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1.4.3正切函数的性质与图像(人教版上课用)


1.4.3正切函数的性质与图像
1.2.1 任意角的三角函数
陈庆华

一.复习回顾
tan ? 2. 诱导公式:tan(? ??)=______

tan(?? ) ? ? tan ?

二、探究用正切线作正切函数图象
问题1、正切函数 y

= tanx 是否为周期函数?

∵f ? x +π = tan ? x +π = tanx ? f ? x ? ? ?
∴ y 期.

= tanx

是周期函数,

? 是它的一个周

我们先来作一个周期内的图象。 想一想:先作哪个区间上的图象好呢?

ππ (- , ) 为什么? 2 2

二.利用正切线画出函数
? ? ?? y ? tan x x ? ? ? , ? 的图象: ? 2 2?

3? 8

y

O1

? 4 ? 8
?

?

?
2

?

3? ? ? ? ? 8 4 8

O

A ?
?
8

?
8

? 4

3? 8

? 2

x

?
?

4
3? 8

? ? ?? y ? tan x 的图像是利用平移正切线得到的,当获得 ? ? 2 , ? 2? ?

上的图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
y 1

y ?1
?
2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

y ? tan x,

π x ? R,x ? ? kπ 的图象: 2

正切函数图象的简单画法: 三点两线法。

“三点”: (0,0)、(? , ? ? ? , 1? 1 ? )、 ? ? “两线”:x ? ? 和x ? ? ?
2
4 ? 4 ?

2 y

?

?
4

1
?
4

?

3? 2

??

?

? 2

0
-1

? 2

?

3? 2

x

y 1

y ?1
?
2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

y ? tan x,

π x ? R,x ? ? kπ 的图象: 2

思考:1. 正切函数y=tanx是增函数? 2. 正切函数y=tanx在其定义域上是 增函数? 3. 正切函数y=tanx在每一个开区间

(?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ) k ? z上是增函数?

正切函数的性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性

{x x ?

?
2

? k? , k ? z}

?
在(?


?
2 ? k? ) k ? z上单调增

R

单调性

?
2

? k? ,

对称中心

k? ( , 0) 2

max & min



三.例题解析
例1.(1)求函数 y ? tan x ? )的定义域 . ( 4

?

解:

由x ?

?

4

? k? ?

?

可得x ? k? ?

?
4

2

k ? z,

k?z
?

所以函数 y ? tan( x ? )的定义域为 4

?

? x x ? k? ? , k ? Z 4

?

1 练:求函数 y ? 的定义域 tan x ? 1

? ? x ? k? ? ? t an x ? 1 ? ? 4 ? ?? 解: ? x ? k? ? ? ? ? x ? k? ? 2 ? 2 ?
? ? ? ? 所以? x x ? k? ? 且x ? k? ? , k ? z ? 4 2 ? ?
小结:注意正切函数y=tanx自身的定义域。

三.例题解析
例1.(2)求函数 y ? tan x ? 3 的定义域

解: 解不等式: x ? 3 tan y
3
T

A

0

x

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

解法1 解法2

例1.(2)求函数 y ? tan x ? 3 的定义域

解:

解不等式: x ? 3 tan
y

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

三.例题解析

例2.求函数 y ? tan( x ?

?
4

)的单调区间 .
2 ? ?

解 : ? y ? tan t的单调增区间是 ? - ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z
? ? 2

??

?
2

? k? ? x ?

?

? ? ? k? 4 2

3? ? ?? ? k? ? x ? ? k? 4 4
3? ?? ? ?函数的单调增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ?

? 练:求函数 y ? tan( ? x) 的单调区间 4 ? ?
解:y ? tan( ? x) ? ? tan(x ? ) 4 4 y ? ? tan(x ? )的单调减区间为 4 (? ?

?

?

?

2

? k? ,

?

2

? k?)k ? z

3? 所以函数的单调减区间 是(k? ? ,k? ? )k ? z 4 4

4 2 ? 3? ? ? k? ? x ? ? k? 4 4

2

? k? ? x ?

?

?

?

? k?

?

应用:比较下列每组数的大小。

(1)tan167 与tan173
解: (1) ? 90
0 0

o

o

11 ? (2) tan(? ? ) ? tan , tan(? 13 ? ) ? tan 2 ? 4 4 5 5 ? ? 2 ? 又y ? tan x在 ? 0, ? 是增函数 ?0 ? ? ? ? , ? ? ? 2? 4 5 2

? tan1670 ? tan1730

?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?

? 167 ? 173 ? 180
0

13π 11π tan() 与 tan() (2) 4 5
0

2 ? tan ? tan ? 4 5 11 13 ? tan(? ? ) ? tan(? ? ). 4 5

?

小结:比较两个正切值大小, 关键是把相应的角化到 y=tanx的同一单调区间内, 再利用y=tanx的单调递增性 解决。

例3 求函数 y ? tan ? ? x ? ? ?的定义域、周期和单调区间. ? ?
3? ?2 ? ? ? 解:函数的自变量 x应满足 x ? ? k ? ? , k ? Z, 2 3 2



? x ? 2k ? , k ? Z, 3

? ? ? 所以,函数的定义域是 ? x x ? 2k ? , k ? Z? . 3 ? ? ?? ? ?? ?? ? 由于 y ? tan ? x ? ? ? tan ? x ? ? ? ? 3? 3 ?2 ?2 ?
?? ?? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ( x ? 2), 3? ?2

因此函数的周期为2.



? ? ? ? k ? ? < x ? <k ? ? , k ? Z, 2 2 3 2
3 3

解得 2k ? ? <x<2k ? ? , k ? Z. 因此,函数的单调递增区间是:
? ?? ? ? 2k ? ,2k ? ? , k ? Z. 3 3? ?

三.例题解析 例4.求下列函数的周期. ?
(1)

y ? 3 tan( 2 x ? ) 4

? 分析:y=sinx与y=cosx的周期为2 ,则

y ? A sin(?x ?? )与 y ? A cos(?x ?? ) 的周期为 ? ? ? y=tanx的周期为 ,则 y ? A tan( x ?? ) 的周期为: ? T ? ?

2?

? 周期T ?

?
2

(1)正切函数的图像:

(2)正切函数的性质: ? ? ? x | x ? ? k? , k ? Z ? ? ?定义域: 2 ? ? ?值域:全体实数R
正切函数是周期函数, ?周期性: 最小正周期T= 奇函数, ?奇偶性: 正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ?单调性: 2 ? 内都是增函数。 ? 2

?
? ?

?

?



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