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高中数学人教A版必修4测试题及答案


高中数学人教 A 版必修 4 测试题
一、选择题 1.已知△ABC 中,tan A=- 12 A. 13 5 B. 13 5 ,则 cos A 等于 12 5 C.- 13 ( 12 D.- 13 ( ) )

2.已知向量 a=(2,1),a+b=(1,k),若 a⊥b,则实数 k 等于 1 A. B.-2 C.-7 D.3 2 → → 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· 等于 AC A.-16 B.-8

(

)

C.8 D.16 π 4.已知 sin(π-α)=-2sin( +α),则 sin αcos α 等于 ( 2 2 2 A. B.- 5 5 2 2 1 C. 或- D.- 5 5 5 π 5.函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< ,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为( 2

)

)

π π A.y=-4sin?8x+4? ? ? π π B.y=4sin?8x-4? ? ? π π C.y=-4sin?8x-4? ? ? π π D.y=4sin?8x+4? ? ? 6.若|a|=2cos 15° ,|b|=4sin 15° ,a,b 的夹角为 30° ,则 a· 等于 b ( ) 3 1 A. B. 3 C.2 3 D. 2 2 π? π π 7.把函数 f(x)=sin?-2x+3?的图象向右平移 个单位可以得到函数 g(x)的图象,则 g?4?等于 ? ? ? 3 ( 3 A.- 2 3 B. 2 C.-1 D.1 ) )

→ → → 1→ → 8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ 等于( 3 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 9.若 2α+β=π,则 y=cos β-6sin α 的最大值和最小值分别是 11 A.7,5 B.7,- 2 11 C.5,- D.7,-5 2 (

)

1

π 4π 10.已知向量 a=(sin(α+ ),1),b=(4,4cos α- 3),若 a⊥b,则 sin(α+ )等于( ) 6 3 3 1 3 1 A.- B.- C. D. 4 4 4 4 π 11.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位,若所得图象与原图象重合,则 ω 的值不 2 可能等于 A.4 ( )

B.6 C.8 D.12 → → → → → 12.已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=( 2cos α, 2sin α),则OA与OB夹角的范围是( π A.?0,4? ? ? π 5π C.?12,12? ? ? 二、填空题 13.sin 2 010° =________. 1 14.已知向量 a=(1-sin θ,1),b=?2,1+sin θ?(θ 为锐角),且 a∥b,则 tan θ=________. ? ? π 5π B.?4,12? ? ? 5π π D.?12,2? ? ?

)

→ → 15.已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在CD上的投影为________. π π 16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, ≤φ≤ )的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离 - 2 2 1 为 2 2,且过点(2,- ),则函数 f(x)=________. 2 三、解答题 3 17.已知向量 a=(sin x, ),b=(cos x,-1). 2 (1)当 a∥b 时,求 2cos2x-sin 2x 的值; π (2)求 f(x)=(a+b)· 在[- ,0]上的最大值. b 2

2

18.设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b.

π 19.已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈(0, ). 2 (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ< ,求 cos φ 的值. 2

20.已知函数 f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的 2 π 图象,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最小值. 16

3

4cos4x-2cos 2x-1 21.已知函数 f(x)= . π π sin? +x?sin? -x? 4 4 11 (1)求 f(- π)的值; 12 π 1 (2)当 x∈[0, )时,求 g(x)= f(x)+sin 2x 的最大值和最小值. 4 2

22.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- ,求 sin α. 2 2 13

2 5 . 5

高中数学人教 A 版必修 4 测试题答案
1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 8.A 9.D 10.B

4

11.B 12.C 1 13.- 2 14.1 2 10 15. 5 πx π 16.sin( + ) 2 6 3 17.解 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0, 2 3 ∴tan x=- , 2 2cos2x-2sin xcos x 2cos2x-sin 2x= sin2x+cos2x 2-2tan x 20 = = . 1+tan2x 13 2 π (2)f(x)=(a+b)· b= sin(2x+ ). 2 4 π 3π π π ∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 π 2 ∴-1≤sin(2x+ )≤ , 4 2 2 1 1 ∴- ≤f(x)≤ ,∴f(x)max= . 2 2 2 18.(1)解 因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a· (b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+ β)=0, 因此 tan(α+β)=2. (2)解 由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得 |b+c|= ?sin β+cos β?2+?4cos β-4sin β?2= 17-15sin 2β≤4 2. π 又当 β=- +kπ(k∈Z)时,等号成立, 4 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明 由 tan αtan β=16 得 19.解 (1)∵a· b=0, ∴a· b=sin θ-2cos θ=0, 即 sin θ=2cos θ.又∵sin2θ+cos2θ=1, 1 ∴4cos2θ+cos2θ=1,即 cos2θ= , 5 4 2 ∴sin θ= . 5 π 2 5 5 又 θ∈(0, ),∴sin θ= ,cos θ= . 2 5 5 (2)∵5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θ· φ)= 5cos φ+2 5sin φ=3 5cos φ, sin ∴cos φ=sin φ.
5

4cos α sin α = ,所以 a∥b. sin β 4cos β

1 ∴cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即 cos2φ= . 2 π 2 又∵0<φ< ,∴cos φ= . 2 2 20.解 (1)因为 f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx, 1+cos 2ωx 所以 f(x)=sin ωxcos ωx+ 2 1 1 1 = sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2 π 1 2 = sin?2ωx+4?+ . ? ? 2 2 2π 由于 ω>0,依题意得 =π,所以 ω=1. 2ω π 1 2 (2)由(1)知 f(x)= sin?2x+4?+ , ? ? 2 2 π 1 2 所以 g(x)=f(2x)= sin?4x+4?+ . ? ? 2 2 π π π π 当 0≤x≤ 时, ≤4x+ ≤ , 16 4 4 2 π 2 所以 ≤sin?4x+4?≤1. ? ? 2 1+ 2 因此 1≤g(x)≤ . 2 π 故 g(x)在区间?0,16?上的最小值为 1. ? ? ?1+cos 2x?2-2cos 2x-1 21.解 (1)f(x)= π π sin? +x?sin? -x? 4 4 cos22x 2cos22x = = π π π sin? +x?cos? +x? sin? +2x? 4 4 2 2 2cos 2x = =2cos 2x, cos 2x 11π 11π π ∴f(- )=2cos(- )=2cos = 3. 12 6 6 π (2)g(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin(2x+ ). 4 π π π 3π ∵x∈[0, ),∴2x+ ∈[ , ). 4 4 4 4 π ∴当 x= 时,g(x)max= 2,当 x=0 时,g(x)min=1. 8 22.解 (1)∵|a|=1,|b|=1, |a-b|2=|a|2-2a· b+|b|2 =|a|2+|b|2-2(cos αcos β+sin αsin β) =1+1-2cos(α-β)=2-2cos(α-β), 2 52 4 |a-b|2=( )= , 5 5 4 3 ∴2-2cos(α-β)= ,∴cos(α-β)= . 5 5 π π (2)∵- <β<0<α< , 2 2

6

∴0<α-β<π. 3 4 由 cos(α-β)= 得 sin(α-β)= , 5 5 5 12 由 sin β=- 得 cos β= . 13 13 ∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β 4 12 3 5 33 = × + ×(- )= . 5 13 5 13 65

7


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