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数学奥林匹克高中训练题(38)(精编)


数学奥林匹克高中训练题(38)
第 一 试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.已知连结 A(-3,0) ,B(0,-3) ,C( 径 R 的取值范围是( (A) ? 0, ). ( B) ?

15 24 , )的三角形与圆 x2+y2=R2(R>0)总有公共点. 则圆半 7 7
? ? ? 3 2? ? ? (3, ??) 2 ? ?
? ? (D) ? 3 2 ,3 ? ? 3 ? ? ?

? ? ?

? 3 10 ? ? 3 89 ?? , ?? ? ? ? ? ? 10 ? ? 7 ?

? 3 10 3 89 ? ? 10 , 7 ? ? ? ?

(C) ? 0,

2.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB、DB1、A1D1、CC1两两成异 面直线. 现作一对相交直线 l1 、 l2 ,使 l1 与 AB 、 DB1 均相交, l2 与 A1D1 、 CC1均相交,这样的相交直线有( ). (A)0对 (B)1对 (C)多于1的有限对 (D)无限对 3.如图,过⊙ O 外一点 A 作圆的两条切线 AB 、 AC,连 BC. 则△ ABC 的周长 P 与劣弧 BC 的长 l 之间的关系为( ). (A)P>2l (B)P=2l (C)P2<l (D)不能确定,与 A 的位置有关 4.已知 x 为锐角. 则 sin x ? cos x ?
3 3

D A D A B O B B

C

C

2 ? 是 x ? 的( 2 4

).

A

l

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 C 5.如图1,矩形 B1BCC1由正方形 B1BAA1与 A1ACC1拼接而成. 现将图形沿 A1A 对折成直二面角;如图2, 取线段 B1C 内一点 P,记 P 到 AB 的距离为 PE,P 到 A1C1的距离为 PF,则 PE 与 PF 的关系为( ). (A)PE> PF (B)PE=PF (C)PE<PF (D)不能确定,与点 P 的位置有关 A1 C A1 F B 6. 对 b> a>0, 取第1象限的点 A( y k) (k=1, 2, …, B k xk , C n) ,使 a,x1,x2,…, xn,b 成等差数列,而 a,y1, P y2,…, yn,b 成等比数列. 则各点 A1、 A2、…、 An 与射线 l∶y=x( x>0)的关系为( ). B A A (A)各点均在射线 l 的上方 (B)各点均在射 C B C 图 图 线l上 (C)各点均在射线 l 的下方 (D)不能确定 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.方程 log5(3x+4x)=log4(5x-3x)的解集合为 .

y

B S2 E

2.在直角坐标系上,Rt△OAB 三个顶点的坐标为 O(0,0) ,A(1,0) ,B(1,2) . 在斜边上任取一点 C( x ,2x ) (0< x <1) ,过 C 作 CD ⊥ OA 于 D ,作 CE ⊥ AB 于 E. 记△ OCD 的面积为 S1(x),矩形 CDAE 的面积为 S2(x),△CEB 的面积为

C

S3(x)(如图) ;又对同一个 x ,记 f(x)为 S1(x), S2(x), S3(x)中的最大值.当 C 在
线段 OB 内变化时,f(x)的最小值为 .

S1 S3 O D
1

x
. 种. .

3. 满足(an-1)(an+1+1)=0(n=1, 2, …, 99)的不同数列 a1, a2, …, a100共有 个. 4.已知纯虚数 x1,x2,…, x1999的模均为1. 则 x1x2+x2x3+…+x1998x1999+x1999x1被4除所得的余数为 5.身高两两不等的10个人排一列,每个人都比前面的人高或都比前面的人矮. 则的排法数有 6. 用1, 2, …, n, 组成无重复数字的 n 位数, 规定2不得与1或3相邻时共得2400个不同的 n 位数. 则 n=

三、(本题满分20分)已知抛物线 S:y=ax +bx+c(a≠0)与二次曲线 ax +y +bx+ay+c+a=0的4个不同的交点,由 草图3、4可以看出,下面三个结论是成立的,请给出证明.
2 2 2

(1)两曲线的 4 个交点中,至少有两个交点位于 x 轴的下方; (2)抛物线 S 必与 x 轴有两个不同的交点,记为(x1,0) , (x2,0) , x1 ≠ x2 ; (3)两曲线的 4 个交点中,必存在一点(x0,y0) ,使(x0-x1)(x0-x2)<0. 注:对 a、 b、 c 的不同取值会有无数个图形,此处仅就 a< b,0< a<1 各给出一个示意图,同时也就 限制“由图看出”的解答.

y

y

O
-1

O x
-1 图4

x

图3

四、(本题满分20分)如图,点 O 表示太阳,△ ABC 表示一个三角形遮阳栅,点 A、 B 是地面上南北方向的 两个定点,正西方向射出的太阳光线 OCD 把遮阳栅投射到地面得出遮影△ABD. 已知光线 OCD 与地面成 锐角θ. (1)遮阳栅与地面成多少度角时,才能使遮影△ ABD 面积最大? (2)当 AC=3,BC=4,AB =5,θ=30°时,求出遮影△ABD 的最大面积.

O C

A D

B

五、(本题满分20分)由草图可见,方程 log 5 (1 ?

x ) ? log16 x 有且仅有一个解. 请证明这个结论.
y

x

第 二 试 一、(本题满分50分)已知直角梯形 ABCD 的直角腰 AB 存在一点 E,使△CDE 为正三角形,又 求

AE 4 . ? CD 4

AE 的值. AB
A D

E B C

二、(本题满分50分) 圆周上有 n 个点( n≥2) ,用弦两两连结起来,其中任何3条弦都不在圆内共点. 现将 由此形成的互不重叠的圆内区域的个数记为 an. (1)直接画图求出 a2,a3, a4, a5,a6; (2)确定 an 的表达式.

三、(本题满分50分)求证:数列 an ? 3 cos( n arccos )( n ? 1, 2,?) 的每项都是整数,但都不是3的倍数.
n

1 3



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