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2018届山西省太原市高三第三次模拟考试理科数学试题(解析版)

太原市 2018 年高三年级模拟试题(三) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】详解:解不等式得集合 A,B 进而求 分析:集合 ,则 故选 C. 点睛:本题主要考查了集合的运算,属于基础题. 2. 若 A. 3 B. 5 C. ,则 的值为( D. ) . ,再求交集即可. , B. C. D. ,则 ( ) 【答案】D 【解析】分析:由复数的除法运算得,进而求模即可. 详解:由 . 故选 D. 点睛:本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念,属于基础题. 3. “ ”是“ ”恒成立的( B. 必要不充分条件 ) ,可得 . A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】设 D. 既不充分也不必要条件 成立;反之, ,故选 A. 1 第页 4. 若 ,则 的大小关系为( ) A. C. 【答案】D 【解析】因为 . ,所以 综上: 故选 D. , . . B. D. ,所以 . 5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余 三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数 除以正整数 后的余数为,则记为 ,例如 .现将该问题设计一个程序框图,执行该程序框图,则输出的 等于( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】从 21 开始,输出的数是除以 3 余 2,除以 5 余 3,满足条件的是 23,故选 C. 6. 已知 展开式中 的系数为 0,则正实数 ( ) A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】分析:由二项展开的通项公式得 等于 0 可得解. 第页 2 的展开式的通项公式,再与 相乘得 项,令其系数 详解: 令 令 得: 得: 的展开式的通项公式为: ; . 展开式中 为: . . (舍)或 . 由题意知 故选 B. ,解得 点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r+1 项,再由特定项的特点求出 r 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 r+1 项,由特定项得出 r 值,最后求出其参数. 7. 已知数列 A. B. 的前 项和 ,若 C. D. ,则 ( ) 【答案】B 【解析】详解:由 即可得解. 详解,由 两式相减可得: 即 数列 又 所以 故选 B. 点睛:给出 与 的递推关系,求 an,常用思路是:一是利用 转化为 an 的递推关系,再求其 . 是从第二项起的等比数列,公比为 4, 所以 . . ,可得 . . ,得 ,数列 是从第二项起的等比数列,公比为 4,利用 通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关系,再求 an. 8. 如图是正四面体的平面展开图, 行;② 第页 分别是 成 60°角;④ 3 的中点,在这个正四面体中:① 与 与 平 与 为异面直线;③ 与 垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分析:正四面体的平面展开图复原为正四面体 A(B、C)﹣DEF, ①,依题意,MN∥AF,而 DE 与 AF 异面,从而可判断 DE 与 MN 不平行; ②,假设 BD 与 MN 共面,可得 A、D、E、F 四点共面,导出矛盾,从而可否定假设,肯定 BD 与 MN 为 异面直线; ③,依题意知,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60° ,于是可判断 GH 与 MN 成 60° 角; ④,连接 GF,那么 A 点在平面 DEF 的射影肯定在 GF 上,通过线面垂直得到线线垂直. 详解:将正四面体的平面展开图复原为正四面体 A(B、C)﹣DEF,如图: 对于①,M、N 分别为 EF、AE 的中点,则 MN∥AF,而 DE 与 AF 异面,故 DE 与 MN 不平行,故①错误; 对于②,BD 与 MN 为异面直线,正确(假设 BD 与 MN 共面,则 A、D、E、F 四点共面,与 ADEF 为正 四面体矛盾,故假设不成立,故 BD 与 MN 异面) ; 对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60° ,故 GH 与 MN 成 60° 角,故③正确; 对于④,连接 GF,A 点在平面 DEF 的射影 A1 在 GF 上,∴DE⊥平面 AGF,DE⊥AF, 而 AF∥MN,∴DE 与 MN 垂直,故④正确. 综上所述,正确命题的序号是②③④, 故答案为:②③④. 第页 4 点睛:本题主要考察了空间中的两直线的位置关系,需要一定的空间能力,属于中档题. 9. 已知抛物线 ( A. ) B. 8 C. 16 D. 的焦点为 , 准线为, 是上一点, 直线 与抛物线交于 两点, 若 , 则 【答案】A 【解析】分析:利用抛物线性质分析线段比,进而得直线斜率,写出直线的方程,再将直线的方程与抛物 2 线 y =4x 的方程组成方程组,消去 y 得到关于 x 的二次方程,最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义 即可求线段 MN 的长. 详解:抛物线 C: 的焦点为 F(1,0) ,准线为 l:x=﹣1,与 x 轴交于点 Q 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,M,N 到准线的距离分别为 dM,dN, 由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1,|NF|=dN=x2+1,于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2. ∵ ∴ ∴ , ,即 ,∴ , (x﹣1) , . ,∴直线 AB 的斜率为 ∵F(1,0) ,∴直线 PF 的方程为 y= 将 y= 2 2 2 (x﹣1) ,代入方程 y =4x,得 3(x﹣1) =


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