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第一章


《 数学物理方法》 数学物理方法》 授课班级: 10 级材料物理专业 任课教师:胡梁宾(物电学院) 周学时数: 3 学时 先修课程: 高等数学,大学物理 课程简介 课程简

“数学物理方法”是很多理工科专业(如物理、电子、电气、信息、机 数学物理方法 数学物理方法 械、天文、气象等)本科生必修的重要基础课,是在“高等数学 高等数学”课程基础 高等数学 上的又一重要的基础数学课程,它为学习很多理工科专业课程提供重要的 基础数学课程 基础数学课程 基础数学处理工具。

物理规律通常都是以数学为语言来表述的。 如电磁场的基本规律 电磁场的基本规律可 电磁场的基本规律 以用麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组来表述,这是一组关于电场、磁场的偏微分方程组; 麦克斯韦方程组 量子力学的基本规律可以用薛定 谔 方程表述 这是微观粒子的波函数 薛定谔方程表述, 量子力学的基本规律 薛定 所满足的偏微分方程; 在热力学理论中,很多热力学量之间的关系也可 以用微分方程来描述;等等. 总之, 数学是表述物理学理论的基本语 言 。 慨而言之,应用物理学理论来解决具体的物理问题时,主要包括三 个步骤:(1)利用物理定律将物理问题翻译成 数学 问题 。一个具体物理问 利用物理定律将物理问题翻译成数学问题 利用物理定律 将物理问题翻译成数学问题。 题中所牵涉到的各物理量之间的关系可以利用物理规律表述为各种数学 量之间的关系,即各种形式的数学方程; (2)求解该数学问题 求解该数学问题;(3)将所 将所 得的数学结果翻译成物理,即讨论所得结果的物理意义。 得的数学结果翻译成物理

1

由于物理理论通常都是以数学为语言来表述的, 因此学习现代物 理理论必须掌握一定的数学知识。我们在大学一年级时已经学习过“高 等数学”课程。“数学物理方法 数学物理方法”是在“高等数学 高等数学”课程基础上的又一 数学物理方法 高等数学 重要的基础数学课程,是物理系本科各专业(也是很多其它理工科专业) 学生必修的重要基础课。在“高等数学 高等数学”课程基础上, “ 数学物理方法 ” 数学物理方法” 高等数学 课程将为学习现代物理理论(也包括很多其它的工程技术领域)提供进一步 的基础数学处理工具。 本课程的教学内容主要包括两部分,第一部分为“复变函数论 ” , “ 复变函数论” 第二部分为“数学物理方程 ” 。 “ 数学物理方程” 在很多工程技术领域(如电磁场理论、量子力学、固体物理、材料物 理、流体力学、信号分析、系统分析等)经常遇到复变量的函数 复变量的函数。复变函数 复变量的函数 研究复变量之间的关系, 它是实变函数 实变函数理论在复数域内的推广。 在“复变 实变函数 复变 函数论”部分我们主要学习复变函数的微分 、 积分 、 级数等 复变函数的微分 积分、级数等。 函数论 复变函数 的微分、 在 “数学物理方程”部分, 我们主要学习物理学中经常遇到的几种典 数学物理方程” 几种典 数学物理方程 型的数学物理偏微分方程(如波动方程 热传导方程、 稳定场方程等 及其 及其求 型的数学物理偏微分方程 如波动方程、热传导方程、稳定场方程等)及其求 数学物理偏微分方程 如波动方程、 解方法。这部分内容是“高等数学”中已经学习过的常微分方程 解方法 常微分方程的推广。 常微分方程 学习《数学物理方法》必须以“高等数学”(特别是“微积分 微积分”和 微积分 “常微分方程 常微分方程”)作为基础,也需要对大学物理有一定的了解。 常微分方程

2

本课程我们采用刘连寿、王正清编“ 数学物理方法”(高等教育出 刘连寿、王正清编“ 数学物理方法” 刘连寿 版社)作为教材。 教材中包含的内容较多,由于受学时的限制以及专业要 求的不同,我们将重点选取其中一些比较基本的内容进行学习,一些难 度较大的内容留待同学们以后有需要时再专门学习。由于对教学内容进 行了精简,授课时在课程内容的安排上将与教材的编排顺序有所不同。 课程的考核方式包括平时成绩 期末考试成绩 课程的考核方式 平时成绩和期末考试成绩两部分。 平时成绩 平时成绩 期末考试 成绩 占总成绩的百分之四十(包括出勤、 听课 、 作业 出勤、听课、作业),期末考试成绩占总成 出勤 绩的百分之六十。平时要按时、准时上课, 按时完成作业, 不得无故迟 到、早退和缺席(上课时会不定期抽查并将出勤情况记录).

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《数学物理方法》第一部分: 数学物理方法 第一部分 数学物理方法 第一部分:

复变函数

复数与复变函数 第一章 复数与复变函数
复数【刘连寿 王正清编著《数学物理方法》 1 刘连寿、 第一节 复数 刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P1-9】 §1-1 复数的定义和基本四则 复数的定义和基本四则运算 的定义和基本四

在实数范围内有些数学方程没有解。 如一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 , 其 解为 x = ?b ±
b2 ? 4ac 2a

, 当 b 2 ? 4 ac < 0 时, 因在实数范围内负数不能开平方, 方

程在实数范围内就无解。 为了使方程在这种情况下也有解, 就必须扩充数 的范围。 为此, 在数学上引入了复数的概念。 (一) 复数的定义 一 复数的定义: 虚数单位, 形如 z = x + i y ( x, y 为实数)的数为复数, 其中规定 i 为虚数单位 其定 虚数单位 义为: 义为: i = ?1。
2

x , y 分别称为复数 z 的实部 虚部 实部与虚部 复数 实部 虚部,记为 x = Re z ,

y = Im z 。 每一个复数 z 都由一对有序实数 ( x, y ) 唯一地确定, 如 3 + 5i 由

( 3,5) 确定。
实数的虚部为零 [ ( x, 0) = x + i 0 = x ], 实数 纯虚数的实部为零 [ (0, y ) = 0 + i y = i y ]。 纯虚数 复数 0: (0, 0) = 0 + i 0 = 0 . 若 z = x + iy = 0 , 则必须 x = y = 0 复数的相等:设 z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ,则 z1 = z2 ? x1 = x2 , y1 = y2 . 复数的相等 复数没有大小(两个复数不能比较大小) 复数没有大小(两个复数不能比较大小) 复数不能比较大小 。

4

(二) 复数的基本四则运算规则: 二 复数的基本四则运算规则: 规则 设 z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , ( x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R ) ,其基本四则运算规则为: 加减: 加减 乘法: 乘法

z1 ± z2 = ( x1 + iy1 ) ± ( x2 + iy2 ) = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 )

z1 ? z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = ( x1 x2 ? y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 )
( 类似于多项式相乘,利用 i 2 = ? 1 合并同类项)

除法: 除法

z1 x + iy1 x + iy1 x 2 ? iy 2 x1 x 2 + y1 y 2 x y ? x1 y 2 = 1 = 1 ? = + i 2 21 , 2 2 2 z 2 x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 ? iy 2 x2 + y 2 x2 + y2
2 2 (其中 z2 = x2 + iy2 ≠ 0 , 即 x2 + y2 ≠ 0 ) 。

共轭复数: 共轭复数:若两复数的差别仅仅是它们的虚部异号,则称这两个复数为共 共
? 轭复数,或称这两个复数互相共轭 z = x + iy 的共轭复数记为 z = x ? iy 。 互相共轭。 轭复数 互相共轭

共轭复数有一些简单而重要的性质。 如 zz ? = ( x + iy )( x ? iy ) = x 2 + y 2 ,
z + z ? = 2 x = 2 Re z , Re z =

1 1 ( z + z? ) , z ? z? = 2iy = 2i Im z , Im z = 2i ( z ? z ? ) 。 2

§1-2

复平面

复平面: 复平面 在直角坐标系下, 复数 x + iy 可用平面上的点 ( x, y ) 来表示。 x 轴称为实轴 实轴,它上面的点对应实数 y 轴称为虚轴 实数, 虚轴,它上面的点对应纯虚 纯 实轴 实数 虚轴 复平面或 平面。 数。 这种表示复数的平面称为复平面 z 平面 复平面

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复数的矢量表示: 若把 x, y 当作矢量的直角坐标分量,复数可用复平面上 的矢量来表示。由复数的矢量表示可知, 复数加减法满足平行四边形法则 (或三角形法则), 与矢量的加减法则相同. 或三角形法则)

例:下列方程表示复平面上的什么曲线? : (1) | z ? 3 ? 5i |= 2 ; (2) | z ? 1 | + | z + 3 |= 10 ; (3) | z ? 5 | ? | z + 5 |= 8 . 解:(1)以点 z0 = 3 + 5i 为圆心、半径为 2 的圆周; (2)以点 z1 = 1 、 z2 = ?3 为焦点、长轴为 10 的椭圆; (3)以点 z1 = 5 、 z2 = ?5 为焦点、实轴为 8 的双曲线的一支.

§1-3 复数的模与幅角 复数的模 复数的模 复数的模: 表示复数的矢量的长度称为复数的模,以 z 或 ρ 表示, 复数的 设 z = x + iy ( x , y ∈ R ) , 则: z = ρ =
x2 + y2 。

复数的幅角: 复数的幅角: 不为零的复数 z 所对应的矢量与实轴( x 轴)正向的夹角称 幅角
y 为复数 z 的幅角,记为 ? = Argz 。设 z = x + iy ( x , y ∈ R ) ,则: tan ? = 。 x

幅角的非唯一性: 若 ?0 为复数 z ( z ≠ 0 )的幅角,则 ? = ?0 + 2kπ 幅角的非唯一性

( k = 0, ±1, ±2,.... ) 也是 z 的幅角,即复数的幅角不是唯一的。

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主值幅角(主幅角) : 主幅角,记 主值幅角(主幅角) 通常把满足条件 0 ≤ ? ≤ 2π 的幅角称为 z 的主幅角 主幅角 为 arg z 。于是 z 的任意幅角可以表示为:

? = A r g z = a rg z + 2 k π , k = 0 , ± 1, ± 2 , L .
的复数( 主幅角是唯一确定的 是唯一确定 模不为 0 的复数( z ≠ 0 )的主幅角是唯一确定的。 的复数( 对于模为 0 的复数(称为复数 0 ) 幅角则完全不确定。 ,幅角则完全不确定。

§1 - 4 复数的指数表示 欧拉公式 欧拉首先引入,故称为 欧拉公式: 欧拉 欧拉公式: e i? = co s ? + i sin ? (该定义为数学家欧拉 欧拉公式) 。 利用欧拉公式 可把复数 z 表为指数形式: 欧拉公式, 指数形式: 欧拉公式 指数形式
z = x + iy = ρ

(c o s ?

+ i s in ?

) = ρ e i?



共轭复数:

z* = x ? iy = ρ ( cos? ? i sin? ) = ρe?i?

对于复数的乘法和除法,用指数表示比代数表示方便 对于复数的乘法和除法,用指数表示比代数表示方便: 代数表示方便 令 z1 = ρ 1e
i? 1

, z 2 = ρ 2 e i? 2 ,则:
(模相乘,幅角相加) 。 (模相除,幅角相减) 。

z 1 ? z 2 = ρ 1 ? ρ 2 e i (? 1 + ? 2 )
z1 = z2

ρ ρ

1 2

e

i (?

1

? ?

2

)

7

小结: 复数的三种表示方法: 小结: 复数的三种表示方法: 代数表示: 代数表示: 三角表示: 三角表示: 指数表示: 指数表示

z = x + iy ,
z = ρ ( cos ? + i sin ? ) ,
z = ρ ei?


(ρ =

x2 + y 2 , ?

= arctan( y / x ) )

例: 求 z = ?1 + i 3 的三角表示式与指数表示式. 解:设 z = reiθ = r (cos θ + i sin θ ) = ?1 + i 3 , 则: r = z = ( ?1)2 + ( 3)2 = 2 , tan θ =
i 2π 2π 于是: z = 2(cos + i sin ) = 2e 3 3 3 2π

3 2π = ? 3 ? θ = arg z = , ?1 3

§1-5 复数的乘方: (1) 复数的乘方:

复数的乘方和 复数的乘方和开方

n z ?4? L3 ? 复数 z 的 n 次方, z = 1 z24 z ( n 是正整数). n个

两种计算方法:

一是利用代数表示式 代数表示式进行计算,将 z n = ( x + iy )n 按 n 次多项 代数表示式

式进行展开,再利用 i 2 = ? 1 合并同类项,即可得到 z n 的实部和虚部。
i? 另一种方法利用指数表示式 指数表示式进行计算:设 z = x + iy = ρ e , 则 指数表示式

z n = ρ n e in? = ρ n ( c o s n? + i sin n? ) 。
如令 ρ = 1 ,即得:

(cos ? + i sin ? ) n = cos n? + i sin n? , (棣摩弗公式 棣摩弗公式) 棣摩弗公式

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(2) 复数的开方 复数的开方: 开方 若复数 ω 的 n 次方 ω n 等于复数 根,记为 ω

z , ωn = z ,

则称复数 ω 为复数 z 的 n 次方

=

n

z



除少数简单的情况外,利用复数的代数表示式( z = x + iy )进行开方运算很 麻烦。与之相反,利用复数的指数表示式( z = ρ e i? )进行开方运算 利用复数的指数表示式( 行开方运算则比 利用复数的指数表示式 较方便,方法如下:
i? 设: z = x + iy = ρ e , ω = r e iθ ,

因: ω

n

= (re



)n = z = ρ e

i?

n inθ i? ,则: r e = ρ e

由于两个相等的复数, 他们的模必定相等, 而幅角可以相差 2 π 的整数倍 (但 主幅角相等) 于是: 。

r n einθ = ρ ei? ? ρ = r n , nθ = ? + 2kπ , k = 0, ±1, ±2,L
如此可得:

r=

n

ρ,

θ =

? + 2kπ


n

取 k = 0,1, 2, L , n ? 1 ,得到 n 个不同的根 个不同的根 的根。 得 注意:由于当 k 取 ≥ n 的正整数或取 < 0 的负整数时,θ 仅增加 2π 的整数倍或 减少 2π 的整数倍,所以并不产生新的根。 结论: 次方根“ 并且“只有” 个不同的值: 结论: 一个复数的 n 次方根“有”并且“只有”n 个不同的值

ω =

n

z =

n

ρe

i?

=

n

ρe

i

? + 2 kπ
n

,

( k = 0 , 1, 2 , L , n ? 1)

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例 1: 求 (1 ? i )4 . 解:因为 1 ? i = 2[cos( ? ) + i sin( ? )] = 2e
4 4
4 4

π

π

i(? ) 4

π



π i( ? ) ? ? 所以: (1 ? i ) = ? 2e 4 ? = 4ei ( ?π ) = 4[cos( ?π ) + i sin( ?π )] = ?4 ? ?

例 2: 设 z1 = 3 ? i , z2 = ? 3 + i ,求
π

z18 4 z2

解:因为 z1 = 3 ? i = 2 ?cos( ? ) + i sin( ? ) ? = 2e ? 6 6 ? ? ?


π

i(? ) 6

π

,

i( ) 5π 5π ? ? z2 = ? 3 + i = 2 ? cos( ) + i sin( ) ? = 2e 6 , 6 6 ? ?

i(? z 2e = = 24 e 所以 20π i( ) z 4 2e 6

8 1 4 2

8

i(?

8π ) 6

28π ) 6

28π 28π ? ? = 24 ?cos(? ) + i sin(? ) = ?8(1 + 3i) 6 6 ? ? ?

例 3: 计算 ?1 ? i 解:因为:
3 3 ? ? ?1 ? i = 2 ?cos( ? π ) + i sin( ? π ) ? , 4 4 ? ?

3 3 ? ? ? π + 2 kπ ? π + 2k π ? ? + i sin 4 所以: ?1 ? i = 4 2 ?cos 4 ? , (k = 0, 1) 2 2 ? ? ? ? 3π 3π 5π 5π 0 即: w2 = 4 2(cos ? i sin ), w1 = 4 2(cos + i sin ) 2 8 8 8 8

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§1-6

复数的指数运算与三角运算( P14-17 ) 复数的指数运算与三角运算( 运算与三角运算

复数的指数运算: (1) 复数的指数运算: 为了定义复数的指数运算,必须先定义纯虚数的指数运算 纯虚数的指数运算,其定义如下: 纯虚数的指数运算

eiy = cos y + i sin y , (

y∈R ) (此即欧拉公式 欧拉公式) 欧拉公式

在定义了纯虚数的指数运算后,任意复数 z = x + iy ( x ,y ∈ R )的指数 运算定义为:

e z = e x + iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y )
复数的正弦 余弦三角运算: 正弦、 三角运算 (2) 复数的正弦、余弦三角运算: 对于任意实数 θ , eiθ = cos θ + i sin θ 于是:
eiθ + e ? iθ cos θ = 2
, sin θ = ,

.

e ?iθ = cos θ ? i sin θ ,
.

eiθ ? e ? iθ 2i

仿照这一形式,定义任意复数 z 的余弦、正弦三角运算 余弦、 三角运算 余弦 正弦三角运算为:
eiz + e ? iz cos z = 2
eiz ? e ? iz , sin z = 。 2i

根据这个定义不难看出,对于任意复数 z = x + iy ,欧拉公式都成立: 对于任意复数 欧拉公式都成立: 欧拉公式都成立

eiz = ei ( x +iy ) = cos( x + iy ) + i sin( x + iy )
(3) 其他类型的三角运算: 其他类型的三角运算: 三角运算
tan z = sin z , cos z 1 , cos z cot( z ) = csc( z ) = cos z , sin z 1 sin z


sec( z ) =

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例:求 cos(ix ) (x ∈ R ) 和 sin( a + ib) (a, b ∈ R ) 的实部和虚部。 解: c o s ( i x ) =
1 (ei 2
ix

+ e ?i

ix

) =

1 (e ? x + e x ) , 2

1 x ?x cos(ix ) (x ∈ R ) 的实部为 ( e + e ) ,虚部为 0. 2
s in ( a + ib ) = = 1 (ei 2i
( a + ib )

? e ?i

( a + ib )

)

1 1 ( e ? b + e b ) s in a + (e ?b ? eb ) cos a 2 2i

1 ?b 1 b sin(a + ib) 的实部为 ( e + e ) sin a ,虚部为 ? (e ? b ? eb ) cos a . 2 2

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第二节 复平面上的区域 复平面上的区域 在复变函数中,自变量和因变量的取值范围通常都是复平面上的区域 复平面上的区域。 复平面上的区域 在学习复变函数之前, 先介绍一下与复平面上区域有关的几个基本概念: 邻域;区域;区域的边界;单连通区域;多连通区域 邻域;区域;区域的边界;单连通区域;多连通区域 区域 (1)邻域 复平面上以 z0 为中心,δ 为半径的圆的内部的点所组成的集 邻域: 邻域 合称为 z0 的 δ -邻域。(去心领域 去心领域:不包含 z0 点) 去心领域

δ z

δ z

|z-z0|<δ

0<|z-z0|<δ

(2)区域 区域是满足以下两个条件的复平面上的点的集合: 区域: (1)该集 区域 合中的每一个点,都有以它为圆心的一个充分小的圆(即该点的一个充分 小的邻域) ,圆内所有的点都属于该集合 D; (2)集合中的任意两个点, 都可以用一条由该集合内的点组成的线连接起来,即该集合中的任意两个 集合中的任意两个 集合 点都是连通的。 点都是连通的

(3)区域的边界: 设 D 为复平面上的一个区域,如果点 p 的任何邻域内 区域的边界 区域 都即包含有属于 D 的点,也包含有不属于 D 的点,这样的点 p 称为 D 的边 边

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界点。 D 的边界点之全体称为 D 的边界 界点 边界,一般用?D 来表示。 边界 ( 4 ) 闭 区 域 : 区 域 D 连 同 它 的 边 界 ?D 一 起 构 成 闭 区 域 , 记 为 D ( D = D + ?D )。

(5)单连通区域, 复连通区域: 设 B 为复平面上的一个区域,如果在 单连通区域 连通区域 区域: 单连通区域 其中任作一条简单的闭曲线(自身不相交的闭合曲线) ,而曲线内部总属于 B,则称 B 为单连通区域 单连通区域,否则称为复连通区域 单连通区域 复连通区域(如图所示).

几何直观上,单连通区域和复连通区域的本质区别是, 单连通区域内任一 单连通区域和复连通区域的本质区别是 单连通区域和复连通区域的本质区别 闭曲线可连续收缩为一点,简而言之区域内没有 空洞和缝隙 区域内没有 空洞和缝隙”。复连通区 区域内没有“空洞和缝隙 域内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点,简而言之区域内有“空洞” 区域内有“空洞” 。 区域内有

作一些适当的割线将复连通区域的不相连的边界线连起来,就可以降低区 作一些适当的割线将复连通区域的不相连的边界线连起来, 界线连起来 域的连通阶数, 使之变成单连通区域。 域的连通阶数, 使之变成单连通区域。

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例:几个典型的区域的数学表示 几个典型的区域的数学表示

O

R x

O

R x

r R
O

x

| z |< R

| z |> R

r <| z |< R

θ

O

θ

θ
1

x

O

x

-R

O

R

x

θ1 < arg z < θ 2

Im z > 0

| z |< R, Im z > 0

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第三节 复变函数 【 《数学物理方法》P9-19】 (一)复变函数的定义: 复变函数的定义: 的定义 设有两个复变数 z 和 ω,当复变数 z 在复平面上某个范围内取值时,如果 有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于复变数 z 的每一值,另一个 复变数 ω 都有一个(或多个)确定的值与之对应,那么称复变数 ω 是复变 数 z 的复变函数,记为 ω = f ( z ) 。 若 z 与 ω 是一一对应的,则称 f ( z ) 为单 单 值函数。 则称 f ( z ) 为多值函数 在 多值函数。 值函数 若对于一个 z 有几个 ω 的值与之对应, 多值函数 本课程中我们只学习单值函数。

一个复变函数实际上代表了两个实变函数,所以可将它表示为: 一个复变函数实际上代表了两个实变函数 复变函数实际上代表了两个实变函数

f ( z ) = f ( x + iy ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) ,
其中 u ( x, y ) , v ( x, y ) 分别代表 f ( z ) 的实部与虚部,他们都是 x , y 的实函
i? 数。 当 z = ρ e ,则 f ( z ) 又可表示为 f ( z ) = u ( ρ , ? ) + iv ( ρ , ? ) 。

例 1: f ( z ) = z 2 + 2 , z = x + iy = ρ ei? ,
f ( z ) = ( x + iy ) + 2 = x 2 ? y 2 + 2 + i 2 xy = ρ 2 cos 2? + 2 + i ρ 2 sin 2? ,
2

u ( x, y ) = x 2 ? y 2 + 2 , v ( x, y ) = 2 xy , u ( ρ , ? ) = ρ 2 cos 2? ,

v ( ρ , ? ) = ρ 2 sin 2? 。

例 2: f ( z ) = z ? = x ? iy = ρ e ?i? = ρ cos ? ? i ρ sin ? ,
u ( x, y ) = x , v ( x, y ) = ? y , u ( ρ , ? ) = ρ cos ? , v ( ρ , ? ) = ? ρ sin ? 。

例 3: f ( z ) = zz ? = x 2 + y 2 = ρ 2 ,
u ( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x, y ) = 0 。 u ( ρ , ? ) = ρ 2 , v ( ρ , ? ) = 0 。

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(二)复变函数的几何意义: 复变函数的几何意义: 如果复数 z 和 ω 分别用 z 平面和 ω 平面上的点表示,则复变函数 ω = f (z) 函 数在几何上,可以看成是将 z 平面上的定义域变换到 ω 平面上的函数值域 的一个变换或映射,它将 D 内的一点 z 变换为 G 内的一点 ω.

(三)初等函数: 初等函数 多项式函数、有理函数、指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数、 双曲函数、…等等称为基本初等函数 基本初等函数 基本初等函数。由以上基本初等函数经有限次四则 运算及有限项复合而得到的函数称为初等函数 初等函数。 初等函数 本课程要求大家对下面四类最基本的初等函数有较为熟悉的了解,对其它 类型的基本初等函数不作要求: 多项式函数: f ( z ) = a0 + a1 z + a z z 2 + ... + an z n 有理函数:
f ( z) = a0 + a1 z + a z z 2 + ... + an z n b0 + b1 z + bz z 2 + ... + bm z m

指数函数: f ( z ) = e z = e x +iy = e x ( cos y + i sin y ) , ( 设 z = x + iy ) (复变量的指数函数有些什么性质? 见课本p14页。) 复变量的指数函数有些什么性质? 复变量的指数函数有些什么性质 正弦、余弦、正切、余切三角函数: 三
sin z = 1 iz ( e ? e?iz ) , cos z = 1 ( eiz + e?iz ) , 2i 2
tan z = sin z , cos z cot z = cos z sin z

复变量的三角函数有些什么性质? (复变量的三角函数有些什么性质? 见课本 p15-p17 页。) 复变量的三角函数有些什么性质

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(四)复变函数的连续性 如果函数 ω = f ( z ) 在点 z = z0 处满足下列条件: (1) f ( z0 ) 存在; (2) lim f ( z )存在; 存在;(3) lim f ( z ) = f ( z0 ) , z→ z z→ z
0

0

则称函数 ω = f ( z ) 在 z = z0 处连续。 由于 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) ,故 点 z0 = x0 + iy0 处连续又可定义为:
x → x0 y → y0

f

(z ) 在

lim u ( x , y ) = u ( x 0 , y 0 ) , lim v ( x , y ) = v ( x 0 , y 0 ) 。
x → x0 y → y0

注意:在复变函数中“在某点连续”的定义比在实变函数中要求严格, 注意:在复变函数中“在某点连续”的定义比在实变函数中要求严格 极 限的定义要求 z 以任意方式趋于 z 0 时,f ( z) 的极限均为 f ( z0 ) 。 而在实变函 数中,一个实变函数 f ( z ) 在 x = x 0 处连续仅要求当 x 从小于 x0 和大于 x0 两 个方向趋于 x0 时, f ( z ) 有相同的极限值。可见在复变函数中“在某点连续” 的定义比在实变函数中严格得多。 例: 证明函数 f ( z ) = 在 z → 0 时极限不存在. 证: 设 z = x + iy , f ( z ) = 而 u ( x, y ) =
?2 xy z x2 ? y2 = 2 + 2 i = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , 2 z x +y x + y2

z z

?2 xy x2 ? y2 , v ( x, y ) = 2 2 , 2 2 x +y x +y

考虑二元实函数 u( x, y ) 当 ( x, y ) 沿着 y = kx ( k 为任意实数)趋向于 0, 即 ( x , ylim u( x, y ) = lim u( x, y ) = )→ (0,0) x →0
( y = kx )

1 ? k2 . 1+ k2

显然,极限值随 k 值的不同而不同,所以根据二元实变函数极限的定 义知, u( x, y ) 在 ( x, y ) 趋向于 0 时的极限不存在,即得结论。
18

第一章 习题 1. 下列式子在复平面上代表什么样的区域? (1) | z + i |≤| 2 ? i |; (2) | z ? 2 |> 3 ; 2.给出复数 z0 = ?1 + i 3 和复数 z0 = 3. 设 z = (3) 1 ≤| z + i |<| 2 ? i |;

2i 的代数式、三角式及指数式表示。 ?1 + i

1 ? 2i 2+i ?( ) ,求 Re z , Im z 及 zz 。 3 ? 4i ?5i

4. 求 Arg(2 ? 2i ) 和 Arg( ?3 + 4i ) 。 5.计算:(1)
1+i (2 + 3i )2 ;(2) 3 i ; (3) 1 + i ;(4) e 2 2+i

π

6. 给出 sin( x + iy ) 和 cos( x + iy ) 的实部与虚部. 7.在复数范围求解下列方程:(1) z 6 + 1 = 0; (2) 1 + e z = 0 ; (3) 1 ? e z = 0 .

19

习题答案 1. (1) 以 ?i 为圆心,
5 为半径的圆内及圆周; (2) 以 2 为圆心, 3 为半径

的圆的外部; (3) 以 ?i 为圆心, 5 为外半径,1 为内半径的圆环及内圆周.
i π 2 2 2. z0 = ?1 + i 3 = 2(cos π + i sin π ) = 2e 3 ; 3 3 ?i 2i π π = 2[cos( ? ) + i sin( ? )] = 2e 4 ?1 + i 4 4 2

z0 =

π

16 8 16 8 16 8 64 , Im z = , zz = ( + i )( ? i ) = 25 25 25 25 25 25 125 ?2 4. Arg(2 ? 2i ) = arg(2 ? 2i ) + 2kπ = arctan + 2kπ 2

3. Re z =

=?

π

4

+ 2 kπ ,

( k = 0, ±1, ±2, L) , 4 + 2k π + π ?3

Arg( ?3 + 4i ) = arg( ?3 + 4i ) + 2kπ = arctan

4 = (2k + 1)π ? arctan , ( k = 0, ±1, ±2, L) 3 2 + 29i π 2 kπ π 2 kπ 5. (1) ; (2) 3 i = cos( + ) + i sin( + ), ( k = 0,1, 2 ); 5 6 3 6 3 π π ? ? + 2 kπ + 2 kπ ? ? (3) 1 + i = 4 2 ? cos 4 + i sin 4 ? , (k = 0,1); 2 2 ? ? ? ?

(4) e

1+i

π
2

= ie;

6.提示:根据复三角函数的定义计算:
sin( x + iy ) = 1 i ( x +iy ) 1 i (e ? e ? i ( x +iy ) ) = ( e ? y + e y ) sin x ? ( e ? y ? e y ) cos x 2i 2 2 1 1 i cos( x + iy ) = ( ei ( x +iy ) + e ? i ( x +iy ) ) = ( e y + e ? y ) cos x ? ( e y ? e ? y ) sin x 2 2 2

7. (1)因为: z 6 = ?1 = cos π + i sin π = eiπ ,
6

所以:

?1 = cos

π + 2 kπ
6

+ i sin

π + 2 kπ
6

, ( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)

可求出 6 个根,它们是:

20

z0 =

3 1 + i, 2 2 3 1 ? i, 2 2

z 1 = i,

z2 = ?

3 1 + i, 2 2 3 1 ? i 2 2

z3 = ?

z 4 = ?i ,

z5 =

(2)设 z = x + iy ,然后根据复三角函数的定义计算。
1 + e z = 0 的解为 z = i(2k + 1)π , k 为任意整数。

(3) 1 ? e z = 0 的解为 z = i 2kπ , k 为任意整数。

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