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2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析新人教A版选修

2.1.1 椭圆及其标准方程 椭圆的定义 [提出问题] 取一条定长的细绳,把它的两端分别固定在图板的两点 F1,F2 处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖. 问题 1:若绳长等于两点 F1,F2 的距离,画出的轨迹是什么曲线? 提示:线段 F1F2. 问题 2:若绳长大于两点 F1,F2 的距离,画出的轨迹还是线段吗?其图形又是什么? 提示:不是线段,椭圆. [导入新知] 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个 定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. [化解疑难] 定义中的条件 2a>|F1F2|>0 不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来 的.否则: (1)当 2a=|F1F2|时,其轨迹为线段 F1F2; (2)当 2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. 椭圆的标准方程 [提出问题] 在平面直角坐标系中,设 A(-4,0),B(4,0),C(0,4),D(0,-4). 问题 1:若|PA|+|PB|=10,则点 P 的轨迹方程是什么? x2 y2 提示:轨迹方程为25+ 9 =1. 问题 2:若|PC|+|PD|=10,则点 P 的轨迹方程是什么? y2 x2 提示:25+ 9 =1. [导入新知] 若|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a(a>c),则椭圆的标准方程、焦点坐标及 a,b,c 的关系 见下表: 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 1 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系 xa22+yb22=1(a>b>0) (-c,0),(c,0) c2=a2-b2 ya22+xb22=1(a>b>0) (0,-c),(0,c) [化解疑难] 1.标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴或 y 轴上,对称轴是坐标 轴. 2.标准方程的代数特征:方程右边是 1,左边是关于 x,y 的平方和,并且分母不相等. 3.a,b,c 三个量的关系:椭圆的标准方程中,a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和 的一半,可借助图形帮助记忆. 椭圆标准方程的识别 [例 1] 当 3<k<9 x2 y2 时,指出方程9-k+k-3=1 表示的曲线. [解] ∵3<k<9, ∴9-k>0,k-3>0. (1)当 9-k>k-3,即 3<k<6 时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; (2)当 9-k=k-3,即 k=6 时,方程表示圆 x2+y2=3; (3)当 9-k<k-3,即 6<k<9 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. [类题通法] 根据椭圆标准方程的两种形式可知,焦点在哪一坐标轴上,哪一变量对应的分母大,即 x2 对应的分母大,焦点就在 x 轴上;y2 对应的分母大,焦点就在 y 轴上. [活学活用] x2 y2 已知椭圆10-m+m-2=1 的焦点在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于________. 解析:由题意得 m-2>10-m>0, 解得 6<m<10. 又 a2=m-2,b2=10-m, 则 c2=a2-b2=2m-12=4, 解得 m=8. 答案:8 2 求椭圆的标准方程 [例 2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0). [解] (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上, 所以设它的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0). 将点(5,0)代入上式解得 a=5,又 c=4, 所以 b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为25+ 9 =1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以设它的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0). 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0), ??4 0 a2+b2=1, 所以 ?0 1 ??a2+b2=1, ??a2=4, ? ???b2=1. 故所求椭圆的标准方程为y42+x2=1. [类题通法] 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条 坐标轴上,以判断方程的形式; 2)“定量”是指确定 a2,b2 的具体数值,常根据条件列方程求解. [活学活用] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过两点(2,- 2),???-1, 214???; y2 x2 (2)过点( 3,- 5),且与椭圆25+ 9 =1 有相同的焦点. x2 y2 解:(1)法一:若焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 3 ??4 2 a2+b2=1, 由已知条件得 ?1 14 ??a2+4b2=1, ??1 1 a2=8, 解得? 1 1 ??b2=4. x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 8 + 4 =1. 若焦点在 y 轴上, 设椭圆的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0). ??4 2 b2+a2=1, 由已知条件得 ?1 14 ??b2+4a2=1, ??1 1 b2=8, 解得? 1 1 ??a2=4. 即 a2=4,b2=8, 则 a2<b2,与题设中 a>b>0 矛盾,舍去. x2 y2 综上,所求椭圆的标准方程为 8 + 4 =1. 法二:设椭圆的一般方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0, A≠B).将两点(2,- 2),???-1, 214???代入, ??4A+2B=1, 得???A+144B=1, ??A=18, 解得???B=41, 4 x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 8 + 4 =1. y2 x2 (2)因为所求椭圆与椭圆25+ 9 =1 的焦点相同, 所以其焦点在 y 轴上,且 c2=25-9=16. 设它的标准方程为ya22+xb22=1(a>b


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