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 在等差数列{an}中, (1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10; 解 ? 5×4 ?S5=5a1+ d=5, 2 ? ? ?a6=a1+5d=10, 解得 a1=-5,d=3. ∴a8=a6+2d=10+2×3=16, 10×9 S10=10a1+ 2 d=10×(-5)+5×9×3=85. 解析答案 (2)已知a3+a15=40,求S17. 解 17×?a1+a17? 17×?a3+a15? 17×40 S17= = = = 340. 2 2 2 解析答案 题型二 等差数列前n项和性质的应用 例2 A.13 C.49 解析 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等 B.35 D.63 7 7 7 S7=2(a1+a7)=2(a2+a6)=2(3+11)=49. 于( C ) 解析答案 7n a5 Sn (2)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,已知T = ,则b 等 n+3 n 5 于( D ) A.7 2 B.3 70 C.13 21 D. 4 解析 a1+a9 2 a5 S9 7×9 21 = = = = . b5 b1+b9 T9 9+3 4 2 解析答案 (3)已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1(n∈N ),其前 n 项和为 Sn,则数 * Sn 75 列{ n }的前 10 项的和为________. 解析 n?3+2n+1? ∵Sn= =n(n+2). 2 Sn ∴ n =n+2, Sn ∴数列{ n }是以首项为 3,公差为 1 的等差数列, 10×9 Sn ∴{ n }的前 10 项和为 10×3+ 2 ×1=75. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( C ) A.100 B.99 C.98 D.97 9(a1+a9


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