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江苏省常州市武进区2016届高三上学期期中考试数学(理)试卷

2016 届 第 一 学 期 期 中 考 试
2015.11

高三理科数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡 相应的位置上)
1.已知集合 M ? x 2 x ? 1 ? 3 ,集合 N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M 2.已知 z 是复数, i 是虚数单位,若 zi ? 1 ? i ,则 z =
2

?

?

?

?

N?







. ▲ .

3.已知命题 p : ?x ? (0, ??), x ? x ? 2, 则命题 p 的否定是 4.函数 f ( x) 的定义域是 [?1,1] ,则函数 f (log 1 x) 的定义域
2

开始 输入 x x>1? 否 y=x2-1 是







5.执行如右图所示的程序框图.若输出的结果为 3,则可输入的实 数 x 的个数为 ▲ . ▲ .

1 ? 6.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? cos ?
7.若实数 x , y 满足约束条件 ? 围是 ▲ .

y=log2 x

输出 y 结束

?1 ? x ? y ? 3 ,则 3 x ? y 的取值范 ??1 ? x ? y ? 1

第 5 题图

8.已知向量 a ? (1,2), b ? (0,1) ,设 u ? a ? k b , v ? 2a ? b ,若 u // v , 则实数 k 的值为 ▲ .

9.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? 7? ? ? , x ? ?0, ? 的图象与直线 y ? m 的三个交点的横坐标分别 6? ? 3 ?
▲ .

为 x1 、 x2 、 x3 ,其中 x1 ? x2 ? x3 ,那么 x1 ? 2 x2 ? x3 的值为 10.已知 x 、 y 为正实数,且 2 x ? y ? 1 ,则

y 1 ? 的最小值为 x y





11. 设函数 f ? x ? =mx ? 2 ,g ? x ? ? x 2 ? 2 x ,?x0 ? ? ?1, 2? ,?x1 ? ? ?1, 2? , 使得 f ? x0 ? ? g ? x1 ? ,

1

则实数 m 的取值范围是





12.已知非零向量 a ,b 满足 | a ? b |?| a ? b |?

2 3 | a | ,则 a ? b 与 a 的夹角为 3





13 .已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,设其导函数为 f ' ? x ? ,当 x ? ? ??,0? 时,恒有
xf ' ? x ? ? f ? ? x ? , 则 满 足

1 ? 2 x ? 1? f ? 2 x ? 1? ? f ? 3? 的 实 数 x 的 取 值 范 围 是 3





14.定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时,f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 , 若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 R 上至少有四个零点,
2

则 a 的取值范围是





二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤)
15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 4a cos B ? c cos B . ⑴ 求 cos B 的值; ⑵ 若 BA ? BC ?

3 , b ? 3 ,求 a 和 c . 2

16. (本题满分 14 分) 如图, 在矩形 ABCD 中, AB ? ⑵ 若 AE ? BF ? 点 F 在边 CD 上. 2 , BC ? 2 ,点 E 是 BC 边的中点, ⑴ 若 O 是对角线 AC 的中点, AO ? ? AE ? ? AD (?、? ? R ) ,求 ? ?

? 的值;

2 ,求线段 DF 的长.
D F

C

O

E

A

B
2

17. (本题满分 14 分) 如图所示, AB 是半径长为 1 的半圆的一条直径, 现要从中截取一个内接等腰梯形 ABCD, 设梯形 ABCD 的面积为 y . ⑴ 设 CD ? 2 x ,将 y 表示成 x 的函数关系式并写出其定义域; ⑵ 求梯形 ABCD 面积 y 的最大值.

D

C

A

O

B

18. (本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1,y1 ) 在单位圆 O 上, ?xOA ? ? , 且? ? ?

?? ? ? , ?. ?6 2?

⑴ 若 cos(? ?

?

3

)??

11 ,求 x1 的值; 13

⑵ 若 B ( x2,y2 ) 也是单位圆 O 上的点, 且 ?AOB ?

?
3

. 过点 A、B 分别做 x 轴的垂线,

垂足为 C、D ,记 ?AOC 的面积为 S1 , ?BOD 的面积为 S 2 .设 f 求函数 f

?? ? ? S1 ? S2 ,

?? ? 的最大值.
y
B A

x

D

O

C

3

19. (本题满分 16 分) 已知点(p,q)是平面直角坐标系错误!未找到引用源。 xOy 上一点,错误!未找到引用 源。 x1 , x2 是方程错误!未找到引用源。 x 2 ? px ? q ? 0 的两个实根, 记错误!未找到引用源。 ? ( p, q) ? max{| x1 |,| x2 |} (表示 | x1 |,| x2 | 中的较大值). ⑴ 过点错误!未找到引用源。 A(2,1) 作抛物线 L:错误!未找到引用源。 y ?

1 2 x 的 4 切线交 y 轴于点 B, 对线段 AB 上的任一点 Q(p, q), 求错误! 未找到引用源。 ? ( p, q )
的值;

? 1 3 ? ? y≤? x ? ? ? ? ? ? 2 4 ? 错误!未找到引用源。 ⑵ 设 D ? ?( x, y ) ? ,当点(p,q)在区域 D 上运 ? ? ? y ≥ 1 x2 ? 3 x ? 3 ? ? ? 4 2 2? ? ? ? 动时,求 ? ( p, q) 错误!未找到引用源。的最小值和最大值.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ax 2 ? 2lnx . ⑴ 求 f ? x ? 的单调区间; ⑵ 若 f ? x ? 在 ? 0,1? 上的最大值是 ?2 ,求 a 的值; ⑶ 记 g ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? 1 , 当 a ? ?2 时 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , 总 有

g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ? k x1 ? x2 成立,试求 k 的最大值.

4

高三理科数学参考答案及评分意见
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. ? ?1, 2 ? 4. [ ,2] 8. ? 2. 1 ? i 5.2 6. 3. ?x ? (0, ??), x ? x ? 2
2

1 2

5 2

7. [1 , 7] 11. ? ? ,3 ?

1 2

9.

10? 3

10. 2 2 ? 1

? 3 ? 2

? ?

12.

? 6

13. ? ?1, 2 ?

? 3? 14. ? 0, ? ? 3 ? ?

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 解:⑴由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 又 b cos C ? 4a cos B ? c cos B ∴ sin B cos C ? 4sin A cos B ? sin C cos B ,…………………2 分 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 4sin A cos B ∴ sin ? B ? C ? ? 4sin A cos B , …………………4 分 ∴ sin A ? 4sin A cos B , 又 sin A ? 0 , ∴ cos B ? 分 ⑵由 BA ? BC ?

, ,

1 . 4

…………………7

3 3 1 得 ac cos B ? ,又 cos B ? ,∴ ac ? 6. 2 2 4

…………………9 分

由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 3 可得 a 2 ? c 2 ? 12 , ∴ ? a ? c ? ? 0 ,即 a ? c ,∴ a ? c ?
2

…………………11 分 …………………14 分

6.


16. (本题满分 14 分) 【 解







AO ?

1 1 1 1 1 1 AC ? ( AE ? EC ) ? ( AE ? AD) ? AE ? AD ,…………………4 分 2 2 2 2 2 4 1 1 ∴? ? ,? ? , …………………6 2 4 3 . 4
…………………7

分 ∴? ? ? ? 分 ⑵设 DF ? m DC (m ? 0) ,则 CF ? (m ? 1) DC ,
5

∴ AE ? AB ?

1 BC , 2

BF ? CF ? BC ? (m ? 1) DC ? BC ? (m ? 1) AB ? BC , …………………10 分
又 AB ? BC ? 0 , ∴
2 2 1 1 BC ) ? [(m ? 1) AB ? BC ] ? (m ? 1) AB ? BC = 2(m ? 1) ? 2 ? 2 2 2

AE ? BF ? ( AB ?
, ∴m ?

2 , 2
2 ? 2 ? 1 ,即 DF 的长为 1. 2

…………………12 分

∴ | DF |?| m || DC |?

…………………14 分

也可以建立平面直角坐标系,表示出 AE 与 BF 的坐标,阅卷根据情况酌情给分. 17. (本题满分 14 分) 解:⑴解:如图所示,以直径 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 中垂线为 y 轴,建立平面直 角坐标系,过点 C 作 CE ? AB 于 E, ∵ CD ? 2 x ,∴ OE ? x(0 ? x ? 1) , CE ? 1 ? x 2 分 ∴ y ? 1 ( AB ? CD ) ? CE ? 1 (2 ? 2 x) 1 ? x 2 2 2 …………………2

? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1)
6分

…………………

(说明:若函数的定义域漏写或错误,则扣 2 分) ⑵(方法 1)∴ y ?

( x ? 1) 2 (1 ? x 2 ) ? ? x 4 ? 2 x 3 ? 2 x ? 1 ,

令 t ? ? x 4 ? 2 x3 ? 2 x ? 1 , 则 t ' ? ?4 x ? 6 x ? 2 ? ?2(2 x ? 3 x ? 1) ? ?2( x ? 1) (2 x ? 1) , …………………10
3 2 3 2 2

分 ∴当 0 ? x ? 1 时, t ' ? 0 ,∴函数在(0, 1 )上单调递增, 2 2

6

当 1 ? x ? 1 时, t ' ? 0 ,∴函数在( 1 ,1)上单调递减, 2 2 分 所以当 x ? 1 时, t 有最大值 27 , ymax ? 3 3 16 4 2 答:梯形 ABCD 面积的最大值为

……………12

3 3 平方米. 4

…………14 分

2 ?2(2 x ? 1)( x ? 1) ( 方法 2) y ' ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? 1 ? ?2 x ? ?2 x ? x ? 1 = , ………10 2 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2

分 ∴当 0 ? x ? 1 时, y ' ? 0 ,∴函数在(0, 1 )上单调递增, 2 2 当

1 ? x ? 1 时, y ' ? 0 ,∴函数在( 1 ,1)上单调递减,………………12 分 2 2

所以当 x ? 1 时, ymax ? 3 3 , 4 2 答:梯形 ABCD 面积的最大值为 18. (本题满分 16 分) 解:⑴由三角函数的定义有 x1 ? cos ? , ∵ cos(? ? ∴ sin(? ? …………………2 分

3 3 平方米.…………………………14 分 4

?
3

)??

11 ? ? ,? ? ( , ) , 13 6 2
…………………4 分

?
3

)?

4 3 , 13

? ?? ? ∴ x1 ? cos ? ? cos ?(? ? ) ? ? 3 3? ?

? ? ? ? 11 1 4 3 3 1 ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin .…………………7 分 ?? ? ? ? ? 3 3 3 3 13 2 13 2 26 1 1 1 ⑵由 y1 ? sin ? ,得 S1 ? x1 y1 ? cos ? sin ? ? sin 2? . 2 2 4 ? ? ? ? ? ? 5? 由定义得 x2 ? cos(? ? ) , y2 ? sin(? ? ) ,又由? ? ( , ) ,得? ? ? ( , ) , 3 3 6 2 3 2 6 1 2 ? 1 1 ? ? ) ,…………………10 分 于是, S 2 ? ? x2 y2 ? ? cos(? ? )sin(? ? ) ? ? sin(2? ? 4 3 2 2 3 3 1 1 2? 1 1 2? 2? ) = sin 2? ? (sin 2? cos ? cos 2? sin ) ∴ f (? ) ? S1 ? S 2 ? sin 2? ? sin(2? ? 4 4 3 4 4 3 3

7

3 3 3 3 1 3 ? = sin 2? ? cos 2? = ( sin 2? ? cos 2? ) = sin(2? ? ) ,…………………14 分 8 8 4 2 2 4 6 ? ? ? ? 5? 由? ? ( , ) ,可得2? ? ? ( , ) , 6 2 6 6 6
于是当2? ?

?
6

?

?
2

,即 ? ?

?
3

时,f (? ) max ?

3 .…………………16 分 4

19. (本题满分 16 分) 解:⑴ k AB ? y ' |x ? 2 ? ( x) |x ? 2 ? 1 ,直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ( x ? 2) , 即 y ? x ?1 , …………………………2 分.
1 2

? q ? p ? 1 ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 的判别式 △? p 2 ? 4q ? ( p ? 2) 2 ,

两根 x1,2 ?

p? | 2 ? p | ? 1或 p ?1 , 2

…………………………4 分 …………………………6 分.

0 ≤ p ≤ 2 , ?| p ? 1|≤ 1 , ?? ( p, q) ? 1 .

1 3 ? y?? x? ? 1 3 ? 2 4 ⑵错误!未找到引用源。解方程组 ? ,得交点 (1, ), (3, ? ) , 1 3 3 4 4 2 ?y ? x ? x ? ? 4 2 2 ?

可知 1 ? p ? 3 , p 2 ? p ? ? q ? ? p ? , 方程 x 2 ? px ? q ? 0 错误!未找到引用源。的两根为 x1,2 ?
1 ? p ? 3 ,? ? ( p , q )

1 4

3 2

3 2

1 2

3 4

…………………………8 分

1 ( p ? p 2 ? 4q ) , 2

? max{| x1 |,| x2 |} ?

1 ( p ? p 2 ? 4q ) .…………………………10 2
1 2 p ? 6p ? 6 , 2

分 又 q ≥ p 2 ? p ? ,即 p 2 ? 4q ≤ 6 p ? 6 , ? ( p, q) ? ( p ? p 2 ? 4q ) ≤
? 当 p ? 3 时, p ? 6 p ? 6 ≤ 3 ? 2 3 2 2
1 4 3 2 3 2

, ??max ? ? 3 ;

3 2

…………………………13

分 错误!未找到引用源。
q≤? 1 3 1 p? ? ( p, q ) ? ( p ? 2 4, 2
p 2 ? 4q ) ≥ p? p2 ? 2 p ? 3 2 ,

又错误!未找到引用源。 1 ≤ p ≤ 3,? p ? p 2 ? 2 p ? 3 单调递增, ? 当 p ? 1 时,错误!未找 到引用源。 ?
?? min ? 1 . 2

p?

p2 ? 2 p ? 3 1 ≥ , 2 2

…………………………16 分

20. (本题满分 16 分) 解:⑴ f ? x ? 的定义域是 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ? 2ax ?

2 2ax 2 ? 2 . ? x x

8

当 a ≥ 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; 分当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x1 ? ?

…………………………1

1 1 , x2 ? ? ? (舍去) a a

? ? 1? 1? 当 x ? ? 0, ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数; ? ? a? a? ? ? ? ?


? ? 1 x ? ? ? , ?? ? 时 , ? ? a ? ?

f ?? x? ? 0 , 故

? ? 1 f ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上 是 减 函 ? ? a ? ?

数.…………………………3 分 故当 a ≥ 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ?? ? ;

? ? ? 1? 1 当 a ? 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ? ? ,减区间是 ? ? , ?? ? .…………………………4 ? ? ? a? a ? ? ? ?
分 ⑵①当 a ≥ 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,故在 ? 0,1? 上的最大值为 f ?1? ? a ? ?2 , 显然不合题意; 分 …………………………5

?a ? 0 ? 1? ? ②若 ? , 即 ?1 ≤ a ? 0 时, 则 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数, 故在 ? 0,1? 0, ? ? , ? 0,1? ? ? 1 ? a? ? ? ≥1 ? ? ? a
上最大值为 f ?1? ? a ? ?2 ,不合题意,舍去; 分 …………………………6

?a ? 0 ? ? 1? 1 ? ? ③若 ? ,即 a ? -1 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数,在 ? ? ,1? 上为减函数,故 1 ? ? ? a? a ? ? ? ?1 ? ? ? ? a
? 1? 1 在 ? 0,1? 上的最大值是 f ? ? ? ? ?1 ? 2ln ? ? ?2 ,解得: a ? ?e ,符合. ? ? a? a ?
综合①、②、③得: a ? ?e . 分 ⑶ g ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax 2 ? 1 , 则 g?? x ? ? 故 数. 当 …………………………8

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 , 当 a ≤ ?2 时,g ? ? x ? ? 0 , ? 2ax ? x x


a ≤ ?2





g ? x?

? 0, ?? ?









…………………………10 分
9

不 妨 设 x2 ≥ x1 ? 0 , 则 g ? x2 ? ≤ g ? x1 ? , 故 g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ k x1 ? x2 等 价 于

g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ k ? x2 ? x1 ? ,即 g ? x 1 ? ? kx1 ≥ g ? x2 ? ? kx2 .
记 ? ? x ? ? g ? x ? ? kx ,从而 ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数,…………………………12 分 由 ? ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax 2 ? kx ? 1 得:

? ? a ? 1? 2ax 2 ? kx ? a ? 1 恒成立,…………………………14 分 ? 0 ,故 k ? ?2ax ? x x ? ? a ? 1? ?2ax ? ? 2 2a ? a ? 1? ,又 h ? a ? ? 2a ? a ? 1? 在 ? ??, ?2? 上单独递减, x ? ? a ? 1? ? h ? a ? ? h ? ?2 ? ? 4 ,??2ax ? ? 2 2a ? a ? 1? ? 4 ,? k ? 4 . x

??? x? ?

故当 a ≤ ?2 时, k

的最大值为 4.

…………………………16 分

10



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